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1、第1页 空间几何体的表面积和体积空间几何体的表面积和体积第2页 主要知识点归纳：主要知识点归纳：第3页 1把柱体、锥体、台体的面展开成一个平面把柱体、锥体、台体的面展开成一个平面图形，称为它的图形，称为它的_，它的表面积就，它的表面积就是是_的面积的面积展开图展开图展开图展开图第4页 2圆柱、圆锥、圆台的侧面积及表面积圆柱、圆锥、圆台的侧面积及表面积S圆柱侧圆柱侧_，S柱表柱表_；S圆锥侧圆锥侧_，S锥表锥表_；S圆台侧圆台侧_，S台表台表_.2rl2r(rl)rlr(rl)(rr)l(r2r2rlrl)第5页 3.棱柱、棱锥、棱台的侧面积及表面积棱柱、棱锥、棱台的侧面积及表面积1、S直棱柱侧
2、直棱柱侧 ch(其中直棱柱的底面周长为其中直棱柱的底面周长为c，高为高为h)2S正棱锥侧正棱锥侧 ch nah(其中其中a、c、n、h分分别为正棱锥底面的边长、周长、边数和正棱锥别为正棱锥底面的边长、周长、边数和正棱锥的斜高的斜高)3如果正棱台的上、下底面的周长是如果正棱台的上、下底面的周长是c、c，斜，斜高是高是h，那么它的侧面积是，那么它的侧面积是S正棱台侧正棱台侧 (cc)h4棱柱的全面积等于侧面积与两底面积的和；棱棱柱的全面积等于侧面积与两底面积的和；棱锥的全面积等于底面积与侧面积的和；棱台的锥的全面积等于底面积与侧面积的和；棱台的全面积等于侧面积与两底面积的和全面积等于侧面积与两底面
3、积的和第6页 4柱、锥、台体的体积柱、锥、台体的体积V长方体长方体_，V正方体正方体_，V柱柱Sh，V锥锥 Sh，这是柱体、锥体、台体统一计算公式，特别的圆柱、这是柱体、锥体、台体统一计算公式，特别的圆柱、圆锥、圆台还可以分别写成：圆锥、圆台还可以分别写成：V圆柱圆柱_，V圆锥圆锥_，V圆台圆台_abca3r2hr2hh(r2rrr2)第7页 5球的体积及球的表面积球的体积及球的表面积设球的半径为设球的半径为R，V球球_，S球球_.4R2第8页 基础训练基础训练1.一个长方体有共顶点的三个面的面积分别是一个长方体有共顶点的三个面的面积分别是 则这个长方体对角线的长是则这个长方体对角线的长是()
4、答案：答案：D第9页 解析：设长方体的长、宽、高分别为解析：设长方体的长、宽、高分别为a、b、c，第10页 2圆台上、下底面面积分别是圆台上、下底面面积分别是、4，侧面积是，侧面积是6，这个圆台的体积是，这个圆台的体积是()第11页 解析：设圆台上、下底面半径分别为解析：设圆台上、下底面半径分别为r1，r2，母，母线长为线长为l，高为，高为h.答案：答案：D第12页 3用与球心距离为用与球心距离为1的平面去截球，所得的截面面的平面去截球，所得的截面面积为积为，则球的体积为，则球的体积为()解析：截面圆的半径为解析：截面圆的半径为1，又球心到截面距离等于，又球心到截面距离等于1，所以球的半径，所
5、以球的半径答案：答案：B第13页 4如果一个几何体的三视图如右图所示如果一个几何体的三视图如右图所示(单位长度：单位长度：cm)，则此几何体的表面积是则此几何体的表面积是()A(8016 )cm2 B96 cm2C(9616 )cm2 D112cm2答案：答案：A第14页 解析：将几何体还原，如图：该几何体是由边长为解析：将几何体还原，如图：该几何体是由边长为4的正方的正方体和一个底面边长为体和一个底面边长为4高为高为2的正四棱锥构成的，的正四棱锥构成的，在正四棱锥中，可得在正四棱锥中，可得EG2 ，四棱锥的表面积为四棱锥的表面积为S14 42 16 ，正方体除，正方体除去一个面的表面积为去一
6、个面的表面积为S254280，所以几何体的表面积，所以几何体的表面积S8016 .第15页 5有一个正三棱柱，其三视图如图，则其体积等于有一个正三棱柱，其三视图如图，则其体积等于()A3 B1 C.D4第16页 解析：由图知该几何体为底面为正三角形的三棱柱，底面三解析：由图知该几何体为底面为正三角形的三棱柱，底面三角形高为角形高为2，答案：答案：D第17页 类型一：棱柱、棱锥、棱台的表面积、体积类型一：棱柱、棱锥、棱台的表面积、体积第18页 解题准备：求解有关多面体表面积问题的关键是利解题准备：求解有关多面体表面积问题的关键是利用几何图形的性质找到其特征几何图形，从而体现用几何图形的性质找到其
