流体力学33.ppt

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1、第3章 流体运动学 流体运动学是用几何的观点来研究流体的运动，而不涉及流体的动力学性质。在流体力学中研究流体质点往往是用伯努利（Bernoulli）方程将压强和速度联系起来。从这方面来讲研究流体质点的速度更为重要。3.1 3.1 描述流体运动的两种方法描述流体运动的两种方法 3.1.1 3.1.1 流体质点和空间点流体质点和空间点 流体质点其几何尺寸极小可以略去不计，作为一个点，但它包含了许许多多的流体分子，具有一定的物理量，例如速度、加速度、压强和密度等。在流场中，由于流体是一个连续介质，因此在任何时候每一个空间点都有一个相应的流体质点占据它的位置。3.1.2 3.1.2 描述流体运动的两种

2、方法描述流体运动的两种方法 1.1.拉格朗日（拉格朗日（LagrangeLagrange）法法 拉格朗日法又称随体法。以以运运动动着着的的流流体体质质点点为研究对象，观察它在空间运动过程中各个物理量的变化规律，当逐次由一个质点转移到另一个质点便可了解整个或部分流体的运动全貌。用拉格朗日坐标描述流体质点群运动的数学方程将十分复杂，以致无法求解。除了研究波浪运动，或者台风运动，一般都应用欧拉法来描述。2.2.欧拉（欧拉（EulerEuler）法法 欧拉法又称当地法。它以流场内的空间点流场内的空间点为研究对象，观察先后经过这个空间点的各个流体质点物理量的变化情况，当逐次由一个空间点转移到另一个空间点

3、便能了解整个流场或部分流场的运动情况。流体质点的速度场表示为 速度分布的分量式可表为 流体质点的密度场 、压强场p也可用欧拉变数表示为：用欧拉法表示的流体质点的加速度 速度表达式中的坐标x，y，z是质点运动轨迹上的空间点坐标，它不是独立变数，而是时间t的函数，即 流体质点的加速度则按复合函数求全导数的方法来求：其分量式为 引进汉米顿（Hamilton）算子符号:可表示为 加速度各项的物理意义是,流体质点的加速度由两部分组成。称 为当地加速度或局部加速度，由流场的不恒定性引起的。称 为变位加速度或迁移加速度，由流场的不均匀性引起的。质点的加速度是这两项之和，即 图3.1是水箱内的水经收缩管流出，

4、若水箱无来水补充。如果该水箱有来水补充，水位H保持不变。该质点的加速度 图3.2是水箱内水经等截面直管流出，若水位H不变即 。3.2 3.2 流体运动的分类、迹线和流线流体运动的分类、迹线和流线 3.2.1 3.2.1 流体运动的分类流体运动的分类【例3.3】已知速度场 。试问：（1）t=1s时在（2,1）点的加速度是多少。（2）流动是恒定流还是非恒定流。（3）流动是均匀流还是非均匀流。【解】（1）由式（3.7）以t=1s，x=2，y=1代入上式，得 同理（2）因速度场随时间变化，此流动为非恒定流。（3）由式 故此流动是均匀流。3.2.2 3.2.2 迹线和流线迹线和流线 1.1.迹线的概念迹

5、线的概念 某一个流体质点在连续的时间t到t+dt这段时间内，在空间描绘出来的一条曲线，称为迹线。2.2.迹线的微分方程迹线的微分方程 ，如图3.4所示，该流体质点的速度分量分别为：式中t为自变量，是t的函数，表示一个流体质点在不同时刻t占据的空间位置。便得到迹线的微分方程 3.3.流线的概念流线的概念 流线就是这样的一条曲线，在某个瞬时，这条曲线上所有空间点上的流体质点速度方向和该曲线相切。这曲线就称为该瞬时的流线（图3.5）。一般情况下，二条流线是不能相交的，除非这个相交点，流体质点的速度为零。流线和迹线是两个完全不同的概念，但是在恒定流动中，流线和迹线在形式上是重合的。4.4.流线的微分方

6、程流线的微分方程 在t时刻，在流线AB上某点处取微分线段矢量，为该点的速度矢量（图3.8），两者方向一致。在直角坐标系中 在场论中，直角坐标系下 和 相切表示为：故必须满足 由于流线是对某一瞬时而言，所以微分方程中t是参变量，在积分过程中是作为常数来处理的。【例3.4】已知流体的速度分布为 试求流线方程。【解】由流线的微分方程式（3.12）得 其中t是参变量，积分得【例3-6】已知流场的速度分布为（K0 常数，且是在上半平面的流动）试求：（1）流线方程；（2）迹线方程。【解】（1）由流线的微分方程式（3.12）积分，得 即（2）由迹线的微分方程式（3.11）积分，得 即 1.1.过流断面和总流

7、过流断面和总流 在流束上作出与流线相垂直的横断面称为过流断面，如果流线是相互平行的均匀流，过流断面是平面，否则就不是平面（图3.11）。总流是指过流断面为有限大的流束，它可以看成由无限多的元流构成。3.2.3 3.2.3 流流量量 2.2.流量流量 流量是指单位时间内通过某一空间曲面（往往是过流断面）流体的体积。用QV表示，QV=m3/s通过过流断面上的体积流量 流量的计算方法：3.3.断面平均流速断面平均流速 在总流的过流断面上，一般来讲各点的流速大小总是不相同的。定义该断面的平均流速V，即 式中Q该断面的体积流量；A该断面的面积。平均速度概念在管道流动计算中经常使用。【例3.7】已知半径为

