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1、第三章第三章 有限元分析方法有限元分析方法(FEM或或FEA)1、有限元分析方法的基本概念、有限元分析方法的基本概念2、介绍有限元分析方法的主要步骤、介绍有限元分析方法的主要步骤3、弹性力学的基本方程、弹性力学的基本方程4、刚度法及其解题步骤（杆结构）、刚度法及其解题步骤（杆结构）5、平面应变和平面应力问题、平面应变和平面应力问题11、有限元分析方法的基本概念、有限元分析方法的基本概念有限元分析有限元分析是利用数学近似的方法对真实物理系统（几何和是利用数学近似的方法对真实物理系统（几何和载荷工况）进行模拟。还利用简单而又相互作用的元素，即载荷工况）进行模拟。还利用简单而又相互作用的元素，即单元
2、，就可以用有限数量的未知量去逼近无限未知量的真实单元，就可以用有限数量的未知量去逼近无限未知量的真实系统。系统。历史典故历史典故结构分析的有限元方法是由一批学术界和工业界的研究者在二结构分析的有限元方法是由一批学术界和工业界的研究者在二十世纪五十年代到二十世纪六十年代创立的。十世纪五十年代到二十世纪六十年代创立的。有限元分析理论已有有限元分析理论已有100100多年的历史，是悬索桥和蒸汽锅炉进行多年的历史，是悬索桥和蒸汽锅炉进行手算评核的基础手算评核的基础。2有限单元法有限单元法有限单元法有限单元法将连续的结构离散成有限个单元，并在每一单元中设定有限个节将连续的结构离散成有限个单元，并在每一单
3、元中设定有限个节点，点，将连续体看作只在节点处相连接的一组单元的集合体将连续体看作只在节点处相连接的一组单元的集合体。选定场函数的节点值作为基本未知量，并在每一单元中假设一近选定场函数的节点值作为基本未知量，并在每一单元中假设一近似差值函数已表示单元中场函数的分布规律。似差值函数已表示单元中场函数的分布规律。利用力学中的某种利用力学中的某种变分原理变分原理去建立用以求节点未知量的有限单元去建立用以求节点未知量的有限单元法方程，将一个连续域中有限法方程，将一个连续域中有限自由度自由度问题化为离散域中有限自由问题化为离散域中有限自由度问题。度问题。3物理系统举例物理系统举例物理系统举例物理系统举例
4、 几何体几何体 载荷载荷 物理系统物理系统结构结构热热电磁电磁4有限元模型有限元模型有限元模型有限元模型真实系统真实系统有限元模型有限元模型 有限元模型有限元模型 是真实系统理想化的数学抽象是真实系统理想化的数学抽象。5自由度（自由度（自由度（自由度（DOFsDOFs）自由度自由度(DOFs)用于描述一个物理场的响应特性用于描述一个物理场的响应特性。结构结构 DOFs 结构结构 位移位移 热热 温度温度 电电 电位电位 流体流体 压力压力 磁磁 磁位磁位 方向方向 自由度自由度ROTZUYROTYUXROTXUZ6节点和单元节点和单元节点和单元节点和单元节点节点:空间中的坐标位置，具有一定自由
5、度和空间中的坐标位置，具有一定自由度和 存在相互存在相互物理作用物理作用。单元单元:一组节点自由度间相互作用的数值、矩阵一组节点自由度间相互作用的数值、矩阵 描述（称为描述（称为刚度或系数矩阵刚度或系数矩阵)。单元有线、。单元有线、面或实体以及二维或三维的单元等种类。面或实体以及二维或三维的单元等种类。有限元模型由一些简单形状的有限元模型由一些简单形状的单元单元组成，单元之间通过组成，单元之间通过节点节点连连接，并承受一定接，并承受一定载荷载荷。载荷载荷载荷载荷7节点和单元节点和单元节点和单元节点和单元l 每个单元的特性是通过一些每个单元的特性是通过一些线性方程式线性方程式来描述的。来描述的。