7、特征几何图形，从而体现出高、斜高、边长等几何元素间的关系，如棱柱的出高、斜高、边长等几何元素间的关系，如棱柱的矩形、棱锥中的直角三角形、棱台中的直角梯形等矩形、棱锥中的直角三角形、棱台中的直角梯形等第19页 柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系，可表柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系，可表示为示为第20页 解决不规则几何体的问题应注意应用以下方法：解决不规则几何体的问题应注意应用以下方法：1几何体的几何体的“分割分割”依据已知几何体的特征，将其分割成若干个易于求依据已知几何体的特征，将其分割成若干个易于求体积的几何体，进而求解体积的几何体，进而求解2几何体的几何体的“补形补形”有时为了计算方
8、便，可将几何体补成易求体积的几有时为了计算方便，可将几何体补成易求体积的几何体，如长方体、正方体等何体，如长方体、正方体等第21页 例例1.如图所示，一个直三棱柱形容器中盛有水，且如图所示，一个直三棱柱形容器中盛有水，且侧棱侧棱AA18.若侧面若侧面AA1B1B水平放置时，液面恰好水平放置时，液面恰好过过AC、BC、A1C1、B1C1的中点，当底面的中点，当底面ABC水平水平放置时，液面高为多少？放置时，液面高为多少？第22页 解解 当侧面当侧面水平放置时，水的形水平放置时，水的形状为四棱柱形，底面为梯形状为四棱柱形，底面为梯形设设的面积为，侧的面积为，侧梯形梯形 ，水水 当底面水平放置时，水
9、的形状为三棱柱形，当底面水平放置时，水的形状为三棱柱形，设水面设水面高为，则有高为，则有水水，故当底面水平放置时，液面高为故当底面水平放置时，液面高为第23页 评析评析两种放置方法中水的形状分别为直四棱柱两种放置方法中水的形状分别为直四棱柱形和直三棱柱形，利用其体积不变可求得高形和直三棱柱形，利用其体积不变可求得高当侧面当侧面AA1B1B水平放置时，可以想象若水凝固不动，水平放置时，可以想象若水凝固不动，将三棱柱竖起来，则水的形状是四棱柱形可按直将三棱柱竖起来，则水的形状是四棱柱形可按直四棱柱计算水的体积，也可用间接法，用大三棱柱四棱柱计算水的体积，也可用间接法，用大三棱柱的体积减去一个小三棱
10、柱的体积减去一个小三棱柱(没有水的部分没有水的部分)的体积的体积本题解答的关键是利用两种放置方法中水的体积不本题解答的关键是利用两种放置方法中水的体积不变建立等式求解变建立等式求解第24页 探究探究1侧面都是直角三角形的正三棱锥，底面边侧面都是直角三角形的正三棱锥，底面边长为长为a时，该三棱锥的全面积是时，该三棱锥的全面积是()答案答案A第25页 探究探究2已知正六棱台的上、下底面边长分别为已知正六棱台的上、下底面边长分别为2和和4，高为，高为2，则其体积为，则其体积为()A32 B28C24 D20第26页 解析解析正六棱台上下底面面积分别为：正六棱台上下底面面积分别为：答案答案B第27页
11、例例2已知已知ABCDA1B1C1D1是棱长为是棱长为a的正的正方体，方体，E、F分别为棱分别为棱AA1与与CC1的中点，求四的中点，求四棱锥棱锥A1EBFD1的体积的体积分析：分析：直接求四棱锥直接求四棱锥A1EBFD1的体积难以入的体积难以入手，把四棱锥分割为两个三棱锥手，把四棱锥分割为两个三棱锥FA1ED1和和FA1EB，而这两个三棱锥体积都易求，而这两个三棱锥体积都易求第28页 解析：解析：如图所示，连结如图所示，连结EF，则，则VA1EBFD1VA1EFD1VA1EFBVFA1ED1VFA1EB SA1ED1C1D1 SA1EBC1B1 第29页 例例2.斜三棱柱斜三棱柱ABCA1B
12、1C1中，已知侧面中，已知侧面BCC1B1的面积为的面积为a，侧棱，侧棱AA1到它的距离为到它的距离为b，求这个棱柱，求这个棱柱的体积的体积解题切入点解题切入点若棱柱是直棱柱，则由底面积乘以若棱柱是直棱柱，则由底面积乘以高可得体积将斜棱柱变为直棱柱，将它高可得体积将斜棱柱变为直棱柱，将它“拦腰拦腰”垂直截断、两底面对接后就可以得到一个直棱柱垂直截断、两底面对接后就可以得到一个直棱柱第30页 第31页 例例3如如图图，在多面体，在多面体ABCDEF中，已知中，已知ABCD是是边长为边长为1的正方形，且的正方形，且ADE、BCF均均为为正三角形，正三角形，EFAB，EF2，则该则该多面体的体多面体
