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1、审核：牟必继 主备：张正勇3.2.33.2.3立体几何中的向量方法立体几何中的向量方法距离问题距离问题含泪播种的人一定能含笑收获 一、复习引入一、复习引入用空间向量解决立体几何问题的用空间向量解决立体几何问题的“三步曲三步曲”。（1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；何问题转化为向量问题；（2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；
2、（3）把向量的运算结果）把向量的运算结果“翻译翻译”成相应的几何意成相应的几何意义。义。（化为向量问题）（化为向量问题）（进行向量运算）（进行向量运算）（回到图形）（回到图形）距离问题：距离问题：(1) A(x1,y1,z1), B(x2,y2,z2), 则则222121212()()()ABxxyyzz距离问题：距离问题：asin, dAPAP a (2) 点点P与直线与直线l的距离为的距离为d , 则则距离问题：距离问题：(3) 点点P与平面与平面的距离为的距离为d , 则则 u A P O du注： 平面的法向量A是直线与平面的交点，P是直线上任意一点距离问题：距离问题：(4) 异面直线
3、间异面直线间l和和m的的距离为距离为d , CD为异面直线的公垂线，则为异面直线的公垂线，则 umDCPAlab两平面之间的距离呢？u注： 是与两异面直线都垂直，A,P是两异面直线上的任意点ABCD1A1B1C1DExyz 例例1 如图，在正方体如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长中，棱长为为1，E为为D1C1的中点，求点的中点，求点E到直线到直线A1B的距离的距离. 建立坐标系11111 1 解解:. A E =(-1,0),A B =(0,1,-1):. A E =(-1,0),A B =(0,1,-1)2 2111cos, 10AEAB 113sin, 10AEAB 点点E到
4、直线到直线A1B的距离为的距离为1113sin, 24dAEAEAB ABCD1A1B1C1DExyz 例例 如图，在正方体如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为中，棱长为1，E为为D1C1的中点，求点的中点，求点E到直线到直线A1B的距离的距离.解解2：定义法：定义法ABCD1A1B1C1DExyz 例例2 如图，在正方体如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长中，棱长为为1，E为为D1C1的中点，求的中点，求B1到面到面A1BE的距离的距离.u 建立坐标系11111 11 1 解解:. A E =(-1,0),A B =(0,1,-1):. A E =(-1,0),A
5、B =(0,1,-1)2 2设设 =(1,y,z)=(1,y,z)为为面面A BEA BE的法向的法向量量uu 1 11 1A E = 0,A E = 0,由由A B = 0,A B = 0, 得 u u = = ( (1 1, ,2 2, ,2 2) ) 1111A B = 0,1,0 ,A B = 0,1,0 , 11111111 B B 到到面面A BEA BE的距的距离离为为A B nA B n2 2 d= d=3 3n nABCD1A1B1C1DE 例例 如图，在正方体如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为中，棱长为1，E为为D1C1的中点，求的中点，求B1到面到面A1B
6、E的距离的距离.等体积法等体积法1111BA BEE A BBVV解解2ABCD1A1B1C1DExyz 例例3 如图，在正方体如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为中，棱长为1，E为为D1C1的中点，求的中点，求D1C到面到面A1BE的距离的距离. 解解1:D1C面面A1BE D1到面到面A1BE的距离即为的距离即为D1C到面到面A1BE的距离的距离. 仿上例求得仿上例求得D1C到到 面面A1BE的距离为的距离为1113D A udu ABCD1A1B1C1DE 例例 如图，在正方体如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为中，棱长为1，E为为D1C1的中点，求的中点，求
7、D1C到面到面A1BE的距离的距离.等体积法等体积法1111DA BEB A D EVV解解2ABCD1A1B1C1Dxyz 例例4 如图，在正方体如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为中，棱长为1，求面，求面A1DB与面与面D1CB1的距离的距离. 解解1:面面D1CB1面面A1BD D1到面到面A1BD的距离即的距离即 为面为面D1CB1到面到面A1BD的距离的距离1111( 1,1,1),(1,0,0) 平面的一个法向量为且A BDACD A 111133D AACdAC ABCD1A1B1C1D 例例5 如图，在正方体如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为中，棱
8、长为1，求面，求面A1DB与面与面D1CB1的距离的距离.等体积法等体积法1111DA BDB A DDVV解解2 例例5 如图，在正方体如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为中，棱长为1，E为为D1C1的中点，求异面直线的中点，求异面直线D1B与与A1E的距离的距离.ABCD1A1B1C1DExyz111(0,0,1), (1,1,0),(1,0,1),(0,1)2DBAE解: :111,0 ,2AE 11,1, 1D B 11(1, , ),设与都垂直ny zA E D B 110,0,由n A En D B (1,2,3)得n 111,0,0 ,D A 11与的距离为A EB
9、D111414D A ndn 例例6 如图如图1：一个结晶体的形状为四棱柱，其中，以顶点：一个结晶体的形状为四棱柱，其中，以顶点A为端点为端点 的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是60，那么以这，那么以这 个顶点为端点的晶体的对角线的长与棱长有什么关系？个顶点为端点的晶体的对角线的长与棱长有什么关系？ A1B1C1D1ABCD 图图1解：解：如图如图1，1111 60ABAAADBADBAADAA 设，11AAADABAC 2121)(AAADABAC )(2112122AAADAAABADABAAADAB )60cos60cos60(cos2111 6
10、 所以所以6|1 AC答答: 这个晶体的对角线这个晶体的对角线 AC1 的长是棱长的的长是棱长的 倍。倍。6 练习练习.(P107.2).(P107.2)如图，如图，6060的二面角的棱上的二面角的棱上有有A A、B B两点，两点， 直线直线ACAC、BDBD分别在这个二面角的分别在这个二面角的两个半平面内两个半平面内, ,且都垂直且都垂直AB, AB, 已知已知ABAB4,AC4,AC6 6，BDBD8 8，求，求CDCD的长的长. . BACD 68解1 练习练习.(P107.2).(P107.2)如图，如图，6060的二面角的棱上的二面角的棱上有有A A、B B两点，两点， 直线直线AC
11、AC、BDBD分别在这个二面角的分别在这个二面角的两个半平面内两个半平面内, ,且都垂直且都垂直AB, AB, 已知已知ABAB4,AC4,AC6 6，BDBD8 8，求，求CDCD的长的长. . BACD 68解2作作 业业P111 2 P112 512. ,A EAF 提示:= 或 - .5(2). ,AO AD 用重心公式 或计算A1E作作 业业 1 . 在正方体在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为中，棱长为1，求面，求面A1DB与面与面D1CB1的距离的距离. 2. 在正方体在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为中，棱长为1，E为为D1C1的中点，求异面直线的中点，求异面直线D1B与与A1E的距离的距离. 例例 四棱锥四棱锥P-ABCD中，底面中，底面ABCD是正方是正方形形, PD底面底面ABCD，PD=DC=6, E是是PB的的中点，中点，PF=FG=GC . 求证：面求证：面AEF/面面BDG.ABCDP PG GXYZF FE E作业作业