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1、第第5.35.3节节 独立同分布场合的极限定理独立同分布场合的极限定理二、辛钦大数定律二、辛钦大数定律三、中心极限定理三、中心极限定理一、一、独立和问题独立和问题一、独立和问题一、独立和问题1 1、n n重伯努利试验重伯努利试验2 2、一般场合的独立和问题、一般场合的独立和问题的收敛性如何？极限分布是什么？的收敛性如何？极限分布是什么？研究此类问题的实际意义有哪些呢？研究此类问题的实际意义有哪些呢？对此类问题的研究将采用特征函数法对此类问题的研究将采用特征函数法.二、辛钦大数定律二、辛钦大数定律关于辛钦定理的说明关于辛钦定理的说明:(1)与车贝晓夫大数定理相比与车贝晓夫大数定理相比,不要求方差
2、存在不要求方差存在;(2)贝努利定理是辛钦定理的特殊情况贝努利定理是辛钦定理的特殊情况.辛钦资料辛钦资料证明：证明：对于固定的对于固定的t例例1(p288例例1）利用概率论方法计算积分利用概率论方法计算积分解解即即由辛钦大数定律可知由辛钦大数定律可知 上述计算方法被称为上述计算方法被称为蒙特卡罗方法蒙特卡罗方法，即用概率论的，即用概率论的方法计算相关数值，在蒲丰投针问题中介绍过方法计算相关数值，在蒲丰投针问题中介绍过.三、中心极限定理三、中心极限定理定理定理5.3.25.3.2表明表明:证明证明所以所以定理证毕定理证毕解解由定理由定理5.3.2,随机变量随机变量Z近似服从正态分布近似服从正态分
3、布N(0,1),其中其中 例例2 2 一船舶在某海区航行一船舶在某海区航行,已知每遭受一次已知每遭受一次海浪的冲击海浪的冲击,纵摇角大于纵摇角大于 3 的概率为的概率为1/3,若船舶若船舶遭受了遭受了90000次波浪冲击次波浪冲击,问其中有问其中有2950030500次纵摇角大于次纵摇角大于 3 的概率是多少？的概率是多少？解解 将船舶每遭受一次海将船舶每遭受一次海浪的冲击看作一次试验浪的冲击看作一次试验,并假设各次试验是独立的并假设各次试验是独立的,在在90000次波浪冲击中纵摇角大于次波浪冲击中纵摇角大于 3 的次数为的次数为,则则是一个随机变量是一个随机变量,所求概率为所求概率为分布律为
4、分布律为直接计算很麻烦，利用直接计算很麻烦，利用德莫佛拉普拉斯定理德莫佛拉普拉斯定理证证根据根据定理定理5.3.2 例例4(4(p291p291例例2)2)(正态随机数的产生正态随机数的产生)在蒙特卡在蒙特卡罗法中经常需要产生服从正态分布的随机数，但是罗法中经常需要产生服从正态分布的随机数，但是一般计算机只备有产生一般计算机只备有产生0,1均匀分布随机数的程均匀分布随机数的程序，怎样通过序，怎样通过 0,1均匀分布的随机数来产生正态均匀分布的随机数来产生正态随机数呢？最常用的是利用林德贝格莱维中心极随机数呢？最常用的是利用林德贝格莱维中心极限定理来完成限定理来完成.得到正态分布得到正态分布N(
5、0,1)的随机数序列的随机数序列，其中其中 例例5(5(p292p292例例3)3)(近似数定点运算的误差分析近似数定点运算的误差分析)数值数值计算时，任何数计算时，任何数x 都只能用一定位数的有限小数都只能用一定位数的有限小数y来来近似，这样就产生了一个误差近似，这样就产生了一个误差=x-y.在下面讨论中，在下面讨论中，我们假定参加运算的数都用十进制定点表示，每个我们假定参加运算的数都用十进制定点表示，每个数都用四舍五入的方法得到小数点后五位，这是相数都用四舍五入的方法得到小数点后五位，这是相应的舍入误差可以看作应的舍入误差可以看作则误差估计为则误差估计为比较两种估计法的结果：取比较两种估计法的结果：取n=10000,显然概率法得到的误差估计只是传统方法的显然概率法得到的误差估计只是传统方法的60分之一分之一.类似的可以将中心极限定理推广到多维随机变量类似的可以将中心极限定理推广到多维随机变量的场合的场合证明略证明略 （参见（参见p293证明）证明）作作 业业习题五习题五 29、31、32、34 辛钦资料辛钦资料Aleksandr Yakovlevich KhinchinBorn:19 July 1894 in Kondrovo,Kaluzhskaya guberniya,RussiaDied:18 Nov 1959 in Moscow,USSR