13、的体积为积为()第32页 解析：解析：如图所示，过如图所示，过BC作与作与EF垂直的截面垂直的截面BCG，做面，做面ADM面面BCG，FO 第33页 练习练习3、如、如图图，在三棱柱，在三棱柱ABCA1B1C1中，中，ACB90，ACC160，BCC145，侧侧棱棱CC1的的长为长为1，则该则该三棱柱的高等于三棱柱的高等于()第34页 解析：如图，作C1O底面ABC于点O，过OEBC于E，作OFAC于F，连结C1E、C1F.可知C1FFC，C1EBC.第35页 根据已知条件可得根据已知条件可得答案：A第36页 例4如图1，一个正四棱柱形的密闭容器水平放置，其底部镶嵌了同底的正四棱锥形实心装饰块
14、，容器内盛有a升水时，水面恰好经过正四棱锥的顶点P.如果将容器倒置，水面也恰好过点P(图2)有下列四个命题：第37页 正四棱正四棱锥锥的高等于正四棱柱高的一半的高等于正四棱柱高的一半将容器将容器侧侧面水平放置面水平放置时时，水面也恰好，水面也恰好过过点点P任意任意摆摆放放该该容器，当水面静止容器，当水面静止时时，水面都恰好，水面都恰好经过经过点点P若往容器内再注入若往容器内再注入a升水，升水，则则容器恰好能装容器恰好能装满满其中真命其中真命题题的代号是：的代号是：_(写出所有真命写出所有真命题题的代号的代号)解析：解析：依题意，依题意，a升水为容器容积的一半，故升水为容器容积的一半，故是是真命
15、题，真命题，是假命题；又容器里面相对四个侧是假命题；又容器里面相对四个侧面是对称的，而上下不对称，故面是对称的，而上下不对称，故是真命题，是真命题，是假命题是假命题答案：答案：第38页 例例5正四棱台两底面正四棱台两底面边长边长分分别为别为a和和b(ab)(1)若若侧侧棱所在直棱所在直线线与上、下底面正方形中心的与上、下底面正方形中心的连连线线所成的角所成的角为为45，求棱台的，求棱台的侧侧面面积积；(2)若棱台的若棱台的侧侧面面积积等于两底面等于两底面积积之和，求它的高之和，求它的高第39页 解析：(1)如图，设如图，设O1、O分别为上、下底面分别为上、下底面的中心，过的中心，过C1作作C1
16、EAC于于E，过点，过点E作作EFBC于于F，则，则C1F为正四棱台的斜高为正四棱台的斜高第40页 由题意知由题意知C1CO45，CECOEOCOC1O1 第41页 类型二：圆柱、圆锥、圆台的表面积、体积类型二：圆柱、圆锥、圆台的表面积、体积解题准备：解题准备：1.圆柱、圆锥、圆台的侧面积分别是它圆柱、圆锥、圆台的侧面积分别是它们侧面展开图的面积，因此弄清侧面展开图的形状们侧面展开图的面积，因此弄清侧面展开图的形状及侧面展开图中各线段与原几何体的关系是掌握它及侧面展开图中各线段与原几何体的关系是掌握它们的面积公式及解决相关问题的关键们的面积公式及解决相关问题的关键第42页 2计算柱体、锥体、台
17、体的体积关键是根据条件找计算柱体、锥体、台体的体积关键是根据条件找出相应的底面面积和高，要充分利用多面体的截面出相应的底面面积和高，要充分利用多面体的截面及旋转体的轴截面，将空间问题转化为平面问题及旋转体的轴截面，将空间问题转化为平面问题第43页 例例1已知梯形已知梯形ABCD中，中，ADBC，ABC90，ADa，BC2a，DCB60，在平面，在平面ABCD内，内，过过C作作lCB，以，以l为轴将梯形为轴将梯形ABCD旋转一周，求旋旋转一周，求旋转体的表面积转体的表面积第44页 解：如图所示，该几何体是由一个圆柱、一个圆锥解：如图所示，该几何体是由一个圆柱、一个圆锥构成的构成的在直角梯形在直角
18、梯形ABCD中，中，ADa，第45页 评析评析观察图的角度不同，对几何体的认识不同，观察图的角度不同，对几何体的认识不同，解法也不同，解题时要善于多角度分析，找出较好解法也不同，解题时要善于多角度分析，找出较好的解法的解法第46页 例例2底半径底半径为为1，高，高为为的的圆锥圆锥，其内接，其内接圆圆柱柱的底面半径的底面半径为为R，当，当R为为何何值时值时，内接，内接圆圆柱的体柱的体积积最大？最大？第47页 解：解：轴截面如图，设圆柱高为轴截面如图，设圆柱高为h，由圆锥的平行，由圆锥的平行于底面的截面性质得：于底面的截面性质得：点评：也可以利用导数求其最值 第48页 探究探究1已知底面半径为已知
19、底面半径为 cm，母线长为，母线长为 cm的圆柱，的圆柱，挖去一个以圆柱上底面圆心为顶点，下底面为底面的圆锥，挖去一个以圆柱上底面圆心为顶点，下底面为底面的圆锥，求所得几何体的表面积和体积求所得几何体的表面积和体积第49页 解解如图，圆柱一个底面的面积为如图，圆柱一个底面的面积为圆柱侧面面积为：圆柱侧面面积为：所挖圆锥的母线长为所挖圆锥的母线长为所挖圆锥的侧面面积为：所挖圆锥的侧面面积为：则所得几何体的表面积为：则所得几何体的表面积为：所得几何体的体积：所得几何体的体积：第50页 练习练习2.圆圆柱的柱的侧侧面展开面展开图图是是长长12cm，宽宽8cm的矩的矩形，形，则这则这个个圆圆柱的体柱的
