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1、第五节 行列式性质湖湖 北北 经经 济济 学学 院院一、行列式的性质性质性质性质性质1 1 1 1 行列式与它的转置行列式相等行列式与它的转置行列式相等.行列式行列式 称为行列式称为行列式 的转置行列式的转置行列式.记记即即性质性质性质性质2 2 2 2 互换行列式的两行（列）互换行列式的两行（列）,行列式变号行列式变号.说明说明 行列式中行与列具有同等的地位行列式中行与列具有同等的地位,因此行列因此行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立式的性质凡是对行成立的对列也同样成立.反之亦反之亦然。然。行列式的第行列式的第i行、第行、第j行互换，记作行互换，记作行列式的第行列式的第i列、第列、第j列
2、互换，记作列互换，记作例如例如推论推论 如果行列式有两行（列）完全相同，则如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零此行列式为零.证明证明互换相同的两行，有互换相同的两行，有 性质性质性质性质3 3 3 3 行列式的某一行（列）中所有的元素都行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数乘以同一数 k k，等于用数，等于用数 k k乘此行列式乘此行列式,记为：记为：思考思考：若：若 为为n n阶行列式，阶行列式，推论推论2 2 行列式的某一行行列式的某一行(列列)的元素全为零的元素全为零,则此行列式为零。则此行列式为零。推论推论1行列式的某一行（列）中所有元素行列式的某一行（列）中所有元素
3、的公因子可以提到行列式符号的外面的公因子可以提到行列式符号的外面推论推论3行列式中如果有两行（列）元素行列式中如果有两行（列）元素 成比例，则此行列式为零成比例，则此行列式为零 证明证明如又如性质性质4 4若行列式的某一列（行）的元素都是两若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和数之和.则则D等于下列两个行列式之和：等于下列两个行列式之和：例如例如计算判断判断是否成立？是否成立？性质性质5把行列式的某一列（行）的各元素乘以把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列同一数然后加到另一列(行行)对应的元素上去，行对应的元素上去，行列式不变列式不变例如例如判断下列结论是否正确?注意不能将
4、某一行注意不能将某一行(列列)k倍后再加上另一行倍后再加上另一行(列列).例如例如余子式与代数余子式在在 阶行列式中，把元素阶行列式中，把元素 所在的第所在的第 行和第行和第 列划去后，留下来的列划去后，留下来的 阶行列式叫做元素阶行列式叫做元素 的的余子式余子式，记作，记作叫做元素叫做元素 的的代数余子式代数余子式例如例如性质性质6 行列式等于对应于它的任一行行列式等于对应于它的任一行(列列)的各的各元素与其代数余子式的乘积之和元素与其代数余子式的乘积之和.即即该性质也称为行列式按行该性质也称为行列式按行(列列)展开法则展开法则.例例 计算行列式计算行列式解解按按第一行展开，得第一行展开，得
5、例例 计算行列式计算行列式解解 行列式按行（列）展开法则是把高阶行列式的行列式按行（列）展开法则是把高阶行列式的计算化为低阶行列式计算的重要工具计算化为低阶行列式计算的重要工具.(第第i行各元素的行各元素的代数余子式的和代数余子式的和)思考思考:将行列式中该行将行列式中该行(列列)的元素都令为的元素都令为1,1,式式子的含义如何子的含义如何?思考题思考题求求 ，其中，其中 为元素为元素 的代数余子的代数余子式。式。设开从而化为一个四阶行列式的计算.若此题直接计算四个代数余子式,则计算较繁且容易出错.(有两行元素对应相同)推论推论 行列式任一行（列）的元素与另一行（列）行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零的对应元素的代数余子式乘积之和等于零.即即:如 已知四阶行列式D的第一行元素依次是1，3，0，-2，第三行元素对应的代数余子式依次是8，k，-7，10，求k的值。根据推论知：解得 关于代数余子式的重要性质关于代数余子式的重要性质