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1、函数恒成立与存在性函数恒成立与存在性函数恒成立与存在性函数恒成立与存在性本溪县高级中学本溪县高级中学 李丹李丹高三一轮复习高三一轮复习知识与技能让学生初步让学生初步学会用最值学会用最值和值域来解和值域来解决函数的恒决函数的恒成立与存在成立与存在性问题。性问题。过程与方法培养学生观培养学生观察和分析、察和分析、解决问题的解决问题的能力和归纳能力和归纳概括的能力。概括的能力。情感态度与价值观通过本节学生通过本节学生让学生体会转让学生体会转化、化归的数化、化归的数学思想，享受学思想，享受数学中的灵动数学中的灵动与和谐之美。与和谐之美。教学重点对不同的题对不同的题型能熟练地型能熟练地转化为不同转化为不
2、同的最值问题的最值问题和值域问题。和值域问题。教学难点用化归的思用化归的思想去灵活转想去灵活转化问题。化问题。教材教材地位地位作用作用恒成立与存在性问题起源于全称量词恒成立与存在性问题起源于全称量词和存在性量词，任意与存在，是和存在性量词，任意与存在，是函数、函数、方程、数列与不等式方程、数列与不等式结合点之一，是结合点之一，是培养数学能力良好的素材，也是高考培养数学能力良好的素材，也是高考中的重点与难点，同时也是高考的热中的重点与难点，同时也是高考的热点内容，目的在于通过本节的学习进点内容，目的在于通过本节的学习进一步升华函数的认知与领悟数形结合一步升华函数的认知与领悟数形结合的魅力。的魅力
3、。教材分析教材分析1、在这次月考中，我们班有同学数学分数大于120分。2、在这次月考中，我们班每一位同学数学分数都高于60分。引例引例存在性问题恒成立问题最高分大于120分最低分大于60分现实生活中恒成立与存在性问题：引例引例1.已知函数f(x)=ax+lnx(aR)(1)求f(x)的单调区间；(2)设g(x)=x2-ax+2,若对x1-3,3,x20,1,使得f(x1)g(x2)成立，求a的取值范围。若本题(2)条件改为：对x1-3,3,使得x20,1都有f(x1)A恒成立，则f(x)minA；同样若 xI,均有f(x)A恒成立，则 f(x)maxA成立，则f(x)maxA；同样若xI,使得
4、f(x)A成立，则 f(x)min g(x)成立，设F(x)=f(x)-g(x)0,则 F(x)max 0;同样若xI,使得f(x)g(x)成立，设F(x)=f(x)-g(x)0,则 F(x)min g(x)恒成立，则F(x)=f(x)-g(x)0,则 F(x)min 0;同样若xI,均有f(x)g(x)恒成立，则F(x)=f(x)-g(x)0,则F(x)max g(x2)，则f(x)min g(x)max同样对x1I1,x2I2,有f(x1)g(x2)，则f(x)maxg(x2)，则f(x)max g(x)max同样对x1I1,x2I2,有f(x1)g(x2)，则f(x)ming(x2)，则
5、f(x)max g(x)min同样对x1I1,x2I2,有f(x1)g(x2)，则f(x)ming(x2)，则f(x)min g(x)min同样对x1I1,x2I2,有f(x1)g(x2)，则f(x)max g(x)max走进高考走进高考高考题：f(x)=lnx-ax+(1-a)/x-1(aR)(1)当a1/2时，讨论f(x)的单调性;(2)设g(x)=x2-2bx+4;当a=1/4时，若对x1(0,2),x21,2,使得f(x1)g(x2)成立，求b的取值范围.(2)分析：该问题等价于f(x)ming(x)min例例2 2：已知：已知f(x)=lnx:f(x)=lnx:(1)(1)设设F(x
6、)=f(x+2)-F(x)=f(x+2)-，求，求F(x)F(x)的单调区间；的单调区间；(2)(2)若不等式若不等式f(x+1)f(2x+1)-mf(x+1)f(2x+1)-m2 2+3am+4+3am+4对任意对任意a-1,1a-1,1，x0,1x0,1恒成立，求恒成立，求m m的取值范围的取值范围.【解题指南解题指南】(2)(2)由题意只需解不等式由题意只需解不等式F(x)F(x)0 0和和F(x)F(x)0 0即可得到单调区即可得到单调区间；原不等式恒成立可转化为间；原不等式恒成立可转化为 恒成立，进一恒成立，进一步转化为步转化为 成立成立.(1)F(x)=ln(x+2)-(1)F(x
7、)=ln(x+2)-定义域为：定义域为：(-2,-1)(-1,+).(-2,-1)(-1,+).F(x)=F(x)=令令F(x)F(x)0 0，得单调增区间为，得单调增区间为 和和令令F(x)F(x)0 0，得单调减区间为，得单调减区间为 和和(2)(2)不等式不等式f(x+1)f(2x+1)-mf(x+1)f(2x+1)-m2 2+3am+4+3am+4化为：化为：ln(x+1)ln(2x+1)-mln(x+1)ln(2x+1)-m2 2+3am+4+3am+4即即 3ma+4-m3ma+4-m2 2.现在只需求现在只需求y=(x0,1)y=(x0,1)的最大值和的最大值和y=3ma+4-m
8、y=3ma+4-m2 2(a-1,1)(a-1,1)的最小值的最小值.因为因为 在在00，11上单调递减上单调递减,所以所以y=(x0,1)y=(x0,1)的最大值为的最大值为0,0,解决不等式恒成立问题、存在性问题，常常通过解决不等式恒成立问题、存在性问题，常常通过解决不等式恒成立问题、存在性问题，常常通过解决不等式恒成立问题、存在性问题，常常通过数形结合以及等价转化为函数最值问题。数形结合以及等价转化为函数最值问题。数形结合以及等价转化为函数最值问题。数形结合以及等价转化为函数最值问题。若在不等式中出现两个变量，能通过恒等变形使若在不等式中出现两个变量，能通过恒等变形使若在不等式中出现两个
9、变量，能通过恒等变形使若在不等式中出现两个变量，能通过恒等变形使参数与主元分离与不等式两端，从而问题转化为求主参数与主元分离与不等式两端，从而问题转化为求主参数与主元分离与不等式两端，从而问题转化为求主参数与主元分离与不等式两端，从而问题转化为求主元函数的最值问题，该方法本质还是求最值，但它思元函数的最值问题，该方法本质还是求最值，但它思元函数的最值问题，该方法本质还是求最值，但它思元函数的最值问题，该方法本质还是求最值，但它思路清晰，操作性更强。路清晰，操作性更强。路清晰，操作性更强。路清晰，操作性更强。若把不等式进行合理的变形后，能非常容易地画若把不等式进行合理的变形后，能非常容易地画若把不等式进行合理的变形后，能非常容易地画若把不等式进行合理的变形后，能非常容易地画出不等号两边对应函数的图象，这样就把一个很难解出不等号两边对应函数的图象，这样就把一个很难解出不等号两边对应函数的图象，这样就把一个很难解出不等号两边对应函数的图象，这样就把一个很难解决的不等式的问题转化为利用函数图象解决的问题，决的不等式的问题转化为利用函数图象解决的问题，决的不等式的问题转化为利用函数图象解决的问题，决的不等式的问题转化为利用函数图象解决的问题，然后从图象中寻找条件，就能解决问题。然后从图象中寻找条件，就能解决问题。然后从图象中寻找条件，就能解决问题。然后从图象中寻找条件，就能解决问题。