20、体积为积为()第51页 解析：分两种情况(1)12为底面圆周长，则2r12，r ，V(2)8为底面圆周长，则2r8，r ，V 答案：C第52页 类型三：球的表面积、体积类型三：球的表面积、体积解题准备：球的表面积与体积都只与半径解题准备：球的表面积与体积都只与半径R有关，有关，是以是以R为自变量的函数，一个球的半径给定，它的为自变量的函数，一个球的半径给定，它的表面积、体积随之确定，反过来，给定一个球的表表面积、体积随之确定，反过来，给定一个球的表面积或体积，这个球的半径也就确定了面积或体积，这个球的半径也就确定了第53页(1)正方体与球正方体与球棱长为棱长为a的正方体的内切球的半径为的正方体
21、的内切球的半径为 ，外接球的半径为外接球的半径为 a.(2)正四面体与球正四面体与球棱长为棱长为a的正四面体的内切球的半径为的正四面体的内切球的半径为 a，外接球的半径为外接球的半径为 a.第54页 例例1如图，正三棱锥的高为如图，正三棱锥的高为1，底面边长为，底面边长为2 ，内，内有一个球与它的四个面都相切求：有一个球与它的四个面都相切求：(1)棱锥的全面棱锥的全面积；积；(2)内切球的表面积与体积内切球的表面积与体积第55页 解解(1)底面正三角形的中心到一边的距离为底面正三角形的中心到一边的距离为第56页(2)设正三棱锥设正三棱锥PABC的内切球球心为的内切球球心为O，连结，连结OP、O
22、A、OB、OC，而，而O点到三棱锥的四个面的距离都为球的半径点到三棱锥的四个面的距离都为球的半径r.VPABCVOPABVOPBCVOPACVOABC第57页 例例2.求棱长为求棱长为a的正四面体外接球与内切球的半径的正四面体外接球与内切球的半径解解设正四面体设正四面体ABCD的高为的高为AO1，外接球球，外接球球心为心为O，半径为，半径为R，如图所示，如图所示第58页 正四面体的棱长为正四面体的棱长为a，第59页 设内切球的半径为设内切球的半径为r，则正四面体可分割为，则正四面体可分割为4个四棱锥个四棱锥OABC，OACD，OADB，OBCD，它们的高均为，它们的高均为r，底，底面恰为正四面
23、体和各个面面恰为正四面体和各个面VABCD4VOBCD，第60页 例3.木星的体木星的体积约积约是地球体是地球体积积的的240倍，倍，则则它它的表面的表面积约积约是地球表面是地球表面积积的的 ()解析：解析：设木星半径为设木星半径为r1，地球半径为，地球半径为r2，第61页 类型四：由几何体的三视图求几何体的表面积与体类型四：由几何体的三视图求几何体的表面积与体积积解题准备：简单的组合体，先分割成规则的几何体，解题准备：简单的组合体，先分割成规则的几何体，然后根据提供的三视图及图形中的数据，能够进行然后根据提供的三视图及图形中的数据，能够进行识别和判断，特别要注意三视图的特点识别和判断，特别要
24、注意三视图的特点“正侧一样正侧一样高，正俯一样长，俯侧一样宽高，正俯一样长，俯侧一样宽”第62页 例例1.一几何体按比例绘制的三视图如图所示一几何体按比例绘制的三视图如图所示(单位：单位：m)：第63页(1)试画出它的直观图；试画出它的直观图；(2)求它的表面积和体积求它的表面积和体积分析分析由三视图，正确的画出几何体的直观图，由三视图，正确的画出几何体的直观图，确定几何体中线段的位置关系及数量关系确定几何体中线段的位置关系及数量关系第64页 解解(1)直观图如图所示直观图如图所示第65页(2)解法一：由三视图可知该几何体是长方体被截去一个角，解法一：由三视图可知该几何体是长方体被截去一个角，
25、且该几何体的体积是以且该几何体的体积是以A1A，A1D1，A1B1为棱的长方体的体为棱的长方体的体积的积的 ，在直角梯形在直角梯形AA1B1B中，作中，作BEA1B1，则则AA1EB是正方形，是正方形，AA1BE1在在RtBEB1中，中，BE1，EB11BB1第66页 几何体的表面积几何体的表面积SS正方形正方形AA1D1D2S梯形梯形AA1B1BS矩形矩形BB1C1CS正方形正方形ABCDS矩形矩形A1B1C1D1 第67页 解法二：几何体也可以看作是以解法二：几何体也可以看作是以AA1B1B为底面的直四棱柱，为底面的直四棱柱，其表面积求法同法一，其表面积求法同法一，V直四棱柱直四棱柱D1C