6、l 作为一个整体，单元形成了整体结构的数学模型。作为一个整体，单元形成了整体结构的数学模型。l 尽管梯子的有限元模型低于尽管梯子的有限元模型低于100100个方程（即个方程（即“自由度自由度”），然而在今天一个小的），然而在今天一个小的 ANSYSANSYS分析就可能有分析就可能有50005000个个未知量，矩阵可能有未知量，矩阵可能有2525，000000，000000个刚度系数。个刚度系数。历史典故历史典故早期早期 ANSYSANSYS是随计算机硬件而发展壮大的。是随计算机硬件而发展壮大的。ANSYSANSYS最早是在最早是在19701970年发布的，运行在价格为年发布的，运行在价格为1
7、1，000000，000000的的CDCCDC、由由UnivacUnivac和和IBMIBM生产的计算机上，它们的处理能力远远落后于今天的生产的计算机上，它们的处理能力远远落后于今天的PCPC机。一机。一台奔腾台奔腾PCPC机在几分钟内可求解机在几分钟内可求解5000500050005000的矩阵系统，而过去的矩阵系统，而过去则需要几天时间。则需要几天时间。8节点和单元节点和单元节点和单元节点和单元信息是通过单元之间的公共节点传递的。信息是通过单元之间的公共节点传递的。分离但节点重叠的单元分离但节点重叠的单元A和和B之间没有信息传递之间没有信息传递（需进行节点合并处理）（需进行节点合并处理）具
8、有公共节点的单元具有公共节点的单元之间存在信息传递之间存在信息传递.AB.AB.1 node2 nodes9节点和单元节点和单元节点和单元节点和单元节点自由度是随连接该节点节点自由度是随连接该节点 单元类型单元类型 变化的。变化的。JIIJJKLILKIPOMNKJIL三维杆单元三维杆单元(铰接铰接)UX,UY,UZ三维梁单元三维梁单元二维或轴对称实体单元二维或轴对称实体单元UX,UY三维四边形壳单元三维四边形壳单元UX,UY,UZ,三维实体热单元三维实体热单元TEMPJPOMNKJIL三维实体结构单元三维实体结构单元ROTX,ROTY,ROTZROTX,ROTY,ROTZUX,UY,UZ,U
9、X,UY,UZ10单元形函数单元形函数单元形函数单元形函数FEAFEA仅仅求解节点处的仅仅求解节点处的DOFDOF值。值。单元单元形函数形函数是一种数学函数，是一种数学函数，规定了从规定了从节点节点DOFDOF值值到到单元内单元内所有点处所有点处DOFDOF值值的计算方法的计算方法。因此，单元形函数提供出一种描述因此，单元形函数提供出一种描述单元内部结果单元内部结果的的“形状形状”。单元单元形函数形函数描述的是给定单元的一种描述的是给定单元的一种假定假定的特性。的特性。单元形函数与真实工作特性吻合好坏程度直接影响求解精度。单元形函数与真实工作特性吻合好坏程度直接影响求解精度。11真实的二次曲线
10、真实的二次曲线.节点节点单元单元 二次曲线的线性近二次曲线的线性近 (不理想结果不理想结果).2单元形函数单元形函数单元形函数单元形函数节点节点单元单元 DOF值二次分布值二次分布.1节点节点 单元单元 线性近似线性近似(更理想的结果更理想的结果)真实的二次曲线真实的二次曲线.3节点节点单元单元二次近似二次近似(接近于真实的二次近似拟合接近于真实的二次近似拟合)(最理想结果最理想结果).412单元形函数单元形函数单元形函数单元形函数遵循遵循:DOFDOF值可以精确或不太精确地等于在节点处的真实解，但单元值可以精确或不太精确地等于在节点处的真实解，但单元内的平均值与实际情况吻合得很好。内的平均值
11、与实际情况吻合得很好。这些平均意义上的典型解是从单元这些平均意义上的典型解是从单元DOFsDOFs推导推导出来的（如，结出来的（如，结构应力，热梯度）。构应力，热梯度）。如果单元形函数不能精确描述单元内部的如果单元形函数不能精确描述单元内部的DOFsDOFs，就不能很好就不能很好地得到导出数据，因为这些导出数据是通过单元形函数推导地得到导出数据，因为这些导出数据是通过单元形函数推导出来的。出来的。13单元形函数单元形函数单元形函数单元形函数遵循原则遵循原则:当当选选择择了了某某种种单单元元类类型型时时，也也就就十十分分确确定定地地选选择择并并接接受受该种单元类型所假定的单元形函数。该种单元类型