8、R的圆管中，过流断面上的流速分布为 式中 是管轴中心处最大流速，r为距管轴中心的距离（图3.13）。试求:（1）通过圆管的流量；（2）过流断面的平均流速V；（3）过流断面上速度恰好等于平均速度的 点距管轴中心的距离。【解】（1）在过流断面，半径为r处，取一环形微分面积，面上各点v相等。则通过该微分面积的体积流量 通过圆管的体积流量Q为（2）过流断面上的平均流速V为（3）依题意，令 则 处速度恰好等于平均速度。3.3 3.3 连续性方程连续性方程 3.3.1 3.3.1 恒定运动下微流管的连续性方程恒定运动下微流管的连续性方程 在流体中取一微流管，如图3.14。或 常数 式中 流管某一过流断面处

9、流体的密度；该过流断面处流体的速度；该过流断面的面积。当为管流时，或式中V为过流断面平均流速，A为过流断面面积。在研究平面流动中，过流断面 （单位宽度）,即当研究不可压缩流体 常数时3.3 3.3 连续性方程连续性方程 3.3.1 3.3.1 恒定运动下沿总流的连续性方程恒定运动下沿总流的连续性方程 式中V为过流断面平均流速，A为过流断面面积。3.3.2 3.3.2 连续性微分方程连续性微分方程 1.1.直角坐标系下的连续性微分方程直角坐标系下的连续性微分方程 在流场中取微小的直角六面体空间作为控制体，在dt时间内，流体从AB面流入的质量为 ；从CD面流出的质量为。其中 在dt时间内，在x方向

10、，通过AB和CD两个面，使微六面体中流体质量变化为：同理，y,z方向的流体质量变化分别为：和 所以，dt时间内通过该控制体流体质量的变化为上述三项之和 dt时间内，由于密度的变化使微六面体内流体的质量变化了 。根据质量守恒定律，该两项之和必须等于零，化简即得 在场论中，称为速度矢量的散度，记作 。对于均质不可压缩流体表示为记作在恒定流动中，可压缩流体的连续性方程式为【例3.8】已知不可压缩流体的速度场 ，其中 为常数，试求速度分量 。【解】对于不可压缩流体，由连续性微分方程（式3.19）得 积分上式，得 3.4 3.4 流场中一点邻域内相对运动分析流场中一点邻域内相对运动分析 刚体的运动再复杂

11、，无非是移动和转动的迭加。但是，流体的运动中，除了上述这两种运动外，还要变形。流体微团运动流体微团运动(a):流体微团运动流体微团运动(b):流体微团运动流体微团运动(c):龙卷风龙卷风:流体微团运动的组成流体微团运动的组成 （1）以其中心速度 的平移。（2）绕通过此中心的某轴以旋转角速度 的有旋运动。（3）流体微团在运动过程中还要变形，既有直线变形，而且还有角变形运动。3.5 3.5 势流及速度势函数势流及速度势函数 3.5.1 势流 当流体作无旋运动称为势流。此时 ，即满足 ，的意义的意义 在xy平面内面积元绕z轴旋转的角速度为 绕x轴和y轴旋转的角速度分别为：它们三者一起构成了角速度矢量

12、 其中 是场论中符号，称为速度矢量的旋度，或记作 ，它的计算式可写成行列式形式为 当流体微团在运动时有旋转角速度，称流体质点作旋涡运动（或有旋运动）。无旋流动是势流的充要条件(无旋即有势)，即【例3.9】已知平面流动的速度场为 ，。试判断流动是否为势流。平面流动中 故该平面流动为势流。3.5.2 速度势函数 由场论知识，当速度场满足 时，在流场中必定存在并可找到一个标量函数 ，使得上式可表示为 ，称函数 的梯度记作 ,场论中函数的梯度的计算式为：通常称函数 为速度势函数，简称速度势，而 常数称为流场的等势线。无旋流动简称势流；反之势流必是无旋流动。在流体力学中，若流动是势流时，寻找速度势 十分

13、重要，因为 的梯度 ，用一个标量函数即可表示无旋流场中任一点的三个速度分量。【例3.10】已知不可压缩流体平面速度场 ，。【解】（1）本题为xOy平面上的平面流动，只需判别 是否为零。是势流，具有速度势 。（2）试求：（1）判别流动是否为势流；（2）若是势流，求速度势函数 。由于 ，取 ，不影响 的普遍意义。故 3.6 3.6 平面流动和流函数平面流动和流函数 平面流动是指当流体的运动在平行平面上完全相同，决定流动参数仅与两个坐标及时间有关，在计算流量时，只需考虑单位厚度即可。3.6.1 3.6.1 平面流动平面流动 如图3.21所示，绕圆柱体流动的空间问题就可以用平面流动来代替。3.6.2

14、3.6.2 流流 函函 数数 设平面矢量函数 ：则 在平面流动中，只要满足 ，则 ，必定存在一个势函数 ，使得 ，称 是 的势函数，它是 的流函数。在平面流动中，只要满足连续性微分方程，不论是无旋流动或有旋流动，都存在流函数，而只有无旋流动才有速度势，可见流函数 比速度势 更具有普遍性。流函数具有以下主要性质：（1）流函数的等值线是流线方程。（2）两条流线的流函数的差值，等于通过该两流线间的流量（单位宽度）。（3）在平面势流中，流线和等势线正交。流线和等势线互为正交，所以平面流动中等势线也就是过流断面线。等势线和流线构成流网。【解】（1）流函数：【例3.11】已知平面不可压缩流体速度场 ，（），且 。试求：（1）流函数；（2）速度势。故存在流函数。流线方程（2）速度势即对于平面流动 ，存在速度势。等势线方程即流线、等势线如图（3.23）所示。【例3.12】不可压缩恒定流动的平面势流，其x方向的速度分量为 ，且在（0,0）点处 ，试求通过（0,0）和（1,1）两点连线的流体流量Q。【解】满足，即，满足，在（0,0）点，即 通过（0,0）和（1,1）两点连线流量Q 即即第3章结束