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1、第第3章章平面任意力系平面任意力系3.1第3章 平面任意力系 返回总目录返回总目录返回总目录返回总目录 第第3章章平面任意力系平面任意力系3.2力的平移定理力的平移定理平面任意力系向已知点的简化平面任意力系向已知点的简化平面任意力系的简化结果平面任意力系的简化结果平面任意力系的平衡条件和平衡方程平面任意力系的平衡条件和平衡方程物体系统的平衡物体系统的平衡静定和静不定问题静定和静不定问题平面静定桁架的内力计算平面静定桁架的内力计算习题与思考题习题与思考题本章内容本章内容第第3章章平面任意力系平面任意力系3.3如图如图3.1(a)所示，在刚体的所示，在刚体的A点作用着一个力点作用着一个力F，B点为
2、刚体上的任一指定点。现在点为刚体上的任一指定点。现在讨论如何将作用于讨论如何将作用于A点的力点的力F平行移动到平行移动到B点，而不改变其原来的作用效果？点，而不改变其原来的作用效果？我们可在我们可在B点加上大小相等、方向相反且与力点加上大小相等、方向相反且与力F平行的两个力和，并使平行的两个力和，并使F=，如图，如图3.1(b)所示。显然和所示。显然和F组成一力偶，称为附加力偶，其力偶臂为组成一力偶，称为附加力偶，其力偶臂为d。于是作用于。于是作用于A点点的力的力F可以用由作用于可以用由作用于B点的力及附加力偶点的力及附加力偶M(，)来替代，如图来替代，如图3.1(c)所示。所示。其中附加力偶
3、矩为；其中附加力偶矩为；由此可知：作用于刚体上的力均可以从原来的作用位置平行移至刚体内任一指定由此可知：作用于刚体上的力均可以从原来的作用位置平行移至刚体内任一指定点。欲不改变该力对于刚体的作用效应，则必须在该力与指定点所决定的平面内点。欲不改变该力对于刚体的作用效应，则必须在该力与指定点所决定的平面内附加一力偶，其力偶矩等于原力对于指定点之矩。这就是力的平移定理。附加一力偶，其力偶矩等于原力对于指定点之矩。这就是力的平移定理。3.1 力的平移定理图图3.1平行移动作用于刚体的力平行移动作用于刚体的力另外，我们也可以利用上另外，我们也可以利用上述定理的逆步骤，将作用述定理的逆步骤，将作用于刚体
4、上的力偶矩为于刚体上的力偶矩为M的的力偶力偶(，)与作用于同一平与作用于同一平面内的面内的B点的力合成为一点的力合成为一个作用于个作用于A点的力点的力F。即。即该定理的逆过程也成立。该定理的逆过程也成立。第第3章章平面任意力系平面任意力系3.4力力的的平平移移定定理理既既是是力力系系向向一一点点简简化化的的理理论论基基础础，同同时时也也可可直直接接用用来来分分析析和和解解决决工工程程实实际际中中的的力力学学问问题题。例例如如图图3.2(a)中中厂厂房房柱柱子子受受偏偏心心载载荷荷F的的作作用用，为为观观察察F的的作作用用效效应应，可可将将力力F平平移移至至柱柱的的轴轴线线上上成成为为与与矩矩为
5、为M的的力力偶偶(如如图图3.2(b)所所示示)，轴轴向向力力使使柱子压缩，而矩为柱子压缩，而矩为M的力偶将使柱弯曲。的力偶将使柱弯曲。又又如如图图3.3中中，用用丝丝锥锥攻攻丝丝时时，若若仅仅用用一一只只手手加加力力，如如图图3.3(a)所所示示，即即只只在在B点点有有作作用用一一力力F，虽虽然然扳扳手手也也能能转转动动，但但却却容容易易使使丝丝锥锥折折断断。这这是是因因为为：根根据据力力的的平平移移定理，将作用于扳手定理，将作用于扳手B点的力点的力F平行移动到丝锥中心平行移动到丝锥中心O点时点时，需附加一个力偶矩，需附加一个力偶矩3.1 力的平移定理为为M=Fd的力偶，如图的力偶，如图3.
