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1、学案学案1 分类加法计数原理与分类加法计数原理与 分步乘法计数原理分步乘法计数原理计数原理计数原理计数原理理解分类加法计数原理计数原理理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理，能正确区和分步乘法计数原理，能正确区分分“类类”和和“步步”，并能利用两，并能利用两个原理解决一些简单的实际问题个原理解决一些简单的实际问题.两个计数原理的考查，大多年份是通过考查排列两个计数原理的考查，大多年份是通过考查排列组合问题体现的组合问题体现的.但随着对数学思想、数学方法的侧重但随着对数学思想、数学方法的侧重考查，近些年也出现了直接运用这两个原理的题目考查，近些年也出现了直接运用这两个原理的题目.考考查的题目类型
2、大多为选择题或填空题，考查的难度与查的题目类型大多为选择题或填空题，考查的难度与教材要求相近，一般为中等偏下题教材要求相近，一般为中等偏下题.1.分类加法计数原理完成一件事有两类不同方案分类加法计数原理完成一件事有两类不同方案,在在第第1类方案中有类方案中有m种不同的方法种不同的方法,在第在第2类方案中有类方案中有n种种不同的方法不同的方法.那么完成这件事共有那么完成这件事共有N=种不同的方法种不同的方法.2.分步乘法计数原理完成一件事需要两个步骤分步乘法计数原理完成一件事需要两个步骤,做第做第1步有步有m种不同的方法种不同的方法,做第做第2步有步有n种不同的方法种不同的方法,那么那么完成这件
3、事共有完成这件事共有N=种不同的方法种不同的方法.m+n m n 在所有的两位数中在所有的两位数中,个位数字大于十位数字的两位数个位数字大于十位数字的两位数共有多少共有多少_个个【分析分析分析分析】该问题与计数有关该问题与计数有关,可考虑选用两个基本原理来可考虑选用两个基本原理来计算计算,完成这件事完成这件事,只要两位数的个位、十位确定了，这只要两位数的个位、十位确定了，这件事就算完成了，因此可考虑安排十位上的数字情况进件事就算完成了，因此可考虑安排十位上的数字情况进行分类行分类.考点考点考点考点1 1 分类加法计数原理分类加法计数原理分类加法计数原理分类加法计数原理 【解析解析解析解析】方法
4、一方法一方法一方法一:按十位数上的数字分别是按十位数上的数字分别是1,2,3,4,5,6,7,8的情况分成的情况分成8类类,在每一类中满足题目条件在每一类中满足题目条件的两位数分别是的两位数分别是8个个,7个个,6个个,5个个,4个个,3个个,2个个,1个个.由分类加法计数原理知由分类加法计数原理知,符合题意的两位数的个数共符合题意的两位数的个数共有有:8+7+6+5+4+3+2+1=36(个个).方法二方法二方法二方法二:按个位数字是按个位数字是2,3,4,5,6,7,8,9分成分成8类类,在每在每一类中满足条件的两位数分别是一类中满足条件的两位数分别是1个个,2个个,3个个,4个个,5个个
5、,6个个,7个个,8个个,所以按分类加法计数原理共有所以按分类加法计数原理共有:1+2+3+4+5+6+7+8=36(个个).【评析评析评析评析】分类加法计数原理是对涉及完成某一件事分类加法计数原理是对涉及完成某一件事的不同方法种数的计数方法的不同方法种数的计数方法,每一类的各种方法都是每一类的各种方法都是相互独立的相互独立的,每一类中的每一种方法都可以独立完成每一类中的每一种方法都可以独立完成这件事这件事.解决这类问题应从简单入手分类讨论解决这类问题应从简单入手分类讨论,要做到要做到不重不漏不重不漏,尽量做到一题多解尽量做到一题多解,从不同角度考虑问题从不同角度考虑问题.从从1到到20这这2
6、0个整数中个整数中,任取两个相加任取两个相加,使其和大于使其和大于20,共共有有_种取法种取法【解析解析】当一个加数是当一个加数是1时时,另一个加数只能是另一个加数只能是20,1种取法种取法.当一个加数是当一个加数是2时时,另一个加数可以是另一个加数可以是19,20,2种取法种取法.当一个加数是当一个加数是3时时,另一个加数可以是另一个加数可以是18,19,20,3种取法种取法.当一个加数是当一个加数是10时时,另一个加数可以是另一个加数可以是11,12,20,10种取种取法法.当一个加数是当一个加数是11时时,另一个加数可以是另一个加数可以是12,13,20,9种取种取法法.当一个加数是当一
7、个加数是19时时,另一个加数是另一个加数是20,1种取法种取法.由分类加法计数原理可得共有由分类加法计数原理可得共有1+2+3+10+9+8+1=100种取法种取法.已知集合已知集合M=-3,-2,-1,0,1,2,P(a,b)表示平面上的点表示平面上的点(a,bM),问问:(1)P可表示平面上多少个不同的点可表示平面上多少个不同的点?(2)P可表示平面上多少个第二象限的点可表示平面上多少个第二象限的点?(3)P可表示多少个不在直线可表示多少个不在直线y=x上的点上的点?【分析分析分析分析】完成完成“确定点确定点P”这件事需依次确定横、这件事需依次确定横、纵坐标纵坐标,应用分步乘法计数原理应用