12、所假定的单元形函数。在选定单元类型并随之确定了形函数的情况下，必须在选定单元类型并随之确定了形函数的情况下，必须确保分析时有确保分析时有足够足够数量的单元和节点来精确描述所要数量的单元和节点来精确描述所要求解的问题。求解的问题。142、介绍有限元分析方法的主要步骤、介绍有限元分析方法的主要步骤直杆受自重作用的简单拉伸问题直杆受自重作用的简单拉伸问题直杆受自重作用的简单拉伸问题直杆受自重作用的简单拉伸问题15就就整个直杆整个直杆来说，位移函数来说，位移函数U(x)是未知的，但对每一单元可以近似是未知的，但对每一单元可以近似地假设一位移函数，它在结点上等于结点位移。此处，假设单元中地假设一位移函数
13、，它在结点上等于结点位移。此处，假设单元中的位移按线性分布的位移按线性分布，即：，即：用用结点位移结点位移表表示示单元位移单元位移16有了位移插值函数，就可以按材料力学公式求出应变和应力有了位移插值函数，就可以按材料力学公式求出应变和应力用节点用节点位移表示位移表示的公式：的公式：17 外载荷与结点的平衡方程外载荷与结点的平衡方程外载荷与结点的平衡方程外载荷与结点的平衡方程 为第为第i个结点上承受的外载荷个结点上承受的外载荷18假定将直杆分割成假定将直杆分割成3个单元，每个单元长为个单元，每个单元长为a=L/3，则对结点则对结点2，3，4列出的平衡方程为：列出的平衡方程为：结点载荷和结点载荷和
14、节点位移的关系节点位移的关系1920解线性代数方程组解线性代数方程组解线性代数方程组解线性代数方程组联立求解方程组得：联立求解方程组得：21有限单元法解题的一般步骤有限单元法解题的一般步骤有限单元法解题的一般步骤有限单元法解题的一般步骤22结构的离散化结构的离散化选择位移模式选择位移模式建立平衡方程建立平衡方程求解节点位移求解节点位移计算单元中的应力和应变计算单元中的应力和应变23结构的离散化结构的离散化结构的离散化结构的离散化将分析的结构物分割成有限个单元体，使相邻的单元将分析的结构物分割成有限个单元体，使相邻的单元体仅在节点处相连接，而以如此单元的结合体去代替体仅在节点处相连接，而以如此单
15、元的结合体去代替原来的结构。原来的结构。24选择位移模式选择位移模式选择位移模式选择位移模式首先对单元假设一个首先对单元假设一个位移插值函数位移插值函数，或称之为，或称之为位移模式位移模式，得到用，得到用节点位移表示单元体内任一点的唯一的关系式节点位移表示单元体内任一点的唯一的关系式25有了位移模式，就可利用几何关系和应力有了位移模式，就可利用几何关系和应力-应变关系表出应变关系表出用单元节点位移表示单元中应变和应力的表达式用单元节点位移表示单元中应变和应力的表达式选择位移模式选择位移模式选择位移模式选择位移模式26建立平衡方程建立平衡方程建立平衡方程建立平衡方程可利用可利用最小势能原理最小势
16、能原理建立结构的建立结构的节点载荷和节点位移节点载荷和节点位移之间的关系之间的关系式，即结构的平衡方程式，即结构的平衡方程等效结点载荷等效结点载荷：将体积力、表面将体积力、表面力、集中力等效力、集中力等效地移到结点上地移到结点上27求解结点位移求解结点位移求解结点位移求解结点位移将线性代数方程组将线性代数方程组 代入边界条件后，经代入边界条件后，经解算可求得所有未知的结点位移。解算可求得所有未知的结点位移。28计算单元中的应变和应力计算单元中的应变和应力计算单元中的应变和应力计算单元中的应变和应力依据求得的结点位移，由依据求得的结点位移，由可求得单元中任一点的应变和应力。可求得单元中任一点的应
