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1、第一章第一章 行列式行列式1 1 二阶与三阶行列式二阶与三阶行列式2 2 全排列及其逆序数全排列及其逆序数 3 n3 n阶行列式的定义阶行列式的定义4 4 对换对换5 5 行列式的性质行列式的性质 6 6 行列式按行行列式按行(列列)展开展开7 7 克拉默法则克拉默法则6 6 行列式按行行列式按行(列列)展开展开uu一、余子式和代数余子式一、余子式和代数余子式一、余子式和代数余子式一、余子式和代数余子式 在在n n阶行列式中，把阶行列式中，把(i,ji,j)元所在的第元所在的第i i行和第行和第j j列划掉列划掉，其余的元素按原，其余的元素按原来的相对位置排列，所形成新的来的相对位置排列，所形
2、成新的n-1n-1阶阶行列式叫做的行列式叫做的(i,ji,j)元元就叫做相应的就叫做相应的代数代数余子式余子式.,是一个数值是一个数值;记作记作的的余子式余子式，uu二、引理二、引理二、引理二、引理 在在n n阶行列式阶行列式D D中中,如果其第如果其第i i行除行除(i,ji,j)元以外元以外,其余的元素均为零其余的元素均为零,则该行则该行列式等于这个列式等于这个(i,ji,j)元与它的代数余子式的积元与它的代数余子式的积.即即证明证明:(1)(1)先证先证i=j=1i=j=1的情形的情形,此时此时依次换行依次换行i-1i-1次得到次得到:再依次换列再依次换列j-1j-1次得到次得到:右端行
3、列式是一个分块下三角行列式右端行列式是一个分块下三角行列式,于是于是证毕证毕.注注 该引理在行列式计算中的意义在于该引理在行列式计算中的意义在于:这类特殊行列式可以降一阶处理这类特殊行列式可以降一阶处理;该引理在理论上的意义在于该引理在理论上的意义在于:可以引导出行列式按行可以引导出行列式按行(列列)展开的性质展开的性质.定理定理3 3：行列式等于它的任一行行列式等于它的任一行(列列)的各元素与其对应的代数余子式的乘的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和积之和.该性质称为行列式按行该性质称为行列式按行(列列)展开法则展开法则.即即证明证明:uu三、行列式按行三、行列式按行三、行列式按行三、行列
4、式按行(列列列列)展开展开展开展开证毕证毕.注注:利用这一法则并结合行列式的性质，可以简化行列式的计算利用这一法则并结合行列式的性质，可以简化行列式的计算.解解:例例例例1.6.21.6.21.6.21.6.2 (例例1.51.5.2.2的解法的解法2)2)求解求解 解：解：保留保留,利用性质利用性质6,6,把把D D的第的第3 3行其余元素均化为零行其余元素均化为零,再按第再按第3 3行展开行展开:例例例例1.6.31.6.31.6.31.6.3（例（例1.5.61.5.6的解法的解法2 2）解解:其中记号其中记号“”“”表示全体同类因子的乘积表示全体同类因子的乘积.例例例例1.6.41.6
5、.41.6.41.6.4 证明：证明：范德蒙德（范德蒙德（VandermondeVandermonde）行列式）行列式特点特点:第第1,2,1,2,n,n行元素分别是第行元素分别是第2 2行元素的行元素的0,1,0,1,n-1,n-1次幂次幂.结论结论:行列式的值是第行列式的值是第2 2行各元素与其前面各元素之差的乘积行各元素与其前面各元素之差的乘积.例如例如证毕证毕.定理定理3 3的推论的推论：行列式某一行行列式某一行(列列)的元素与的元素与另另一行一行(列列)的的对应元素的对应元素的代数代数余子式乘积之和等于零余子式乘积之和等于零.即即综合定理综合定理3 3及其推论，及其推论，有关于代数余
6、子式的重要性质：有关于代数余子式的重要性质：uu四、代数余子式的重要性质四、代数余子式的重要性质四、代数余子式的重要性质四、代数余子式的重要性质注注:代数余子式的上述重要性质代数余子式的上述重要性质,在计算及理论推导中均有应用在计算及理论推导中均有应用.如下例如下例.uu克拉默法则克拉默法则克拉默法则克拉默法则例例例例1.7.1 1.7.1 1.7.1 1.7.1 设曲线设曲线 uu系数行列式与线性方程组的解系数行列式与线性方程组的解系数行列式与线性方程组的解系数行列式与线性方程组的解uu齐次线性方程组与非齐次线性方程组齐次线性方程组与非齐次线性方程组齐次线性方程组与非齐次线性方程组齐次线性方
7、程组与非齐次线性方程组1.1.三元齐次线性方程组解的几何意义三元齐次线性方程组解的几何意义uu齐次线性方程组及其有非零解的充要条件齐次线性方程组及其有非零解的充要条件齐次线性方程组及其有非零解的充要条件齐次线性方程组及其有非零解的充要条件例例例例1.7.21.7.21.7.21.7.2 求求为何值时为何值时,齐次线性方程组齐次线性方程组 本次课基本要求本次课基本要求 1.1.掌握余子式和代数余子式的概念；掌握余子式和代数余子式的概念；2.2.熟熟 记记 行行 列列 式式 按按 行行(列列)展展 开开 的的 法法 则则(定定 理理 3)3)，理解定理，理解定理3 3的推论；的推论；3.3.掌掌握握克克拉拉默默法法则则、齐齐次次线线性性方方程程组组有有非非零零 解的充要条件解的充要条件.课后作业课后作业P27:P27:6(4)(5)6(4)(5)，8(3)(6)8(3)(6)，10(2)10(2)，12.12.