26、1CDA1B1BA第68页 评析评析(1)由三视图画几何体的直观图，掌握由三视图画几何体的直观图，掌握“长对正、长对正、宽相等，高平齐宽相等，高平齐”的规则，是确定几何体特征的关键的规则，是确定几何体特征的关键(2)把不规则几何体分割成几个规则几何体或者是补上一部把不规则几何体分割成几个规则几何体或者是补上一部分使之成为规则几何体，是求不规则几何体常用方法分使之成为规则几何体，是求不规则几何体常用方法第69页 笑对高考第三关成熟关笑对高考第三关成熟关名名 师师 纠纠 错错第70页 误区：空间几何体面积计算错误误区：空间几何体面积计算错误典例如图所示的典例如图所示的OAB绕绕x轴和轴和y轴各旋转
27、一周，各自会产轴各旋转一周，各自会产生怎样的几何体，分别计算其表面积生怎样的几何体，分别计算其表面积第71页 剖析剖析解本题易出现的主要错误有：解本题易出现的主要错误有：(1)错误判断几何体错误判断几何体的形状，如绕的形状，如绕x轴旋转时漏掉了线段轴旋转时漏掉了线段OB所产生的圆面，这样所产生的圆面，这样计算时就少了这个圆的面积；计算时就少了这个圆的面积；(2)用错旋转体的面积计算公用错旋转体的面积计算公式，特别是圆台的侧面积公式，导致运算结果错误式，特别是圆台的侧面积公式，导致运算结果错误第72页 正解正解绕绕x轴旋转一周形成的空间几何体是一个上下底面轴旋转一周形成的空间几何体是一个上下底面
28、半径分别为半径分别为2,3，高为，高为3的圆台，挖去了一个底面半径为的圆台，挖去了一个底面半径为3，高为高为3的圆锥，如下图的圆锥，如下图(1)所示，其表面积是圆台的半径为所示，其表面积是圆台的半径为2的底面积、圆台的侧面积、圆锥的侧面积之和圆台的母线的底面积、圆台的侧面积、圆锥的侧面积之和圆台的母线长是长是 ，圆锥的母线长是，圆锥的母线长是3 ，第73页 绕绕y轴旋转一周所形成的空间几何体是一个大圆锥挖去了一轴旋转一周所形成的空间几何体是一个大圆锥挖去了一个小圆锥，如图个小圆锥，如图(2)所示，此时大圆锥的底面半径为所示，此时大圆锥的底面半径为3，母线，母线长为长为3 ，小圆锥的底面半径为，
29、小圆锥的底面半径为3，母线长为，母线长为 ，这个空，这个空间几何体的表面积是这两个圆锥的侧面积之和，间几何体的表面积是这两个圆锥的侧面积之和，第74页 评析评析圆柱：圆柱：S全全2r22rh(r为底面半径，为底面半径，h为高或母为高或母线长线长)；圆锥：；圆锥：S全全r2rl(r为底面半径，为底面半径，l为母线长为母线长)；圆；圆台：台：S全全(r2r2rlrl)(r为下底半径，为下底半径，r为上底半径，为上底半径，l为母线长为母线长)；球：；球：S球球4R2(R为球的半径为球的半径)在解决面积计在解决面积计算问题时，一要看准计算的全面积还是侧面积，二要准确地算问题时，一要看准计算的全面积还是
30、侧面积，二要准确地利用公式，防止出现误用公式利用公式，防止出现误用公式第75页 变式：如图所示是一个几何体的三视图，根据图中数据，可变式：如图所示是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是得该几何体的表面积是()A9B10C11 D12第76页 解析：这个空间几何体是由球和圆柱组成的，圆柱的底面半解析：这个空间几何体是由球和圆柱组成的，圆柱的底面半径是径是1，高是，高是3的，球的半径是的，球的半径是1，故其表面积是，故其表面积是21321241212，故选，故选D.答案：答案：D第77页 解解 题题 策策 略略1.几何体的侧面展开图几何体的侧面展开图(1)圆柱的侧面展开图是矩形
31、，矩形的长是底面圆的周长，圆柱的侧面展开图是矩形，矩形的长是底面圆的周长，宽是圆柱的母线长；宽是圆柱的母线长；(2)圆锥的侧面展开图是扇形，扇形的半径是圆锥的母线长，圆锥的侧面展开图是扇形，扇形的半径是圆锥的母线长，弧长是圆锥的底面周长；弧长是圆锥的底面周长；(3)圆台的侧面展开图是扇环，扇环上、下弧长分别是圆台圆台的侧面展开图是扇环，扇环上、下弧长分别是圆台的上、下底面圆的周长的上、下底面圆的周长第78页 2立体几何中的立体几何中的“截、展、折、拼截、展、折、拼”是常用的解题技巧和是常用的解题技巧和方法方法(1)“截截”是指的截面，平行于柱、锥底面的截面以及旋转是指的截面，平行于柱、锥底面的