17、变和应力。293、弹性力学的基本方程、弹性力学的基本方程 物体上任意一点物体上任意一点A,变形后至变形后至A 位移函数（位移分位移函数（位移分量）：量）：30 A点的应变点的应变由应变分量由应变分量x、y、z、xy、yz、zx所构成。所构成。6个个应变方程应变方程应变与位移的关系：应变与位移的关系：几何方程几何方程31 3个个平衡方程平衡方程：包含包含A点取平行于坐标轴的正六面体点取平行于坐标轴的正六面体单元，作用在单元体上的体积力为单元，作用在单元体上的体积力为Fe:若若A处于平衡，则应力分量满足（平衡方程）：处于平衡，则应力分量满足（平衡方程）：物理方程物理方程32 6个个本构方程本构方程
18、应力与应变的关系应力与应变的关系 在弹性变形阶段，应力、应变服从胡克定律：在弹性变形阶段，应力、应变服从胡克定律：3334 刚度法刚度法：选择节点位移作为基本未知量。：选择节点位移作为基本未知量。在此法中，在此法中，刚度矩阵刚度矩阵是一个非常重要的概念。是一个非常重要的概念。假设单元的节点位移为假设单元的节点位移为de，该单元的节点力为，该单元的节点力为fe，两者，两者之间的关系可表示为：之间的关系可表示为：4、刚度法及其解题步骤、刚度法及其解题步骤35 将单元刚度矩阵将单元刚度矩阵扩展扩展到研究区域的所有单元（到研究区域的所有单元（N个单个单元），即：元），即：不是简单的相不是简单的相加组合
19、加组合 单元刚度矩阵单元刚度矩阵Ke的阶数的阶数为单元节点自由度的总为单元节点自由度的总数。数。整体刚度矩阵整体刚度矩阵K的阶数的阶数为整体所有节点的自由为整体所有节点的自由度的总数。度的总数。36刚度法的解题步骤刚度法的解题步骤步骤一步骤一：离散化处理离散化处理以杆结构为例：以杆结构为例：划分为划分为4个单元，个单元，5个节点个节点37步骤二步骤二：选择位移模式选择位移模式以求杠杆单元（以求杠杆单元（1）为例：）为例：假定：假定：横截面积不变，为横截面积不变，为A;弹性模量为弹性模量为E；初始长度为初始长度为L.在拉力在拉力T的作用下，节点自由的作用下，节点自由度是局部轴向位移。（度是局部轴
20、向位移。（1个个DOF)38并假定：并假定：（1）杆不承受剪切力，即：）杆不承受剪切力，即：f1y=0和和f2y=0;（2）忽略横向位移的影响；）忽略横向位移的影响；（3）轴向应力、应变符合胡克定律，即：）轴向应力、应变符合胡克定律，即：x=E x（4）杆中间没有外载荷。）杆中间没有外载荷。则，节点位移则，节点位移de和节点载荷和节点载荷fe为：为：39（单元）（单元）位移模式位移模式：把单元域的位移用节点位移来表示把单元域的位移用节点位移来表示。对单元域位移的分布采用一些能逼近原函数的近似函对单元域位移的分布采用一些能逼近原函数的近似函数予以描述。（插值函数）数予以描述。（插值函数）通常将通
21、常将位移位移（单元域）表示为单元域）表示为坐标变量坐标变量的简单函数的简单函数（位移函数、位移模式），最常用的位移模式为多项式。（位移函数、位移模式），最常用的位移模式为多项式。概念对比：概念对比：（单元）（单元）形函数形函数：是一种数学函数，规定了从节点：是一种数学函数，规定了从节点DOF值值（位移）到单元内所有点处（位移）到单元内所有点处DOF值（位移）的计算方法值（位移）的计算方法。位移模式位移模式和和形函数形函数两个两个概念表达同一个意思，概念表达同一个意思，但形式不同。但形式不同。位移位移-坐标：坐标：u=a1+a2x系数系数-坐标：坐标：u=N1d1x+N2d2xN1=1-x/LN
22、2=x/L40 设单元内（单元域）位移设单元内（单元域）位移u为为x的线性函数：（线性插值的线性函数：（线性插值函数）函数）将将u表达为节点位移表达为节点位移de的函数：由每个节点的值来确的函数：由每个节点的值来确定定a1、a2这两个系数这两个系数。位移模式位移模式41写成矩阵形式：写成矩阵形式：u表达为节点位移的函数表达为节点位移的函数形函数（节点位移系数形函数（节点位移系数的函数）的函数）形函数形函数形函数矩阵形函数矩阵N42形函数形函数：表示在整个单元域中假定的位移函数的形状。表示在整个单元域中假定的位移函数的形状。本例中，本例中，N1、N2是线性函数。是线性函数。43步骤三步骤三：确定
