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1、第四章、随机变量的数字特征第四章、随机变量的数字特征第一节：数学期望第一节：数学期望第二节：方差第二节：方差第三节：协方差及相关系数第三节：协方差及相关系数第四节：矩、协方差矩阵第四节：矩、协方差矩阵 在前面的课程中，我们讨论了随机变量及其分在前面的课程中，我们讨论了随机变量及其分布，如果知道了随机变量布，如果知道了随机变量X的的概率分布概率分布，那么，那么X的的全部概率特征也就知道了全部概率特征也就知道了.然而，在实际问题中，概率分布一般是较难然而，在实际问题中，概率分布一般是较难确定的确定的.而在一些实际应用中，人们并不需要知而在一些实际应用中，人们并不需要知道随机变量的一切概率性质，只要
2、知道它的某些道随机变量的一切概率性质，只要知道它的某些数字特征数字特征就够了就够了.例：例：在评定某地区粮食产量的水平时，最关心的在评定某地区粮食产量的水平时，最关心的 是是平均产量平均产量；在检查一批棉花的质量时，既需要注意纤维在检查一批棉花的质量时，既需要注意纤维的平均长度，又需要注意的平均长度，又需要注意纤维长度与平均长度纤维长度与平均长度的偏离程度；的偏离程度；考察南宁市居民的家庭收入情况，我们既知考察南宁市居民的家庭收入情况，我们既知 家庭的年家庭的年平均收入平均收入，又要研究，又要研究贫富之间的贫富之间的差异程度；差异程度；因此，在对随机变量的研究中，确定某些数因此，在对随机变量的
3、研究中，确定某些数字特征是重要的字特征是重要的.而而所谓的数字特征就是用数字表所谓的数字特征就是用数字表示随机变量的分布特点。示随机变量的分布特点。在这些数字特征中，最常用的是在这些数字特征中，最常用的是数学期望、方差、协方差和相关系数数学期望、方差、协方差和相关系数第一节 数学期望离散型随机变量的数学期望离散型随机变量的数学期望连续型随机变量的数学期望连续型随机变量的数学期望随机变量函数的数学期望随机变量函数的数学期望数学期望的性质数学期望的性质小结小结引例引例：某：某7人的数学成绩为人的数学成绩为90，85，85，80，80，75，60，则他们的平均成绩为，则他们的平均成绩为以频率为权重的
4、加权平均以频率为权重的加权平均 一、离散型随机变量的数学期望一、离散型随机变量的数学期望定义定义1 设设X是离散型随机变量，它的分布率是是离散型随机变量，它的分布率是:PX=xk=pk,k=1,2,请注意请注意:离散型随机变量的数学期望是一个绝对收离散型随机变量的数学期望是一个绝对收敛的级数的和敛的级数的和.数学期望简称数学期望简称期望期望，又称为，又称为均值均值。若若级数级数绝对收敛，绝对收敛，则称级数则称级数即的和为的和为随机变量随机变量X的数学期望的数学期望，记为，记为 ,例例1、（0-10-1）分布的数学期望）分布的数学期望X服从服从0-1分布分布，其概率分布为，其概率分布为XP0 1
5、1-p p若若X 服从参数为服从参数为 p 的的0-1分布，分布，则则E(X)=p例例2 0 1 2 00.2 0.8 0 1 20.60.3 0.1试比较甲、乙两人的技术那个好试比较甲、乙两人的技术那个好到站时刻到站时刻 8:10 8:30 8:50 9:10 9:30 9:50 概率概率 1/6 3/6 2/6一旅客一旅客8:20到车站到车站,求他候车时间的数学期望求他候车时间的数学期望.例例3 按规定按规定,某车站每天某车站每天8:009:00,9:0010:00都恰有一辆客车到站都恰有一辆客车到站,但到站时刻是随机的但到站时刻是随机的,且两者且两者到站的时间相互独立。其规律为：到站的时