8、分步乘法计数原理.考点考点考点考点2 2 分步乘法计数原理分步乘法计数原理分步乘法计数原理分步乘法计数原理 【解析解析解析解析】(1)确定平面上的点确定平面上的点P(a,b)可分两步完成可分两步完成:第一步确定第一步确定a的值的值,共有共有6种确定方法种确定方法;第二步确定第二步确定b的值的值,也有也有6种确定方法种确定方法.根据分步乘法计数原理根据分步乘法计数原理,得到平面上的点数是得到平面上的点数是66=36.(2)确定第二象限的点确定第二象限的点,可分两步完成可分两步完成:第一步确定第一步确定a,由于由于a0,所以有所以有2种确定方法种确定方法.由分步乘法计数原理由分步乘法计数原理,得到
9、第二象限点的个数是得到第二象限点的个数是32=6.(3)点点P(a,b)在直线在直线y=x上的充要条件是上的充要条件是a=b.因此因此a和和b必须在集合必须在集合M中取同一元素中取同一元素,共有共有6种取法种取法,即在即在直线直线y=x上的点有上的点有6个个.由由(1)得不在直线得不在直线y=x上的点共有上的点共有36-6=30个个.【评析评析评析评析】利用分步乘法计数原理解决问题利用分步乘法计数原理解决问题:要按事件要按事件发生的过程合理分步发生的过程合理分步,即分步是有先后顺序的即分步是有先后顺序的;各步中各步中的方法互相依存的方法互相依存,缺一不可缺一不可,只有各个步骤都完成了才算只有各
10、个步骤都完成了才算完成这件事完成这件事.某体育彩票规定某体育彩票规定:从从01到到36共共36个号中抽出个号中抽出7个号为个号为注注,每注每注2元元.某人想先选定吉利号某人想先选定吉利号18,然后从然后从01至至17中中选选3个连续的号个连续的号,从从19至至29中选中选2个连续的号个连续的号,从从30至至36中选中选1个号组成一注个号组成一注.若这个人要把这种要求的号全若这个人要把这种要求的号全买下买下,至少要花至少要花_元钱元钱 【解析解析】先分三步选号先分三步选号,再计算总钱数再计算总钱数.按号段选号按号段选号,分成三步分成三步.第一步从第一步从01至至17中选中选3个连续号个连续号,有
11、有15种选法种选法;第二步从第二步从19至至29中选中选2个连续号个连续号,有有10种选法种选法;第三步从第三步从30至至36中选中选1个号个号,有有7种选法种选法.由分步乘法计数原理可知由分步乘法计数原理可知,满足要求的号共有满足要求的号共有15107=1 050(注注),故至少要花故至少要花1 0502=2 100(元元).将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色，并使同一将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两端点异色，如果只有条棱上的两端点异色，如果只有5种颜色可供使用，种颜色可供使用，求不同的染色方法总数为求不同的染色方法总数为_.【分析分析分析分析】可分两大步进行可分两
12、大步进行,先将四棱锥一侧面的先将四棱锥一侧面的三顶点染色三顶点染色,然后再分类考虑另外两顶点的染色数然后再分类考虑另外两顶点的染色数,用用乘法原理即可得出结论乘法原理即可得出结论.考点考点考点考点3 3 计数原理的综合应用计数原理的综合应用计数原理的综合应用计数原理的综合应用 【解析解析解析解析】如图所示如图所示,由题设由题设,四棱锥四棱锥SABCD的顶的顶点点S,A,B所染颜色互不相同所染颜色互不相同,它们共有它们共有543=60(种种)染色染色方法方法.当当S,A,B已染好时已染好时,不妨设其不妨设其颜色分别为颜色分别为1,2,3;若若C染颜色染颜色4,则则D可染颜色可染颜色3或或5,有有
13、2种染法种染法;若若C染颜色染颜色5,则则D可染颜色可染颜色3或或4,也有也有2种染法种染法;若若C染颜色染颜色2,则则D可染颜可染颜色色3或或4或或5,有有3种染法种染法.可见可见,当当S,A,B已染好时已染好时,C与与D还有还有7种染法种染法.根据乘法原理根据乘法原理,可以有可以有607=420种染法种染法.【评析评析评析评析】运用两个原理解答时是先分类后分步运用两个原理解答时是先分类后分步,还还是先分步后分类应视具体问题而定是先分步后分类应视具体问题而定,另外为了问题的另外为了问题的简化和表达的方便简化和表达的方便,数学中经常将具有实际意义的事数学中经常将具有实际意义的事物符号化、数字化