6、3(b)所示。这个力偶可使丝所示。这个力偶可使丝锥转动，而这个力却是使丝锥折断的主要原因。可锥转动，而这个力却是使丝锥折断的主要原因。可以考虑：为什么用两手握扳手，而且用力相等时，以考虑：为什么用两手握扳手，而且用力相等时，就不会出现折断的现象。就不会出现折断的现象。图图3.2柱子受力示意柱子受力示意图图3.3丝锥攻丝示意图丝锥攻丝示意图第第3章章平面任意力系平面任意力系3.5如如图图3.4(a)所所示示，设设刚刚体体上上受受一一平平面面任任意意力力系系F1、F2、Fn的的作作用用，各各力力的的作作用用点点分分别别为为A1、A2、An。在在力力系系所所在在的的平平面面内内任任选选一一点点O，称
7、为简化中心。求该力系向，称为简化中心。求该力系向O点简化的结果。点简化的结果。应用力的平移定理，将各力平移至简化中心应用力的平移定理，将各力平移至简化中心O点，同时加入相应点，同时加入相应的附加力偶。这样原力系就等效变换成为作用在的附加力偶。这样原力系就等效变换成为作用在O点的平面汇交力系、点的平面汇交力系、和作用于汇交力系所在平面内的力偶矩为和作用于汇交力系所在平面内的力偶矩为M1、M2、Mn的附加的附加平面力偶系，如图平面力偶系，如图3.4(b)所示。所示。这样，平面任意力系被分这样，平面任意力系被分解成了两个力系：平面汇交力解成了两个力系：平面汇交力系和平面力偶系。然后再分别系和平面力偶
8、系。然后再分别合成这两个力系。合成这两个力系。3.2 平面任意力系向已知点的简化 图图3.4将力系向将力系向O点简化点简化第第3章章平面任意力系平面任意力系3.6一、主矢一、主矢3.2 平面任意力系向已知点的简化 图图3.4(c)中，平面汇交力系、中，平面汇交力系、可合成为一作用于简化中心可合成为一作用于简化中心O的力，的力，其大小和方向等于汇交力系的矢量和，即：其大小和方向等于汇交力系的矢量和，即：而平面汇交力系中各力的大小和方向分别与原力系中对应的各力而平面汇交力系中各力的大小和方向分别与原力系中对应的各力相同，即：相同，即：，所以所以我们将平面任意力系中各力的矢量和称为该力系的主矢，以我
9、们将平面任意力系中各力的矢量和称为该力系的主矢，以表表示，示，由于原力系中各力的大小和方向是一定的，所以它们的矢量和也由于原力系中各力的大小和方向是一定的，所以它们的矢量和也是一定的，因而当简化中心不同时，原力系的矢量和不会改变，即力是一定的，因而当简化中心不同时，原力系的矢量和不会改变，即力系的主矢与简化中心的位置无关。系的主矢与简化中心的位置无关。第第3章章平面任意力系平面任意力系3.7图图3.4(c)中中，平平面面附附加加力力偶偶系系可可合合成成为为一一力力偶偶，其其力力偶偶矩矩等等于于各各附附加加力偶的力偶矩的代数和，用表示，即：力偶的力偶矩的代数和，用表示，即：而而各各附附加加力力偶
10、偶的的力力偶偶矩矩分分别别等等于于原原力力系系中中各各力力对对简简化化中中心心O点点的的矩矩，即：即：3.2 平面任意力系向已知点的简化 二、主矩二、主矩，所以所以我们将原力系中各力对简化中心的矩的代数和称为该力系对简化我们将原力系中各力对简化中心的矩的代数和称为该力系对简化中心中心O的主矩，以的主矩，以表示，表示，第第3章章平面任意力系平面任意力系3.8当简化中心的位置改变时，原力系中各力对简化中心的矩是不同当简化中心的位置改变时，原力系中各力对简化中心的矩是不同的，对不同的简化中心的矩的代数和一般也不相等，所以力系对简化的，对不同的简化中心的矩的代数和一般也不相等，所以力系对简化中心的主矩
11、一般与简化中心的位置有关。所以，说到主矩时一般必须中心的主矩一般与简化中心的位置有关。所以，说到主矩时一般必须指出是力系对哪一点的主矩。指出是力系对哪一点的主矩。综上所述：平面任意力系向作用面内任意一点简化的结果一般可综上所述：平面任意力系向作用面内任意一点简化的结果一般可以得到一个力和一个力偶。该力作用于简化中心，它的矢量等于原力以得到一个力和一个力偶。该力作用于简化中心，它的矢量等于原力系中各力的矢量和，即等于原力系的主矢；该力偶的矩等于原力系中系中各力的矢量和，即等于原力系的主矢；该力偶的矩等于原力系中各力对简化中心的矩的代数和，即等于原力系对简化中心的主矩。各力对简化中心的矩的代数和，