6、间相互独立。其规律为：X 10 30 50 70 90 例例4定义定义2 设设X是连续型随机变量，其密度函数为是连续型随机变量，其密度函数为 f(x),如果积分如果积分绝对收敛绝对收敛,则称此积分值为则称此积分值为X的数学期望的数学期望,即即请注意请注意:连续型随机变量的数学期望是一个绝对收敛连续型随机变量的数学期望是一个绝对收敛的积分的积分.二、连续型随机变量的数学期望二、连续型随机变量的数学期望例例4 例例5若若将这两个电子装置串联连接组成整机将这两个电子装置串联连接组成整机,求整机求整机寿命寿命(以小时计以小时计)N 的数学期望的数学期望.的分布函数为的分布函数为三、随机变量函数的数学期
7、望三、随机变量函数的数学期望 1.问题的提出：问题的提出：设已知随机变量设已知随机变量X的分布，我们需要计算的不是的分布，我们需要计算的不是X的期望，而是的期望，而是X的某个函数的期望，比如说的某个函数的期望，比如说g(X)的期望的期望.那么应该如何计算呢？那么应该如何计算呢？一种方法是，因为一种方法是，因为g(X)也是随机变量，故应有概也是随机变量，故应有概率分布，它的分布可以由已知的率分布，它的分布可以由已知的X的分布求出来的分布求出来.一旦一旦我们知道了我们知道了g(X)的分布，就可以按照期望的定义把的分布，就可以按照期望的定义把Eg(X)计算出来计算出来.那么是否可以不先求那么是否可以
8、不先求g(X)的分布而只根据的分布而只根据X的的分布求得分布求得Eg(X)呢？呢？下面的定理指出，答案是肯定的下面的定理指出，答案是肯定的.使用这种方法必须先求出随机变量函数使用这种方法必须先求出随机变量函数g(X)的的分布，一般是比较复杂的分布，一般是比较复杂的.(1)当当X为离散型时为离散型时,它的分布率为它的分布率为P(X=xk)=pk;(2)当当X为连续型时为连续型时,它它的密度函数为的密度函数为f(x).若若定理定理 设设Y是随机变量是随机变量X的函数的函数:Y=g(X)(g是连续函数是连续函数)该公式的重要性在于该公式的重要性在于:当我们求当我们求Eg(X)时时,不不必知道必知道g
9、(X)的分布，而只需知道的分布，而只需知道X的分布就可以了的分布就可以了.这给求随机变量函数的期望带来很大方便这给求随机变量函数的期望带来很大方便.上述定理还可以推广到两个或两个以上随上述定理还可以推广到两个或两个以上随上述定理还可以推广到两个或两个以上随上述定理还可以推广到两个或两个以上随 机变机变机变机变量的函数的情况。量的函数的情况。量的函数的情况。量的函数的情况。例例例例6 6例例 7解：设设(X,Y)在在区区域域A上上服服从从均均匀匀分分布布，其其中中A为为x轴轴，y轴和直线轴和直线x+y+1=0所围成的区域。所围成的区域。求求EX，E(-3X+2Y)，EXY。四、数学期望的性质四、
10、数学期望的性质 1.设设C是常数，则是常数，则E(C)=C;4.设设X、Y 相互独立，则相互独立，则 E(XY)=E(X)E(Y);2.若若k是常数，则是常数，则E(kX)=kE(X);3.E(X+Y)=E(X)+E(Y);（诸（诸Xi相互独立时）相互独立时）请注意请注意:由由E(XY)=E(X)E(Y)不一定能推出不一定能推出X,Y 独立独立五、数学期望性质的应用五、数学期望性质的应用例例8 求二项分布的数学期望求二项分布的数学期望若若 XB(n,p)，则则X表示表示n重贝努里试验中的重贝努里试验中的“成功成功”次数次数.现在我们来求现在我们来求X的数学期望的数学期望.可见，服从参数为可见，