14、物符号化、数字化.用用n种不同颜色为下列两块广告牌着色种不同颜色为下列两块广告牌着色(如图所示如图所示),要求在要求在A,B,C,D四个区域中相邻四个区域中相邻(有公共边的有公共边的)区域不用区域不用同一种颜色同一种颜色.(1)若若n=6,为为着色时共有多少种不同的方法着色时共有多少种不同的方法?(2)若为若为着色时共有着色时共有120种不同的方法种不同的方法,求求n.(1)为为A着色有着色有6种方法种方法,为为B着色有着色有5种方法种方法,为为C着着色有色有4种方法种方法,为为D着色也有着色也有4种方法种方法,所以所以,共有着色方法共有着色方法6544=480(种种).(2)与与(1)的区别
15、在于与的区别在于与D相邻的区域由两块变成了相邻的区域由两块变成了三块三块,同理同理,不同的着色方法数是不同的着色方法数是n(n-1)(n-2)(n-3).n(n-1)(n-2)(n-3)=120,又又120480,可分别将可分别将n=4,5代入得代入得n=5时上式成立时上式成立.1.1.20112011年高考大纲全国卷年高考大纲全国卷某同学有同样的画册某同学有同样的画册2 2本，本，同样的集邮册同样的集邮册3 3本，从中取出本，从中取出4 4本赠送给本赠送给4 4位朋友，每位朋位朋友，每位朋友友1 1本，则不同的赠送方法共有（本，则不同的赠送方法共有（）A.4A.4种种 B.10B.10种种
16、C.18C.18种种 D.20D.20种种2.2.20102010年高考全国卷年高考全国卷将标号为将标号为1,2,3,4,5,61,2,3,4,5,6的的6 6张张卡片放入卡片放入3 3个不同的信封中个不同的信封中,若每个信封放若每个信封放2 2张张,其中标号为其中标号为1,21,2的卡片放入同一信封的卡片放入同一信封,则不同的放法共有则不同的放法共有 ()()A.12A.12种种 B.18B.18种种 C.36C.36种种 D.54D.54种种1.1.1.1.两个基本原理都是涉及完成一件事的不同方法种数的两个基本原理都是涉及完成一件事的不同方法种数的两个基本原理都是涉及完成一件事的不同方法种
17、数的两个基本原理都是涉及完成一件事的不同方法种数的计数方法计数方法计数方法计数方法.它们的区别在于它们的区别在于它们的区别在于它们的区别在于:分类计数原理与分类计数原理与分类计数原理与分类计数原理与“分类分类分类分类”有有有有关，各种方法相互独立，用任何一种方法都可以完成这关，各种方法相互独立，用任何一种方法都可以完成这关，各种方法相互独立，用任何一种方法都可以完成这关，各种方法相互独立，用任何一种方法都可以完成这件事；分步计数原理与件事；分步计数原理与件事；分步计数原理与件事；分步计数原理与“分步分步分步分步”有关，各个步骤相互依有关，各个步骤相互依有关，各个步骤相互依有关，各个步骤相互依存
18、，只有各个步骤都完成了，这件事才算完成存，只有各个步骤都完成了，这件事才算完成存，只有各个步骤都完成了，这件事才算完成存，只有各个步骤都完成了，这件事才算完成.2.2.2.2.在处理具体的应用问题时在处理具体的应用问题时在处理具体的应用问题时在处理具体的应用问题时,必须先分清是必须先分清是必须先分清是必须先分清是“分类分类分类分类”还还还还是是是是“分步分步分步分步”，明确地说，要根据元素的不同性质进行，明确地说，要根据元素的不同性质进行，明确地说，要根据元素的不同性质进行，明确地说，要根据元素的不同性质进行“分类分类分类分类”；要根据事件发生的过程进行；要根据事件发生的过程进行；要根据事件发
19、生的过程进行；要根据事件发生的过程进行“分步分步分步分步”，然后根，然后根，然后根，然后根据两个计数原理去计算据两个计数原理去计算据两个计数原理去计算据两个计数原理去计算.1.1.分类加法计数原理和分步乘法计数原理的本质分类加法计数原理和分步乘法计数原理的本质分类加法计数原理和分步乘法计数原理的本质分类加法计数原理和分步乘法计数原理的本质区别在于分类和分步区别在于分类和分步区别在于分类和分步区别在于分类和分步.分类用分类计数原理，分类计分类用分类计数原理，分类计分类用分类计数原理，分类计分类用分类计数原理，分类计数原理可利用物理中的数原理可利用物理中的数原理可利用物理中的数原理可利用物理中的“
20、并联并联并联并联”电路来理解；分步用电路来理解；分步用电路来理解；分步用电路来理解；分步用分步计数原理，分步计数原理可利用物理中的分步计数原理，分步计数原理可利用物理中的分步计数原理，分步计数原理可利用物理中的分步计数原理，分步计数原理可利用物理中的“串联串联串联串联”电路来理解电路来理解电路来理解电路来理解.2.2.分类与分步的依据在于能否分类与分步的依据在于能否分类与分步的依据在于能否分类与分步的依据在于能否“一次性一次性一次性一次性”完成，完成，完成，完成，若能若能若能若能“一次性一次性一次性一次性”完成，则不需分步只需分类完成，则不需分步只需分类完成，则不需分步只需分类完成，则不需分步只需分类;否则，否则，否则，否则，则需要分步处理则需要分步处理则需要分步处理则需要分步处理.名师伴你行