12、即等于原力系对简化中心的主矩。3.2 平面任意力系向已知点的简化 三、主矢和主矩的解析表达式三、主矢和主矩的解析表达式为了用解析法计算力系主矢的大小和方向，可以通过为了用解析法计算力系主矢的大小和方向，可以通过O点选取点选取直角坐标系直角坐标系Oxy，如图，如图3.4(c)所示。则有：所示。则有：上式中上式中和和以及以及、和和、分别为分别为主矢以及原力系中各力主矢以及原力系中各力F1、F2、Fn在在X轴和轴和Y轴上的投影。轴上的投影。第第3章章平面任意力系平面任意力系3.9所以，主矢的大小和方向可分别由以下两式确定：所以，主矢的大小和方向可分别由以下两式确定：3.2 平面任意力系向已知点的简化
13、 式中式中 为主矢与为主矢与x轴间的夹角。轴间的夹角。在平面力系的情况下，力系对简化中心的主矩是代数量，可直接由式在平面力系的情况下，力系对简化中心的主矩是代数量，可直接由式(3.2)计算。计算。我们知道，在工程实际当中常见的支座一般有三种：可动铰支座、固定我们知道，在工程实际当中常见的支座一般有三种：可动铰支座、固定铰支座和固定端支座。关于前两种支座的特点，我们在第铰支座和固定端支座。关于前两种支座的特点，我们在第1章中已做了章中已做了介绍，现应用平面任意力系向作用面内任一点简化的结论，来分析固定介绍，现应用平面任意力系向作用面内任一点简化的结论，来分析固定端支座的特性。端支座的特性。如图如
14、图3.5(a)所示，杆件的一端牢固地嵌入墙内而使杆件固定不动，墙对所示，杆件的一端牢固地嵌入墙内而使杆件固定不动，墙对杆件的这种约束称为固定端或插入端约束，或固定支座。在工程结构中，杆件的这种约束称为固定端或插入端约束，或固定支座。在工程结构中，像一端深埋于地下的电线杆、牢固地浇筑在基础上的柱子，还有夹像一端深埋于地下的电线杆、牢固地浇筑在基础上的柱子，还有夹第第3章章平面任意力系平面任意力系3.10紧在刀架上的车刀等，都可简化为固定端约束。图紧在刀架上的车刀等，都可简化为固定端约束。图3.5(b)为杆件所受的为杆件所受的约束力简图。当杆件所受的荷载是平面力系时，固定端所产生的约束约束力简图。
15、当杆件所受的荷载是平面力系时，固定端所产生的约束反力也为一平面任意力系。若取一简化中心反力也为一平面任意力系。若取一简化中心A，则可将约束反力系简，则可将约束反力系简化为作用在化为作用在A点的一个力和一个力偶，或可将力沿直角坐标轴分解为点的一个力和一个力偶，或可将力沿直角坐标轴分解为两个分力。则一般情况下，平面固定支座所产生的约束反力有三个：两个分力。则一般情况下，平面固定支座所产生的约束反力有三个：水平反力、铅垂反力和反力偶，如图水平反力、铅垂反力和反力偶，如图3.5(c)所示。可见这种约束既能阻所示。可见这种约束既能阻碍物体在平面内沿任何方向移动，又能阻碍物体在平面内转动。碍物体在平面内沿
16、任何方向移动，又能阻碍物体在平面内转动。3.2 平面任意力系向已知点的简化 图图3.5固定端的约束反力固定端的约束反力第第3章章平面任意力系平面任意力系3.11一、简化结果分析一、简化结果分析由上节可知，平面任意力系向一点简化后，一般来说可以得到一个由上节可知，平面任意力系向一点简化后，一般来说可以得到一个力和一个力偶；但这并不是平面任意力系简化的最后结果，所以还有必力和一个力偶；但这并不是平面任意力系简化的最后结果，所以还有必要根据力系的主矢和主矩这两个量可能出现的几种情况作进一步的分析要根据力系的主矢和主矩这两个量可能出现的几种情况作进一步的分析讨论。讨论。(1)当主矢当主矢 0，主矩，主
17、矩 0时，如上节所述，此时原力系简化时，如上节所述，此时原力系简化为作用线通过简化中心为作用线通过简化中心O的一力和一力偶，如图的一力和一力偶，如图3.6(a)所示。由力的平移所示。由力的平移定理的逆过程可知，原力系最后可以简化为一个合力。为求此合力，可定理的逆过程可知，原力系最后可以简化为一个合力。为求此合力，可将力偶矩为将力偶矩为的力偶用一对力的力偶用一对力(、)表示，并令表示，并令，如图，如图3.6(b)所示。再根据加减平衡力系公理，即可将一力所示。再根据加减平衡力系公理，即可将一力和一力和一力偶偶最终合成为一个力最终合成为一个力，如图，如图3.6(c)所示。所示。该力就是原力系的合力，