11、服从参数为n和和p的二项分布的随机变量的二项分布的随机变量X的数学期望是的数学期望是 n p.XB(n,p),若设若设则则 X=X1+X2+Xn=npi=1,2，n因为因为 P(Xi=1)=p,P(Xi=0)=1-p所以所以 E(X)=则则X表示表示n重贝努里试验中的重贝努里试验中的“成功成功”次数次数.E(Xi)=p 本题是将本题是将本题是将本题是将X X分解成数个随机变量之和分解成数个随机变量之和分解成数个随机变量之和分解成数个随机变量之和,然后利用然后利用然后利用然后利用随随随随机变量和的数学期望等于随机变量数学期望的和来求机变量和的数学期望等于随机变量数学期望的和来求机变量和的数学期望
12、等于随机变量数学期望的和来求机变量和的数学期望等于随机变量数学期望的和来求数学期望的数学期望的数学期望的数学期望的,此方法具有一定的意义此方法具有一定的意义此方法具有一定的意义此方法具有一定的意义.六、小结六、小结 这一讲，我们介绍了随机变量的数学期望，这一讲，我们介绍了随机变量的数学期望，它反映了随机变量取值的平均水平，是随机变量它反映了随机变量取值的平均水平，是随机变量的一个重要的数字特征的一个重要的数字特征.接下来的一讲中，我们将向大家介绍随机变接下来的一讲中，我们将向大家介绍随机变量另一个重要的数字特征：量另一个重要的数字特征：方差方差第二节 方差方差的定义方差的定义方差的计算方差的计
13、算方差的性质方差的性质切比雪夫不等式切比雪夫不等式小结小结 上一节我们介绍了随机变量的数学期望，上一节我们介绍了随机变量的数学期望，它体现了随机变量取值的它体现了随机变量取值的平均水平平均水平，是随机变，是随机变量的一个重要的数字特征量的一个重要的数字特征.但是在一些场合，仅仅知道平均值是不够的但是在一些场合，仅仅知道平均值是不够的.由此可见由此可见,研究研究随机变量与其均值的偏离程度随机变量与其均值的偏离程度是十是十分必要的分必要的.那么那么,用怎样的量去度量这个偏离程度呢用怎样的量去度量这个偏离程度呢?容容易看到易看到这个数字特征就是我们这一节要介绍的这个数字特征就是我们这一节要介绍的方差
14、方差 能度量随机变量与其均值能度量随机变量与其均值E(X)的偏离程度的偏离程度.但由于但由于上式带有绝对值上式带有绝对值,运算不方便运算不方便,通常用量通常用量来度量随机变量来度量随机变量X与其均值与其均值E(X)的偏离程度的偏离程度.一、方差的定义一、方差的定义 设设X是一个随机变量，若是一个随机变量，若E(X-E(X)2存在存在,称称E(X-E(X)2为为 X 的方差的方差.记为记为D(X)或或Var(X)，即即D(X)=Var(X)=EX-E(X)2若若X的取值比较分散，则方差的取值比较分散，则方差D(X)较大较大.方差刻划了随机变量的取值对于其数学期望的方差刻划了随机变量的取值对于其数
15、学期望的离散程度离散程度.若若X的取值比较集中，则方差的取值比较集中，则方差D(X)较小；较小；因此，因此，D（X）是刻画是刻画X取值分散程度的一个量，它取值分散程度的一个量，它是衡量是衡量X取值分散程度的一个尺度。取值分散程度的一个尺度。X为离散型，为离散型，分布率分布率PX=xk=pk 由定义知，方差是随机变量由定义知，方差是随机变量 X 的函数的函数 g(X)=X-E(X)2 的的数学期望数学期望.二、方差的计算二、方差的计算X为连续型，为连续型，X概率密度概率密度f(x)计算方差的一个简化公式计算方差的一个简化公式 D(X)=E(X2)-E(X)2 展开展开证：证：D(X)=EX-E(
