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1、第五章 弹性力学边值问题本章任务总结对弹性力学基本方程讨论求解弹性力学问题的方法目录目录5.1 弹性力学基本方程弹性力学基本方程5.2 问题的提法问题的提法5.3 弹性力学问题的基本解法弹性力学问题的基本解法 解的唯一性解的唯一性5.4 圣文南原理圣文南原理5.5 叠加原理叠加原理总结弹性力学基本理论；总结弹性力学基本理论；讨论已知物理量、基本未知量；以及物讨论已知物理量、基本未知量；以及物理量之间的关系理量之间的关系基本方程和边界条基本方程和边界条件。件。5.1 弹性力学基本方程弹性力学基本方程弹性力学基本方程 1.平衡微分方程2.几何方程 5.1 基本方程基本方程23.变形协调方程位移作为
2、基本未知量时，变形协调方程自然满足。5.1 基本方程基本方程33.本构方程广义胡克定律 应力表示 应变表示 基本方程：平衡微分方程；几何方程和本构方程以及变形协调方程。5.1 基本方程基本方程4边界条件若物体表面的面力分量为Fsx、Fsy和Fsz已知则面力边界条件为：若物体表面的位移 已知，则位移边界条件为 若物体部分表面面力和部分表面位移已知，则为混合边界条件5.1 基本方程基本方程5 总结：弹性力学基本方程和边界条件5.1 基本方程基本方程6弹弹性性力力学学的的任任务务就就是是在在给给定定的的边边界界条条件件下下，就十五个未知量求解十五个基本方程。就十五个未知量求解十五个基本方程。求求解解
3、弹弹性性力力学学问问题题时时，并并不不需需要要同同时时求求解解十十五个基本未知量，可以做必要的简化。五个基本未知量，可以做必要的简化。为为简简化化求求解解的的难难度度，仅仅选选取取部部分分未未知知量量作作为为基本未知量。基本未知量。5.2 问题的提法问题的提法在在给给定定的的边边界界条条件件下下，求求解解偏偏微微分分方方程程组组的问题，数学上称为偏微分方程的边值问题。的问题，数学上称为偏微分方程的边值问题。按按照照不不同同的的边边界界条条件件，弹弹性性力力学学有有三三类类边边值问题。值问题。第一类边值问题：已已知知弹弹性性体体内内的的体体力力和和其其表表面面的的面面力力分分量量为为Fsx、Fs
4、y和和Fsz，边边界界条条件件为为面力边界条件。第二类边值问题：已已知知弹弹性性体体内内的的体体力力分分量量以以及及表表面面的的位位移移分分量量，边边界界条条件件为为位移边界条件。5.2 问题提法问题提法2第三类边值问题：已知弹性体内的体力分已知弹性体内的体力分量，以及物体表面的部分位移分量和部分面量，以及物体表面的部分位移分量和部分面力分量，边界条件在面力已知的部分，为面力分量，边界条件在面力已知的部分，为面力边界条件，位移已知的部分为位移边界条力边界条件，位移已知的部分为位移边界条件。称为件。称为混合边界条件。以上三类边值问题，代表了一些简化的实以上三类边值问题，代表了一些简化的实际工程问
5、题。际工程问题。若不考虑物体的刚体位移，则三类边值问若不考虑物体的刚体位移，则三类边值问题的解是唯一的。题的解是唯一的。5.2 问题提法问题提法3位移解法位移解法以位移函数作为基本未知量应力解法应力解法以应力函数作为基本未知量混合解法混合解法以部分位移和部分应力分量作为基本未知量5.2 问题提法问题提法45.3 弹性力学问题基本解法弹性力学问题基本解法 解的唯一性解的唯一性选取选取位移函数位移函数作为基本未知量求解的方法作为基本未知量求解的方法称为称为位移解法位移解法。主要工作：主要工作：利用位移函数利用位移函数u,v,w表达其他未知量；表达其他未知量；推导位移函数描述的基本方程推导位移函数描
6、述的基本方程位移表达的平衡微分方程位移表达的平衡微分方程位移解法的基本未知量为位移解法的基本未知量为3个个位移函数基本方程为基本方程为3个个拉梅方程对于位移边界条件，位移解法是十分的合对于位移边界条件，位移解法是十分的合适的。适的。5.3 基本解法基本解法2但是位移函数表达的面力边界条件十分繁杂但是位移函数表达的面力边界条件十分繁杂这一边界条件几乎不可能实现这一边界条件几乎不可能实现 5.3 基本解法基本解法3总之，位移解法以位移为基本未知函数，总之，位移解法以位移为基本未知函数，归结为在给定的边界条件下求解位移表示归结为在给定的边界条件下求解位移表示的平衡微分方程，即的平衡微分方程，即拉梅方