18、合力的大小和方向与原力系的主矢该力就是原力系的合力，合力的大小和方向与原力系的主矢相同；相同；合力作用线到点合力作用线到点O的距离的距离d，可由下式计算：，可由下式计算：3.3 平面任意力系的简化结果第第3章章平面任意力系平面任意力系3.12而而合合力力的的作作用用线线在在简简化化中中心心O的的哪哪一一侧侧，需需由由主主矢矢和和主主矩矩的的方方向向确确定定；或或可可按按如如下下方方法法判判断断：若若为为正正值值，即即为为逆逆时时针针转转向向，则则从从简简化化中中心心O沿沿主主矢矢的的箭箭头头指指向向看看过过去去，合合力力应应在在主主矢矢的的右右侧侧，如如图图3.6所示；若所示；若为负值，则合力
19、为负值，则合力应在主矢的左侧。应在主矢的左侧。3.3 平面任意力系的简化结果图图3.6平面任意力系的进一步简化平面任意力系的进一步简化(2)当主矢当主矢 0，主矩，主矩=0时，此时原力系与一力等效。这个力就时，此时原力系与一力等效。这个力就是原力系的合力。该合力的大小和方向与原力系的主矢相同，作用线通是原力系的合力。该合力的大小和方向与原力系的主矢相同，作用线通过简化中心过简化中心O。第第3章章平面任意力系平面任意力系3.13(3)当主矢当主矢=0，主矩，主矩 0时，此时原力系只与一个力偶等效。这个时，此时原力系只与一个力偶等效。这个力偶的力偶矩等于原力系对简化中心的主矩，即等于原力系中各力对
20、简力偶的力偶矩等于原力系对简化中心的主矩，即等于原力系中各力对简化中心的矩的代数和。只有在这种情况下，主矩才与简化中心的位置无化中心的矩的代数和。只有在这种情况下，主矩才与简化中心的位置无关，因为力偶对任一点的矩恒等于力偶矩，而与矩心的位置无关，也就关，因为力偶对任一点的矩恒等于力偶矩，而与矩心的位置无关，也就是说，原力系无论向哪一点简化都是一个力偶矩保持不变的力偶。是说，原力系无论向哪一点简化都是一个力偶矩保持不变的力偶。(4)当主矢当主矢=0，主矩，主矩=0时，则原力系为一平衡力系，这种情形时，则原力系为一平衡力系，这种情形将在下节中讨论。将在下节中讨论。由上可知，平面任意力系简化的最后结
21、果有三种可能性，即：可能由上可知，平面任意力系简化的最后结果有三种可能性，即：可能为一个力、可能为一个力偶、或者可能平衡。为一个力、可能为一个力偶、或者可能平衡。综上所述，求解平面任意力系合成的步骤可总结为：综上所述，求解平面任意力系合成的步骤可总结为：任选一简化中心；任选一简化中心；计算力系的主矢和对简化中心的主矩；计算力系的主矢和对简化中心的主矩；对简化结果进行分析而得到最终的合成结果。对简化结果进行分析而得到最终的合成结果。3.3 平面任意力系的简化结果第第3章章平面任意力系平面任意力系3.14二、合力矩定理二、合力矩定理当平面任意力系合成为一个合力时，如图当平面任意力系合成为一个合力时
22、，如图3.6所示，合力所示，合力对对点点O的矩为的矩为由力系对由力系对O点的主矩的定义：点的主矩的定义：所以所以3.3 平面任意力系的简化结果上式表明：若平面任意力系可简化为一个合力时，则其合力对该上式表明：若平面任意力系可简化为一个合力时，则其合力对该力系作用面内任一点的矩等于力系中各力对同一点的矩的代数和。这力系作用面内任一点的矩等于力系中各力对同一点的矩的代数和。这就是平面任意力系的合力矩定理。该定理无论在理论推导方面，还是就是平面任意力系的合力矩定理。该定理无论在理论推导方面，还是在实际应用方面都具有非常重要的意义。在实际应用方面都具有非常重要的意义。第第3章章平面任意力系平面任意力系
23、3.153.3 平面任意力系的简化结果【例例3.1】重力坝受力情况如图重力坝受力情况如图3.7所示。设所示。设W1=450kN，W2=200kN，F1=300kN，F2=70kN。求力系的合力。求力系的合力FR的大小和方向，的大小和方向，以及合力与基线以及合力与基线OA的交点到点的交点到点O的距离的距离x。图图3.7重力坝受力情况重力坝受力情况解：该重力坝受到一平面任意力系的作用，可先将力系向一已知点简化，然后再定出合力作用线的位置。(1)选取O为简化中心，计算力系的主矢和主矩。因为所以主矢x、y轴上的投影为：第第3章章平面任意力系平面任意力系3.16由式(3.5)可知主矢的方向：因为FR为正