32、截面以及旋转体的轴截面，它们集中反映了几何体的主要元素的数量关系，体的轴截面，它们集中反映了几何体的主要元素的数量关系，是能帮助解题的重要工具；是能帮助解题的重要工具；(2)“展展”指的是侧面和某些面的展开图，在有关沿表面的指的是侧面和某些面的展开图，在有关沿表面的最短路径问题中，就是求侧面展开图上两点间的距离；最短路径问题中，就是求侧面展开图上两点间的距离；第79页(3)“拆拆”指的是将一个非规则的几何体拆成几个简单的几指的是将一个非规则的几何体拆成几个简单的几何体，便于计算；何体，便于计算；(4)“拼拼”指的是将小几何体嵌入一个大几何体中，如有时指的是将小几何体嵌入一个大几何体中，如有时将
33、一个三棱锥复原成一个三棱柱，有时将一个三棱柱复原成将一个三棱锥复原成一个三棱柱，有时将一个三棱柱复原成一个四棱柱，有时把一个正方体再拼补成一个相同的正方体，一个四棱柱，有时把一个正方体再拼补成一个相同的正方体，还台为锥，这些都是拼补的方法还台为锥，这些都是拼补的方法.第80页 快快 速速 解解 题题典典,例斜三棱柱例斜三棱柱ABCA1B1C1中，已知侧面中，已知侧面BCC1B1的面积的面积为为a，侧棱，侧棱AA1到它的距离为到它的距离为b，求这个棱柱的体积，求这个棱柱的体积解题切入点解题切入点若棱柱是直棱柱，则由底面积乘以高可得体若棱柱是直棱柱，则由底面积乘以高可得体积将斜棱柱变为直棱柱，将它
34、积将斜棱柱变为直棱柱，将它“拦腰拦腰”垂直截断、两底面垂直截断、两底面对接后就可以得到一个直棱柱对接后就可以得到一个直棱柱第81页 分析分析“拦腰拦腰”垂直截断，斜棱柱变成了直棱柱，而体积垂直截断，斜棱柱变成了直棱柱，而体积不改变，侧面面积也不变，侧棱到侧面的距离也不变，其体不改变，侧面面积也不变，侧棱到侧面的距离也不变，其体积很容易被求得积很容易被求得第82页 详解详解如图所示，作截面如图所示，作截面A2B2C2垂直于侧棱，使原来的两垂直于侧棱，使原来的两底面底面ABC与与A1B1C1重合，则原斜三棱柱重新组合为一直棱重合，则原斜三棱柱重新组合为一直棱柱，其底面为柱，其底面为A2B2C2，棱
35、长仍为，棱长仍为AA1的长设新底面三角形的长设新底面三角形A2B2C2的边的边B2C2上的高为上的高为A2D，由题意，由题意第83页 第84页 方法与技巧方法与技巧将斜三棱柱转化为直三棱柱，则可求体积将斜三棱柱转化为直三棱柱，则可求体积这种方法在解题时用得不多，它体现了转化思想快解是补这种方法在解题时用得不多，它体现了转化思想快解是补体法，补体后可直接利用公式求得体积体法，补体后可直接利用公式求得体积得分主要步骤得分主要步骤垂直截断，重新组合是解此题的关键，表垂直截断，重新组合是解此题的关键，表述要清晰以下计算较为简单，一般不易求错述要清晰以下计算较为简单，一般不易求错易丢分原因易丢分原因不能
36、盲目地套用不能盲目地套用“底面积底面积高高”，a不是棱柱不是棱柱的底面积，的底面积，b也不是棱柱的高，否则将得到错误结果也不是棱柱的高，否则将得到错误结果.第85页 教教 师师 备备 选选球的内切、外接问题球的内切、外接问题近年高考中常考查与球有关的组合体问题，一种是内切，一近年高考中常考查与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，种是外接解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系并作出合适的过球心的截面图，确定有关元素间的数量关系并作出合适的过球心的截面图，将立体几何问题转化为平面几何问题求解将立体几何问题转化为平面几何
37、问题求解第86页(1)正方体与球正方体与球棱长为棱长为a的正方体的内切球的半径为的正方体的内切球的半径为 ，外接球的半径为外接球的半径为 a.(2)正四面体与球正四面体与球棱长为棱长为a的正四面体的内切球的半径为的正四面体的内切球的半径为 a，外接球的半径为外接球的半径为 a.第87页 典例求棱长为典例求棱长为a的正四面体外接球与内切球的半径的正四面体外接球与内切球的半径解解设正四面体设正四面体ABCD的高为的高为AO1，外接球球心为，外接球球心为O，半径为半径为R，如图所示，如图所示第88页 正四面体的棱长为正四面体的棱长为a，第89页 设内切球的半径为设内切球的半径为r，则正四面体可分割为
