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1、第五章第五章 大数定律和中心极限定理大数定律和中心极限定理55.3中心极限定理中心极限定理大数定律揭示了大量随机变量的算术平均值大数定律揭示了大量随机变量的算术平均值在一定条件下具有某种稳定性这一重要规律。在一定条件下具有某种稳定性这一重要规律。而在概率论中还有一类重要的极限定理，它是而在概率论中还有一类重要的极限定理，它是解决在什么条件下，大量独立的随机变量的和解决在什么条件下，大量独立的随机变量的和的分布是以正态分布为极限分布。的分布是以正态分布为极限分布。如果一个量是由大量相互独立的随机因素如果一个量是由大量相互独立的随机因素的影响所造成，而每一个别因素在总影响中的影响所造成，而每一个别
2、因素在总影响中所起的作用不大所起的作用不大.则这种量一般都服从或近似则这种量一般都服从或近似服从正态分布服从正态分布.由于无穷个随机变量之和可能趋于由于无穷个随机变量之和可能趋于，故我们不研究故我们不研究n个随机变量之和本身而考虑它个随机变量之和本身而考虑它的标准化的随机变量的标准化的随机变量的分布函数的极限的分布函数的极限.列维一林德伯格（列维一林德伯格（LevyLindberg）定理定理.它表明，当它表明，当n充分大时，充分大时，n个具有期望和方差个具有期望和方差的独立同分布的的独立同分布的r.v之和近似服从正态分布之和近似服从正态分布.定理定理1（独立同分布下的中心极限定理独立同分布下的
3、中心极限定理）设设 1,2,是独立同分布的随机变量序是独立同分布的随机变量序列，且列，且E(i)=，D(i)=2，i=1,2,，则，则例例1、根根据据以以往往经经验验，某某种种电电器器元元件件的的寿寿命命服服从从均均值值为为100小小时时的的指指数数分分布布.现现随随机机地地取取16只只，设设它它们们的的寿寿命命是是相相互互独独立立的的.求求这这16只只元元件件的的寿寿命的总和大于命的总和大于1920小时的概率小时的概率.由题由题设知，各设知，各 i 独立，独立，16只元件的寿命的总和为只元件的寿命的总和为解解:设第设第i只元件的寿命为只元件的寿命为 i,i=1,2,16E(i)=100,D(
4、i)=10000依题意，所求为依题意，所求为P(1920)由于由于E()=1600,D()=160000由中心极限定理由中心极限定理,近似近似N(0,1)P(1920)=1-P(1920)=1-(0.8)1-=1-0.7881=0.2119=1-定理定理2（德莫佛（德莫佛-拉普拉斯定理）拉普拉斯定理）设随机变量设随机变量 n(n=1,2,)服从参数为服从参数为n,p(0p1)的二项分布的二项分布(DeMoivre-Laplace)定理表明，当定理表明，当n很大，很大，0p1是一个定值是一个定值时（或者说，时（或者说，np(1-p)也不太小时），也不太小时），二项二项变变量的量的分布近似正态分布
5、分布近似正态分布N(np,np(1-p).则对任意则对任意x，恒有，恒有q=1-p由定理由定理1 1有结论成立。有结论成立。推论：推论：设随机变量设随机变量 n(n=1,2,)服从参数为服从参数为n,p(0p1)的二项分布的二项分布,说明：说明：这个公式给出了这个公式给出了n较大时二项分布较大时二项分布的概率的概率计算方法。计算方法。当当n充分大时有：充分大时有：例例2某保险公司多年的统计资料表明，在索赔户中被盗某保险公司多年的统计资料表明，在索赔户中被盗索赔户占索赔户占20%，以，以X表示在随机抽查的表示在随机抽查的100个索赔户中个索赔户中因被盗向保险公司索赔的户数因被盗向保险公司索赔的户
6、数（1）写出写出X的概率分布的概率分布（2）利用中心极限定理，求被盗索赔户不少于利用中心极限定理，求被盗索赔户不少于14户户且不多于且不多于30户的概率的近似值户的概率的近似值(2)np=20npq=16P14X30=(5/2)-(-3/2)=0.9937-1+0.9331=0.9268解解:(1)XB(100,0.2)例例3P170某单位有某单位有1000台电话分机，每台分机有台电话分机，每台分机有5%的时间要使用外线通话。假定每台分机是否使用的时间要使用外线通话。假定每台分机是否使用外线是相互独立的，问该单位总机要安装多少条外线是相互独立的，问该单位总机要安装多少条外线，才能以外线，才能以
7、95%以上的概率保证分机用外线时以上的概率保证分机用外线时不等待？不等待？解：解：设有设有 部分机同时使用外线，则有部分机同时使用外线，则有设有设有N条外线。由题意有条外线。由题意有由德莫佛由德莫佛-拉普拉斯定理有拉普拉斯定理有用频率估计概率时误差的估计：由上面的定理知由上面的定理知用这个关系式可解决许多计算问题。用这个关系式可解决许多计算问题。第一类问题第一类问题是已知是已知求概率求概率第二类问题第二类问题是要使是要使问最少应做多问最少应做多少次试验？这时只需求满足下式的最小的少次试验？这时只需求满足下式的最小的n,第三类问题第三类问题是已知是已知例例4现有一批种子，其中良种占现有一批种子，其中良种占1/6。今任取。今任取6000粒，问能以粒，问能以0.99的概率保证在这的概率保证在这6000粒粒种子中良种所占的比例与种子中良种所占的比例与1/6的差不超过多的差不超过多少？相应的良种粒数在哪个范围内？少？相应的良种粒数在哪个范围内？解：解：由德莫佛由德莫佛-拉普拉斯定理拉普拉斯定理故近似地有故近似地有良种粒数良种粒数X的范围为的范围为