7、程。位移分量求解后，可通过几何方程和物理位移分量求解后，可通过几何方程和物理方程求出相应的应变分量和应力分量。方程求出相应的应变分量和应力分量。5.3 基本解法基本解法4应力函数作为基本未知量求解的方法应力函数作为基本未知量求解的方法称为称为应力解法应力解法的基本方程应力解法的基本方程 1.平衡微分方程 2.变形协调方程5.3 基本解法基本解法5应力解法的基本未知量为应力解法的基本未知量为6个应力分量；个应力分量；基本方程为基本方程为3个平衡微分方程和个平衡微分方程和6个变形协个变形协调方程。调方程。应力解法适用于面力边界条件。应力解法适用于面力边界条件。总而言之，在以应力函数作为基本未知量总
8、而言之，在以应力函数作为基本未知量求解时，归结为在给定的边界条件下，求求解时，归结为在给定的边界条件下，求解平衡微分方程和应力表达的变形协调方解平衡微分方程和应力表达的变形协调方程所组成的偏微分方程组。程所组成的偏微分方程组。5.3 基本解法基本解法6混合解法混合解法根据问题性质和边界条件，选择根据问题性质和边界条件，选择不同的基本不同的基本未知量求解称为未知量求解称为混合解法。5.3 基本解法基本解法7 解的唯一性原理弹性体受已知体力作用。在物体的边界上，弹性体受已知体力作用。在物体的边界上，或者面力已知；或者位移已知；或者一部分或者面力已知；或者位移已知；或者一部分面力已知，另一部分位移已
9、知。则弹性体平面力已知，另一部分位移已知。则弹性体平衡时，体内各点的应力和应变是唯一的，对衡时，体内各点的应力和应变是唯一的，对于后两种情况，位移也是唯一的。于后两种情况，位移也是唯一的。证明证明1 25.3 基本解法基本解法8弹性力学的基本未知量位移、应力和应变弹性力学的基本未知量位移、应力和应变等在体力为常量时具有一些特性。等在体力为常量时具有一些特性。掌握这些特性，可以帮助我们分析弹性力掌握这些特性，可以帮助我们分析弹性力学问题。学问题。物理量特性物理量特性体力为常量时一些物理量的特性5.3 基本解法基本解法9体力为常量，体积应力和体积应变均满体力为常量，体积应力和体积应变均满足拉普拉斯
10、足拉普拉斯（Laplace)方程。方程。体积应力函数和体积应变函数为调和函体积应力函数和体积应变函数为调和函数。数。位移分量，应变分量和应力分量均满足位移分量，应变分量和应力分量均满足双调和方程，双调和方程，位移分量，应变分量和应力分量为双调位移分量，应变分量和应力分量为双调和函数。和函数。5.3 基本解法基本解法10 局部影响原理物体任意一个小部分作物体任意一个小部分作用一个平衡力系，则该平用一个平衡力系，则该平衡力系在物体内部所产生衡力系在物体内部所产生的应力分布，仅局限于力的应力分布，仅局限于力系作用的附近区域。在距系作用的附近区域。在距离该区域相当远处，这种离该区域相当远处，这种影响便
11、急剧减小。影响便急剧减小。证明证明1 25.4 圣文南原理圣文南原理解的叠加原理解的叠加原理小变形线弹性条件下，作用于物体的若小变形线弹性条件下，作用于物体的若干组载荷产生的总效应（应力和变形等），干组载荷产生的总效应（应力和变形等），等于每组载荷单独作用效应的总和。等于每组载荷单独作用效应的总和。5.5 叠加原理叠加原理逆解法逆解法根根据据问问题题的的性性质质，确确定定基基本本未未知知量量和和相相应应的的基基本本方方程程，并并且且假假设设一一组组满满足足全全部部基基本本方方程程的的应应力力函函数数或或位位移移函函数数。然然后后在在确确定定的的坐坐标标系系下下，考考察察具具有有确确定定的的几几
12、何何尺尺寸寸和和形形状状的的物物体体，其其表表面面将将受受什什么么样样的的面面力力作作用用或或者者将将有有什什么么样样的的位位移。移。5.5 叠加原理叠加原理2半逆解法半逆解法对对于于给给定定的的弹弹性性力力学学问问题题，根根据据弹弹性性体体的的几几何何形形状状，受受力力特特征征和和变变形形特特点点，或或已已知知简简单单结结论论，如如材材料料力力学学解解，假假设设部部分分应应力力分分量量或或者者部部分分位位移移分分量量的的函函数数形形式式为为已已知知，由由基基本本方方程程确确定定其其他他的的未未知知量量，然然后后根根据据边边界界条条件件确确定定未未知知函函数数中中的的待待定定系系数。数。5.5 叠加原理叠加原理3逆解法和半逆解法的应用将在以后的章节中逆解法和半逆解法的应用将在以后的章节中介绍，其求解过程带有介绍，其求解过程带有“试算试算”的性质。的性质。偏微分方程边值问题求解困难偏微分方程边值问题求解困难难以确定弹性力学问题的解析解难以确定弹性力学问题的解析解显然弹性力学解的唯一性定理是逆解法和半显然弹性力学解的唯一性定理是逆解法和半逆解法的理论依据。逆解法的理论依据。5.5 叠加原理叠加原理4