38、，则正四面体可分割为4个四棱锥个四棱锥OABC，OACD，OADB，OBCD，它们的高均为，它们的高均为r，底，底面恰为正四面体和各个面面恰为正四面体和各个面VABCD4VOBCD，第90页 课时作业四十一空间几何体的表面积和体积课时作业四十一空间几何体的表面积和体积第91页 1(新创题，易新创题，易)一个几何体的三视图如图所示，则该几何一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积与体积分别为体的表面积与体积分别为()A32,12B32,8C284 ，8 D284 ，12一、选择题一、选择题第92页 第93页 解析：根据三视图可知，该几何体为正方体与三棱柱的组合解析：根据三视图可知，该几何体
39、为正方体与三棱柱的组合体，其直观图如图所示正方体的棱长为体，其直观图如图所示正方体的棱长为2，三棱柱的侧棱，三棱柱的侧棱长为长为2，底面是等腰直角三角形，且直角边长为，底面是等腰直角三角形，且直角边长为2.组合体的表组合体的表面积等于正方体面积等于正方体5个面的表面积与三棱柱两个侧面的面积及个面的表面积与三棱柱两个侧面的面积及两个底面的面积之和，即两个底面的面积之和，即S20444 284 ；组合体的体积为正方体的体积与三棱柱的体积之和，组合体的体积为正方体的体积与三棱柱的体积之和，V8412.答案：答案：D第94页 2(2010德州模拟德州模拟)(基础题，易基础题，易)将一圆形纸片沿半径剪将
40、一圆形纸片沿半径剪开为两个扇形，其圆心角之比为开为两个扇形，其圆心角之比为3:4，再将它们卷成两个圆，再将它们卷成两个圆锥侧面，则两圆锥体积之比为锥侧面，则两圆锥体积之比为()A3:4B9:16C27:64 D都不对都不对答案：答案：D第95页 解析：设圆的半径为解析：设圆的半径为r，由于两个扇形的圆心角之比为，由于两个扇形的圆心角之比为3:4，第96页 3(能力题，中能力题，中)如图所示，在多面体如图所示，在多面体ABCDEF中，已知中，已知ABCD是边长为是边长为1的正方形，且的正方形，且ADE、BCF均为正三角均为正三角形，形，EFAB，EF2，则该多面体的体积为，则该多面体的体积为()
41、第97页 解析：解法解析：解法1：该多面体不是规则几何体，不易直接求体积，：该多面体不是规则几何体，不易直接求体积，应将其分割转化为规则几何体应将其分割转化为规则几何体分别过分别过A、B作作EF的垂线，垂足分别为的垂线，垂足分别为G、H，连，连DG、CH，则原几何体分割为两个三棱锥和一个直三棱柱，则原几何体分割为两个三棱锥和一个直三棱柱，第98页 第99页 解法解法2：如图所示，取：如图所示，取EF中点中点P，则原几何体分割为两个三，则原几何体分割为两个三棱锥和一个四棱锥，易知三棱锥棱锥和一个四棱锥，易知三棱锥PAED和三棱锥和三棱锥PBCF都是棱长为都是棱长为1的正四面体，四棱锥的正四面体，
42、四棱锥PABCD为棱长为为棱长为1的正的正四棱锥四棱锥答案：答案：A第100页 评析：将不规则的几何体分割为若干个规则的几何体，然后评析：将不规则的几何体分割为若干个规则的几何体，然后求出这些规则几何体的体积，这是求几何体体积的一种常用求出这些规则几何体的体积，这是求几何体体积的一种常用的思想方法的思想方法第101页 4(基础题，易基础题，易)一个正四棱台两底面边长分别为一个正四棱台两底面边长分别为m、n，侧，侧面积等于两个底面积之和，则这个棱台的高为面积等于两个底面积之和，则这个棱台的高为()答案：答案：A第102页 5(基础题，易基础题，易)如图是一个几何体的三视图，根据图中数如图是一个几
43、何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是据，可得该几何体的表面积是()A9 B10C11 D12第103页 第104页 解析：由三视图知，几何体由圆柱和球组成，球的半径和圆解析：由三视图知，几何体由圆柱和球组成，球的半径和圆柱底面半径均为柱底面半径均为1，圆柱的高为，圆柱的高为3，所求表面积，所求表面积S41221221312.答案：答案：D第105页 6(能力题，中能力题，中)如图，在等腰梯形如图，在等腰梯形ABCD中，中，AB2DC2，DAB60，E为为AB的中点，将的中点，将ADE与与BEC分别分别沿沿ED、EC向上折起，使向上折起，使A、B重合于点重合于点P，则三棱锥，则三棱
44、锥PDCE的外接球的体积为的外接球的体积为()第106页 解析：根据题意折叠后的三棱锥解析：根据题意折叠后的三棱锥PDCE为正四面体，且棱为正四面体，且棱长为长为1，以此正四面体来构造立方体，以此正四面体来构造立方体，答案：答案：C第107页 二、填空题二、填空题7(2010烟台检测烟台检测)(能力题，中能力题，中)已知三棱柱已知三棱柱ABCA1B1C1的体积为的体积为V，E是棱是棱CC1上一点，三棱锥上一点，三棱锥EABC的体的体积是积是V1，则三棱锥，则三棱锥EA1B1C1的体积是的体积是_第108页 解析：如图，过解析：如图，过E作作AC、BC的平行线的平行线EF、EG，分别与，分别与A