16、X)2=EX2-2XE(X)+E(X)2=E(X2)-2E(X)2+E(X)2=E(X2)-E(X)2利用期望利用期望性质性质例例1设设随机变量随机变量X具有具有(01）分布，其分布率为）分布，其分布率为求求D(X).解解由公式由公式因此因此,0-1分布分布例例2解解X的分布率为的分布率为上节已算得上节已算得因此因此,泊松分布泊松分布例例3解解 因此因此,均匀分布均匀分布例例4设随机变量设随机变量X服从指数分布服从指数分布,其概率密度为其概率密度为解解由此可知由此可知,指数分布指数分布三、方差的性质三、方差的性质 1.设设C 是常数是常数,则则 D(C)=0;2.若若 C 是常数是常数,则则
17、D(CX)=C2 D(X);3.设设 X 与与 Y 是两个随机变量，则是两个随机变量，则 D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2EX-E(X)Y-E(Y)4.D(X)=0 PX=C=1,这里这里C=E(X)下面我们证明性质下面我们证明性质3证明证明若若 X,Y 相互独立相互独立,由数学期望的性质由数学期望的性质4得得此性质可以推广到有限多个相互独立的随机变量之和此性质可以推广到有限多个相互独立的随机变量之和的情况的情况.例例6 设设XB(n,p)，求，求E(X)和和D(X).若设若设i=1,2，n 则则 是是n次试验中次试验中“成功成功”的次数的次数下面我们举例说明方差性质的应用下面我们举例说明
18、方差性质的应用.解解XB(n,p),“成功成功”次数次数.则则X表示表示n重重努里试验中的努里试验中的于是于是i=1,2，n 由于由于X1,X2,Xn 相互相互独立独立=np(1-p)E(Xi)=p,D(Xi)=p(1-p),例例7解解于是于是例如例如,例例8解解由于由于故有故有四、切比雪夫不等式四、切比雪夫不等式或或 由切比雪夫不等式可以看出，若由切比雪夫不等式可以看出，若 越小，则越小，则事件事件|X-E(X)|0,D(Y)0,称称在不致引起混淆时在不致引起混淆时，记记 为为 .相关系数的性质：相关系数的性质：证证:由方差的性质和协方差的定义知由方差的性质和协方差的定义知,对任意实数对任意
19、实数 b,有有0D(Y-bX)=b2D(X)+D(Y)-2b Cov(X,Y)令令，则上式为，则上式为 D(Y-bX)=由于方差由于方差D(Y)是正的是正的,故必有故必有1-0,所以所以|1。2.X和和Y独立时，独立时，=0，但其逆不真但其逆不真.由于当由于当X和和Y独立时，独立时，Cov(X,Y)=0.故故=0但由但由并不一定能推出并不一定能推出X和和Y 独立独立.请看下例请看下例.，Cov(X,Y)=0，事实上，事实上，X的密度函数的密度函数例例1 设设X服从服从(-1/2,1/2)内的均匀分布内的均匀分布,而而Y=cos X,不难求得不难求得存在常数存在常数 a,b(b0），使使 PY=
20、a+b X=1，即即 X 和和 Y 以概率以概率 1 线性相关线性相关.因而因而 =0，即即X和和Y不相关不相关.但但Y与与X有严格的函数关系，有严格的函数关系，即即X和和Y不独立不独立.相关系数刻划了相关系数刻划了X和和Y间间“线性相关线性相关”的程度的程度.但对下述情形，独立与不相关等价但对下述情形，独立与不相关等价若若(X,Y)服从二维正态分布，则服从二维正态分布，则X与与Y独立独立X与与Y不相关不相关前面，我们已经看到：前面，我们已经看到：若若 X 与与 Y 独立，则独立，则X与与Y不相关不相关，但由但由X与与Y不相关，不一定能推出不相关，不一定能推出X与与Y独立独立.4、二维正态分布
21、独立与相关的关系、二维正态分布独立与相关的关系三、小结三、小结 这一节我们介绍了协方差、相关系数、这一节我们介绍了协方差、相关系数、相关系数是刻划两个变量间相关系数是刻划两个变量间线性相关程度线性相关程度的一个重要的一个重要的数字特征的数字特征.注意独立与不相关并不是等价的注意独立与不相关并不是等价的.当当(X,Y)服从二维正态分布时，有服从二维正态分布时，有X 与与 Y 独立独立X 与与 Y 不相关不相关第四节 矩、协方差矩阵原点矩原点矩 中心矩中心矩协方差矩阵协方差矩阵n 元正态分布的概率密度元正态分布的概率密度小结小结一、一、原点矩原点矩 中心矩中心矩定义定义 设设X和和Y是随机变量，若