23、应变与位移、应力与应变的关系：确定应变与位移、应力与应变的关系44步骤四步骤四：推导单元刚度矩阵和单元刚度方程：推导单元刚度矩阵和单元刚度方程45其矩阵形式为：其矩阵形式为：单元刚度矩阵为：单元刚度矩阵为：单元刚度方程单元刚度方程46 确定单元的刚度矩阵，是有限元法的关键问题。确定单元的刚度矩阵，是有限元法的关键问题。在商业软件中，一旦选定了单元类型和问题性质，在商业软件中，一旦选定了单元类型和问题性质，程序会自动调用计算刚度矩阵的子程序。程序会自动调用计算刚度矩阵的子程序。步骤五步骤五：组装单元刚度方程，得出整体刚度方程组装单元刚度方程，得出整体刚度方程 根据单元之间公共节点的载荷平衡和位移
24、协调关系，根据单元之间公共节点的载荷平衡和位移协调关系，来构造整体刚度矩阵和整体刚度方程。来构造整体刚度矩阵和整体刚度方程。47设研究域有设研究域有N个单元，则：个单元，则：以四单元杆结以四单元杆结构为例，采用构为例，采用叠加叠加法法（直接刚度法）（直接刚度法）进行组装进行组装48 在四单元杆结构中，节点位移节点位移在四单元杆结构中，节点位移节点位移de和节点力和节点力（载荷）（载荷）fe为：为：49每个单元刚度矩阵：每个单元刚度矩阵：在每行的右边和每列的上面标记在每行的右边和每列的上面标记dix，表示每一个，表示每一个单元行和单元列的相关节点自由度。单元行和单元列的相关节点自由度。50 为了
25、叠加单元刚度矩阵，必须将它们为了叠加单元刚度矩阵，必须将它们扩展为整体刚扩展为整体刚度矩阵的阶数度矩阵的阶数，使每个单元刚度矩阵与结构的所有自由，使每个单元刚度矩阵与结构的所有自由度有关。度有关。方法方法：对于不与特定单元相关的节点位移，可简单对于不与特定单元相关的节点位移，可简单地加上地加上0行行0列。列。对于单元（对于单元（1）：）：单元（单元（1）刚）刚度方程度方程51同理可求，单元（同理可求，单元（2）、（）、（3）和（）和（4）扩阶后的单元刚度）扩阶后的单元刚度矩阵和单元刚度方程，如矩阵和单元刚度方程，如单元（单元（4）的刚度方程）的刚度方程：52每个节点力的平衡：每个节点力的平衡：
26、53每个节点位移的协调连续性：每个节点位移的协调连续性：54组装组装：整体刚度方程与整体刚度矩阵整体刚度方程与整体刚度矩阵55本例中，各单元特性相同：本例中，各单元特性相同：整体刚度矩阵整体刚度矩阵为：为：56刚度矩阵的特性：刚度矩阵的特性：（1）对称性对称性：矩阵中每个元素都是对称的。：矩阵中每个元素都是对称的。（2）奇异性奇异性：对应的行列式等于零的矩阵。所以不可逆。：对应的行列式等于零的矩阵。所以不可逆。在施加充分的边界条件消除奇异性和防止刚体移动之前，在施加充分的边界条件消除奇异性和防止刚体移动之前，不存在逆矩阵。不存在逆矩阵。（3）主对角线恒为整数主对角线恒为整数。（4）为稀疏矩阵为
27、稀疏矩阵，即矩阵中有许多元素为零，在遵循一，即矩阵中有许多元素为零，在遵循一定的节点编号的条件下是一个带状矩阵。定的节点编号的条件下是一个带状矩阵。57步骤六步骤六：求解节点位移：求解节点位移 施加边界条件，消除刚度矩阵的奇异性。解联立施加边界条件，消除刚度矩阵的奇异性。解联立方程组方程组F=Kd，确定位移。，确定位移。步骤七步骤七：求解单元力：求解单元力 将解出的节点位移回代到有关方程中，求出单元将解出的节点位移回代到有关方程中，求出单元的应变和应力。的应变和应力。58实例实例：如图一维杆单元问题，每个单元的长度为如图一维杆单元问题，每个单元的长度为100mm，截面积为截面积为10mm2，材