45、A1、BB1交于交于F、G，连结，连结FG.三棱锥三棱锥EABC的体积是的体积是V1，三棱柱三棱柱EFGCAB的体积的体积是是3V1，三棱柱三棱柱EFGC1A1B1的体积是的体积是V3V1，第109页 8(2010广州模拟广州模拟)(基础题，易基础题，易)如图为一几何体的展开如图为一几何体的展开图，其中图，其中ABCD是边长为是边长为6的正方形，的正方形，SDPD6，CRSC，AQAP，点，点S，D，A，Q及点及点P，D，C，R共线，沿共线，沿图中虚线将它们折叠起来，使图中虚线将它们折叠起来，使P，Q，R，S四点重合，则需四点重合，则需要要_个这样的几何体，可以拼成一个棱长为个这样的几何体，可
46、以拼成一个棱长为6的正方的正方体体第110页 第111页 解析：由题意知，将该展开图沿虚线折叠起来以后，得到一解析：由题意知，将该展开图沿虚线折叠起来以后，得到一个四棱锥个四棱锥PABCD(如图如图)，其中，其中PD平面平面ABCD，因此该，因此该四棱锥的体积四棱锥的体积V 66672，而棱长为，而棱长为6的正方体的体的正方体的体积积V666216，故需要，故需要 3个这样的几何体，才能个这样的几何体，才能拼成一个棱长为拼成一个棱长为6的正方体的正方体答案：答案：3第112页 评析：几何体的展开与折叠问题是近几年高考的一个热点内评析：几何体的展开与折叠问题是近几年高考的一个热点内容，通过折叠与
47、展开问题，可以很好地考查学生的空间想象容，通过折叠与展开问题，可以很好地考查学生的空间想象能力以及推理能力解决折叠与展开问题时，关键是弄清楚能力以及推理能力解决折叠与展开问题时，关键是弄清楚折叠与展开前后，位置关系和数量关系变化的情况，画出准折叠与展开前后，位置关系和数量关系变化的情况，画出准确的图形解决问题确的图形解决问题第113页 9(能力题，中能力题，中)已知一个凸多面体共有已知一个凸多面体共有9个面，所有棱长均个面，所有棱长均为为1，其平面展开图如图所示，则该凸多面体的体积，其平面展开图如图所示，则该凸多面体的体积V_.第114页 解析：该几何体形状如图所示，是一个正方体与正四棱锥的解
48、析：该几何体形状如图所示，是一个正方体与正四棱锥的组合体，正方体的体积是组合体，正方体的体积是1，正四棱锥的体积是，正四棱锥的体积是 ，故该，故该凸多面体的体积为凸多面体的体积为1 .答案：答案：1第115页 三、解答题三、解答题10.(基础题，易基础题，易)一个正三棱柱的三视图如图所示，求这个一个正三棱柱的三视图如图所示，求这个三棱柱的表面积和体积三棱柱的表面积和体积分析：由几何体的三视图，画出原几何体的直观图，然后求分析：由几何体的三视图，画出原几何体的直观图，然后求解即可解即可第116页 解：由三视图易知，该正三棱柱的形状如图所示解：由三视图易知，该正三棱柱的形状如图所示可知可知AABB
49、CC4 cm，正三角形，正三角形ABC和正三角形和正三角形ABC的高为的高为2 cm，正三角形正三角形ABC的边长为的边长为|AB|4(cm)，第117页 第118页 评析：评析：(1)注意：侧注意：侧(左左)视图中的数据视图中的数据2 cm为底面正三角为底面正三角形的高，不要误认为正三角形的边长形的高，不要误认为正三角形的边长(2)通过三视图间接通过三视图间接给出几何体的形状，打破以往直接给出几何体，并给出相关给出几何体的形状，打破以往直接给出几何体，并给出相关数据进行相关运算的传统模式，使三视图与传统意义上的几数据进行相关运算的传统模式，使三视图与传统意义上的几何有机结合，这也体现了新课标
50、的思想，应是高考的新动向，何有机结合，这也体现了新课标的思想，应是高考的新动向，希望引起大家注意希望引起大家注意第119页 11(能力题，中能力题，中)正三棱锥的高为正三棱锥的高为1，底面边长为，底面边长为2 ，内，内有一个球与它的四个面都相切求：有一个球与它的四个面都相切求：(1)棱锥的全面积；棱锥的全面积；(2)内切球的表面积与体积内切球的表面积与体积第120页 解：解：(1)如图所示，底面正三角形的中心如图所示，底面正三角形的中心F到一边的距离为到一边的距离为第121页 第122页(2)设正三棱锥设正三棱锥PABC的内切球的球心为的内切球的球心为O，连接，连接OP、OA、OB、OC，而，