22、是随机变量，若 存在，称它为存在，称它为X的的k阶原点矩阶原点矩，简称，简称 k阶矩阶矩 存在，称它为存在，称它为X的的k阶中心矩阶中心矩可见，均值可见，均值 E（X）是是X一阶原点矩，方差一阶原点矩，方差D（X）是是X的二阶中心矩。的二阶中心矩。协方差协方差Cov(X,Y)是是X和和Y的的二阶混合中心矩二阶混合中心矩.称它为称它为 X 和和 Y 的的 k+L 阶混合（原点）矩阶混合（原点）矩.若若存在，存在，称它为称它为X 和和 Y 的的 k+L 阶混合中心矩阶混合中心矩.设设 X 和和 Y 是随机变量，若是随机变量，若 k,L=1,2,存在，存在，可见，可见，二、二、协方差矩阵协方差矩阵将
23、二维随机变量（将二维随机变量（X1,X2）的四个二阶中心矩的四个二阶中心矩排成矩阵的形式排成矩阵的形式:称此矩阵为称此矩阵为（X1,X2）的协方差矩阵的协方差矩阵.这是一个这是一个对称矩阵对称矩阵 类似定义类似定义n 维随机变量维随机变量(X1,X2,Xn)的协方差矩阵的协方差矩阵.为为(X1,X2,Xn)的的协方差矩阵协方差矩阵都存在都存在,(i,j=1,2,n)若若矩阵矩阵称称三、三、n 元正态分布的概率密度元正态分布的概率密度f(x1,x2,xn)则称则称 X 服从服从 n 元正态分布元正态分布.其中其中C是是(X1,X2,Xn)的协方差矩阵的协方差矩阵.|C|是它的行列式，是它的行列式
24、，表示表示C的逆矩阵，的逆矩阵，X 和和 是是 n 维列向量，维列向量，表示表示X 的转置的转置.设设 =(X1,X2,Xn)是一个是一个n维随机向量维随机向量,若它的概率密度为若它的概率密度为n元元正态分布的几条重要性质正态分布的几条重要性质1.X=(X1,X2,Xn)服从服从n元正态分布元正态分布a1X1+a2 X2+an Xn 均服从正态分布均服从正态分布.对一切不全为对一切不全为0的实数的实数 a1,a2,an，若若 X=(X1,X2,Xn)服从服从 n 元正态分布元正态分布，Y1,Y2,，Yk是是Xj（j=1,2,n）的线性函数的线性函数，则则(Y1,Y2,，Yk)也服从多元正态分布
25、也服从多元正态分布.2.正态变量的线性变换不变性正态变量的线性变换不变性.3.设设(X1,X2,Xn)服从服从n元正态分布元正态分布，则则“X1,X2,Xn相互独立相互独立”等价于等价于“X1,X2,Xn两两不相关两两不相关”例例 设随机变量设随机变量X和和Y相互独立且相互独立且XN(1,2),YN(0,1).试求试求Z=2X-Y+3的概率密度的概率密度.故故X 和和Y 的联合分布为正态分布的联合分布为正态分布，X 和和Y 的任意线的任意线性组合是正态分布性组合是正态分布.解解:XN(1,2),YN(0,1)，且且 X 与与Y 独立独立,D(Z)=4D(X)+D(Y)=8+1=9E(Z)=2E(X)-E(Y)+3=2+3=5 即即 ZN(E(Z),D(Z)ZN(5,32)四、小结四、小结 在这一节中我们学习了随机变量的原点矩在这一节中我们学习了随机变量的原点矩和中心矩以及协方差矩阵和中心矩以及协方差矩阵.一般地一般地,n维随机变量的分布是不知道的维随机变量的分布是不知道的,或者太复杂或者太复杂,以至于在数学上不易处理以至于在数学上不易处理,因此因此在实际中协方差矩阵就显得重要了在实际中协方差矩阵就显得重要了.