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1、弹性力学第五章变分法第1页，本讲稿共27页函数的变分如果对于变量 x 在某一变域上的每一个值，变量 y 有一个值和它对应，则变量 y 称为变量 x 的函数,记为：如果由于自变量 x 有微小增量 dx，函数 y 也有对应的微小增量 dy，则增量 d y 称为函数 y 的微分,记为：假想函数 的形式发生改变而成为新函数 ，如果对于 x 的一个定值，y 具有微小增量：增量 称为函数 的变分。第2页，本讲稿共27页函数的变分yx1x2xu*uu 是函数是函数 u的变的变分分。ABzu第3页，本讲稿共27页泛函及其变分计算泛函：如果对于某一类函数 中的每一个函数 ,变量 J 有一个值和它对应，则变量 J
2、 称为依赖于函数的泛函，简单的说，泛函就是函数的函数。记为：例如，连接平面内给定的两点之间的曲线长度可以写为：显然，曲线长度依赖于函数 的形式，则 是函数 的泛函。第4页，本讲稿共27页泛函及其变分计算设泛函 I 有如下形式：下面计算泛函 I 的变分：首先，函数 的变分为：第5页，本讲稿共27页泛函及其变分计算接着考察泛函 I 的变分：另一方面：只要积分上下限不变，变分的运算可以和定积分的运算交换次序。第6页，本讲稿共27页泛函及其变分计算泛函 I 在曲线 上达到极大值或极小值的必要条件为：例如对于：其达到极值必须有：第7页，本讲稿共27页泛函及其变分计算0设函数 通过A，B两点，且具有边界条
3、件：试写出泛函的极值条件。第8页，本讲稿共27页泛函及其变分计算简例，试求连接平面内给定两点之间的曲线长度最短时的曲线函数。第9页，本讲稿共27页弹性体的形变势能弹性力学变分法中所研究的泛函，就是弹性体的能量，如形变势能，外力势能等。因此弹性力学中的变分法又称为能量法。弹性体的形变势能密度为：弹性体的形变势能为：对平面问题：第10页，本讲稿共27页弹性体的形变势能第11页，本讲稿共27页弹性体的形变势能由上式可知，弹性体的形变势能大于等于零，试证明之。第12页，本讲稿共27页弹性体的外力势能外力所做的功称为外力功：由于外力做了功，因此消耗了外力势能，则弹性体的外力势能为：体力面力面力作用面第1
4、3页，本讲稿共27页位移变分方程现在我们来考察，由于弹性体发生了虚位移 和 ，所引起的外力功，外力势能和形变势能的改变：第14页，本讲稿共27页位移变分方程&极小势能原理假定弹性体在虚位移过程中并没有温度的改变和速度的改变，这样，按照能量守恒定理，形变势能的增加应该等于外力势能的减少，也就是等于外力所做的功，于是：位移变分方程：极小势能原理：在给定的外力作用下，满足位移边界条件的所有组位移状态中，实际存在的一组位移应使总势能成为极值。第15页，本讲稿共27页虚功方程如果在虚位移发生之前，弹性体处于平衡状态，那么在虚位移过程中，外力在虚位移上所做的功就等于应力在虚应变上所做的虚功。位移变分方程（
5、或极小势能原理，或虚功方程）等价于平衡微分方程和应力边界条件，或者说可以代替平衡微分方程和应力边界条件。第16页，本讲稿共27页练习已知右图中杆件中的纵向位移u与横向向位移v之间的关系如下：xy其中u0为杆件中轴的纵向位移，假设其为常数，v只是纵向坐标的函数，试写出该杆件的形变势能，并计算形变势能的变分。l0第17页，本讲稿共27页位移变分法（1）若设定一组包含若干待定系数的位移分量的表达式，并使它们预先满足位移边界条件，然后再令其满足位移变分方程（用来代替平衡微分方程和应力边界条件）并求出待定系数，就同样能得出实际位移的解答。第18页，本讲稿共27页位移变分法（2）Am，Bm为互不依赖的2m
6、个待定系数，用来反映位移的变化，即位移的变分是由Am，Bm的变分来实现：形变势能的变分：第19页，本讲稿共27页位移变分法（3）代入位移变分方程：按每个系数的变分合并：第20页，本讲稿共27页位移变分法（4）由于形变势能U是Am，Bm的二次函数，故上式是各系数的一次方程。又因为各系数是互不依赖的，因此由上式可确定各系数。不多的Am，Bm可以求得较精确的位移值，但应力却很不精确。瑞利-里茨法（J.W.Rayleigh，1842-1919，英国;W.Ritz，1878-1909，瑞士。)第21页，本讲稿共27页位移变分法例题（a-1）设有宽度为a高度为b的矩形薄板，在左边受连杆支撑，在右边及上边分
7、别受有均布压力q1及q2，不计体力，试求薄板的位移。xyq1q21.由于所有边界上都没有不等于零的已知位移，所以设定位移函数满足位移边界条件:总有：2.只取A1，B1两个待定系数：第22页，本讲稿共27页位移变分法例题（a-2）xyq1q2代入形变势能表达式得到第23页，本讲稿共27页位移变分法例题（a-3）xyq1q2得到第24页，本讲稿共27页位移变分法例题（a-4）xyq1q2得到即便多取几个未知数Am，Bm，所得解答也为上式，且该解答就是此类问题的精确解，因为它能满足平衡微分方程及应力边界条件。第25页，本讲稿共27页位移变分法例题（b-1）设有宽度为2a高度为b的矩形薄板，它的左右及下边界均被固定，而上边的自由边界有给定位移:xyaabb不计体力，试求薄板的位移。位移边界条件要求u是x的奇函数，v是x 的偶函数，并且：第26页，本讲稿共27页位移变分法例题（b-2）xyaabb代入形变势能表达式代入第27页，本讲稿共27页