28、料的弹性模量为，材料的弹性模量为21012Pa（21011 kgf/m2），在节点），在节点2沿沿x方向作用有方向作用有10KN(1000kg)的力，的力，节节点点1和节点和节点4固定。确定：（固定。确定：（1）整体刚度矩阵）整体刚度矩阵;（2）节点）节点2和和节点节点3的位移的位移;（3）节点）节点1和节点和节点4的反力。的反力。59解：解：步骤一步骤一：离散化处理：离散化处理步骤二步骤二：选择位移模式：选择位移模式取单元（取单元（1），设），设u为为x的线性函数：的线性函数：60步骤三步骤三：确定应变与位移、应力与应变的关系：确定应变与位移、应力与应变的关系61步骤四步骤四：推导单元刚度矩
29、阵：推导单元刚度矩阵Ke62步骤五步骤五：推出整体刚度矩阵：推出整体刚度矩阵K（用叠加法组装）（用叠加法组装）各单元各单元扩展阶数以后扩展阶数以后的刚度矩阵：的刚度矩阵：6364步骤六步骤六：求解节点位移：求解节点位移整体刚度方程为：整体刚度方程为：F：平衡后的节点力（整体）：平衡后的节点力（整体）f：各单元的节点力：各单元的节点力65代入边界条件：代入边界条件：d1x=d4x=0，F2x=1000，F3x=0则有则有：节点等效载荷：对于整个杆结构，外载作用节点等效载荷：对于整个杆结构，外载作用在节点在节点1、2和和4上，且合力为零。上，且合力为零。奇异矩阵奇异矩阵66将已知节点力的方程分离出
30、来将已知节点力的方程分离出来:步骤七步骤七：求节点作用力：求节点作用力非奇异矩阵非奇异矩阵675、平面应力和平面应变问题、平面应力和平面应变问题平面应力状态：垂直于平面应力状态：垂直于xy平面的法向应力和剪切平面的法向应力和剪切应力为零。应力为零。平面应变状态：垂直于平面应变状态：垂直于xy平面的正应变和剪应平面的正应变和剪应变为零。变为零。68解题步骤：以解题步骤：以三节点三角形平面单元三节点三角形平面单元为例为例步骤一步骤一：离散化处理：离散化处理 三角形单元三角形单元三个节点编号为三个节点编号为i,j,k按逆时针方向标按逆时针方向标注节点注节点69单元节点位移向量为：单元节点位移向量为：
31、步骤二步骤二：选择位移模式：选择位移模式单元内位移：单元内位移：70假设单元内任一点的位移为假设单元内任一点的位移为x,y的线性函数，位移模式为：的线性函数，位移模式为：写成矩阵式：写成矩阵式：其中，其中，S为为坐标矩阵坐标矩阵，a为待定系数向量为待定系数向量71 三个节点三个节点i,j,k也是单元上也是单元上的点，满足以上位移函数：的点，满足以上位移函数：写成矩阵形式为：写成矩阵形式为：（C为为节点坐标矩阵节点坐标矩阵）72 左乘左乘 节点坐标矩阵节点坐标矩阵C的逆矩阵的逆矩阵C-1，可求出待定系数矩阵，可求出待定系数矩阵a：73A是三角形单元的面积。是三角形单元的面积。将求出的待定系数矩阵
32、将求出的待定系数矩阵a回代到位移模式中：回代到位移模式中：前前3项相乘为形项相乘为形函数矩阵函数矩阵N74相乘后：相乘后：形函数矩阵形函数矩阵N形函数为：形函数为：简写为：简写为：75形函数的性质：形函数的性质：在节点上满足：在节点上满足：在单元中任何一点满足：在单元中任何一点满足：步骤三步骤三：确定单元的力学性质：确定单元的力学性质 1）由位移模式求应变）由位移模式求应变76代入位移模式：代入位移模式：77或写成：或写成：即，用节点位移来表示应变。即，用节点位移来表示应变。B称为应变矩阵。称为应变矩阵。782）由应变求应力：用节点位移来表示应力）由应变求应力：用节点位移来表示应力De弹性矩阵
33、弹性矩阵或本构矩阵或本构矩阵79步骤四：步骤四：推导单元刚度矩阵和单元刚度方程推导单元刚度矩阵和单元刚度方程虚功原理：虚功原理：外力在虚位移上所做的功等于因虚位移引起的虚应外力在虚位移上所做的功等于因虚位移引起的虚应变能。变能。当结构受到载荷作用处于平衡状态时，在任意给出当结构受到载荷作用处于平衡状态时，在任意给出的节点虚位移下，外力（节点力）的节点虚位移下，外力（节点力）fe及及内力所做的虚功内力所做的虚功之和应等于零。之和应等于零。给单元以任意虚位移：给单元以任意虚位移：80单元内各点的虚位移和虚应变分别为：单元内各点的虚位移和虚应变分别为：单元节点力的虚功为：单元节点力的虚功为：单元内力
34、的虚功为：单元内力的虚功为：81代入单元内虚应变和应力表达式：代入单元内虚应变和应力表达式：(AB)T=BTAT与单元节点力虚功方程一起代入虚功方程：与单元节点力虚功方程一起代入虚功方程：单元刚度矩阵单元刚度矩阵单元刚度方程单元刚度方程82把平面应力的应变矩阵和弹性矩阵代入：把平面应力的应变矩阵和弹性矩阵代入：节点坐标矩阵：节点坐标矩阵C逆矩阵逆矩阵C-1中的系数中的系数dV=tdxdy2阶矩阵阶矩阵83步骤五：步骤五：计算等效节点载荷计算等效节点载荷 体积力体积力：重力、角速度引起的离心力、运动中的：重力、角速度引起的离心力、运动中的惯性力等。惯性力等。表面力表面力：流体压力等面载荷。：流体
35、压力等面载荷。集中力集中力：作用在点上，在划分单元时尽量将其作：作用在点上，在划分单元时尽量将其作用点作为节点。用点作为节点。作用在单元上的体积力、表面力和集中力都需作用在单元上的体积力、表面力和集中力都需等效地等效地移到节点上去。移到节点上去。84 体积力、表面力和集中力作用在节点上的等体积力、表面力和集中力作用在节点上的等效载荷分别为：效载荷分别为：单元节点力：单元节点力：形函数矩阵形函数矩阵N85体积力的计算：体积力的计算：体积力均匀分布在体积力均匀分布在3个节点上个节点上86对于重力：对于重力：87表面力的计算：表面力的计算：88例例：如图所示平面结构，如图所示平面结构，厚度为厚度为t
36、，右侧受到均，右侧受到均匀拉力匀拉力p的作用，试确的作用，试确定其节点等效力。定其节点等效力。取出一个三角形单取出一个三角形单元（元（1），节点编号如），节点编号如图所示，坐标原点设在图所示，坐标原点设在节点节点2处，则：处，则：89 将将x=a，y=y代入，计算出右侧边的代入，计算出右侧边的N1、N2、N3，再代入单元表面力计算公式：，再代入单元表面力计算公式：90步骤六步骤六：组装单元刚度方程：组装单元刚度方程整体刚度方程：整体刚度方程：整体协调后的所有节整体协调后的所有节点的位移点的位移整体刚度矩阵整体刚度矩阵整体平衡后的所有节整体平衡后的所有节点的力点的力91扩阶、组装：扩阶、组装：假
37、设整个结构由假设整个结构由N个三角形单元和个三角形单元和n个节点构成。个节点构成。各节点位移进行协调各节点位移进行协调92元素为元素为2阶矩阵阶矩阵叠加法叠加法93各节点力进行平衡各节点力进行平衡94步骤七步骤七：求解节点位移：求解节点位移 在求解刚度方程之前，要引入边界条件，约束结在求解刚度方程之前，要引入边界条件，约束结构的刚性位移，以消除整体矩阵的奇异性。构的刚性位移，以消除整体矩阵的奇异性。边界约束条件边界约束条件基础支承约束基础支承约束 节点在该约束方向的位移为零节点在该约束方向的位移为零给定位移约束给定位移约束二次求解等。二次求解等。否则整个结构刚性悬否则整个结构刚性悬浮，没有唯一
38、解。浮，没有唯一解。95 处理边界位移约束方法处理边界位移约束方法 (1)矩阵降阶法矩阵降阶法 适用于边界约束位移为零的情况。适用于边界约束位移为零的情况。位移已知的那一行方程已无需求解，可以把这一行方位移已知的那一行方程已无需求解，可以把这一行方程划去程划去方程式降一阶。当把所有与已知零位移相对应方程式降一阶。当把所有与已知零位移相对应的行或列均消去后，总刚度矩阵便不再是奇异的，可以直的行或列均消去后，总刚度矩阵便不再是奇异的，可以直接求解。接求解。(2)主对角线元素置大数法主对角线元素置大数法 对角元素乘大数法对角元素乘大数法 对角元素加大数法对角元素加大数法96(3)主对角元充主对角元充“1”法法97步骤八步骤八：确定其它未知量：确定其它未知量 计算出节点位移后，根据有关方程计算出节点的应计算出节点位移后，根据有关方程计算出节点的应力和应变等。力和应变等。98