24、、FR为负，所以可以判断主矢应在第四象限，且：即主矢与轴的夹角为70.83度由式(3.2)可求得对简化中心O的主矩为 其向O点的简化结果如图3.7(b)所示。(2)求合力FR与基线OA的交点到点O的距离x，如图3.7(b)所示。由合力矩定理：因为 所以 解得 3.3 平面任意力系的简化结果第第3章章平面任意力系平面任意力系3.17【例例3.2】如如图图3.8所所示示，边边长长为为a=1m的的正正方方形形板板，受受一一平平面面力力系系作作用用，其其中中P1=50N，P2=100N，M=50Nm，若若P3=200N，要要使得力系的合力作用线通过使得力系的合力作用线通过D点，点，角应为多大？角应为多
25、大？3.3 平面任意力系的简化结果图图3.8正方形板受力图正方形板受力图解：要使得合力过D点，则将力系向D点简化后，其主矩应为零，即所以 代入数据可得故 即当P铅垂向上或水平向左时，可满足题意要求。第第3章章平面任意力系平面任意力系3.18一、平面任意力系平衡的充要条件一、平面任意力系平衡的充要条件 3.4 平面任意力系的平衡条件和平衡方程 由上节对平面任意力系简化结果的分析可知，当平面任意力系由上节对平面任意力系简化结果的分析可知，当平面任意力系向一已知点向一已知点O简化所得的主矢和主矩不同时为零时，原力系将同一力简化所得的主矢和主矩不同时为零时，原力系将同一力或一力偶等效，则刚体在此力系作
26、用下是不可能保持平衡的。只有或一力偶等效，则刚体在此力系作用下是不可能保持平衡的。只有在刚体所受到的平面任意力系为一平衡力系时，刚体才可以处于平在刚体所受到的平面任意力系为一平衡力系时，刚体才可以处于平衡状态。而要保证平面任意力系平衡，必须使其主矢和对任意点的衡状态。而要保证平面任意力系平衡，必须使其主矢和对任意点的主矩同时为零，即：主矩同时为零，即：所以，平面任意力系平衡的必要和充分条件是：其主矢和对简所以，平面任意力系平衡的必要和充分条件是：其主矢和对简化中心的主矩同时为零。化中心的主矩同时为零。第第3章章平面任意力系平面任意力系3.19二、平面任意力系的平衡方程二、平面任意力系的平衡方程
27、3.4 平面任意力系的平衡条件和平衡方程 由平面任意力系的主矢和主矩的解析计算式可知：由平面任意力系的主矢和主矩的解析计算式可知：由上式可知：由上式可知：上式即为平面任意力系的平衡方程。它有两个投影方程和一个力上式即为平面任意力系的平衡方程。它有两个投影方程和一个力矩方程，且其相互独立，我们称其为平面任意力系的平衡方程，它是矩方程，且其相互独立，我们称其为平面任意力系的平衡方程，它是平衡方程的基本形式。根据这三个方程可求解三个未知量。平衡方程的基本形式。根据这三个方程可求解三个未知量。(3.10)(3.9)第第3章章平面任意力系平面任意力系3.20我们在建立上述方程时，所选的二个投影轴是互相垂
28、直的，大家可以我们在建立上述方程时，所选的二个投影轴是互相垂直的，大家可以考虑这是否是必须的。事实上，选取相互垂直的坐标轴只是为了计算上的考虑这是否是必须的。事实上，选取相互垂直的坐标轴只是为了计算上的方便，同平面汇交力系的问题一样，在应用时可任意选取两个相交的投影方便，同平面汇交力系的问题一样，在应用时可任意选取两个相交的投影轴，且矩心也是可以任选的。轴，且矩心也是可以任选的。在应用上式求解相关问题时，往往需要联立方程求解，特别是当分析在应用上式求解相关问题时，往往需要联立方程求解，特别是当分析包含较多研究对象的物体系统的平衡问题时，会由于需联立方程数目较多包含较多研究对象的物体系统的平衡问
29、题时，会由于需联立方程数目较多而使计算过程很烦琐。所以，为了简化运算，我们可以利用力系以及力对而使计算过程很烦琐。所以，为了简化运算，我们可以利用力系以及力对点的矩的特性来选择适当的平衡方程的形式。实际上，平面任意力系的平点的矩的特性来选择适当的平衡方程的形式。实际上，平面任意力系的平衡方程除了上述的基本形式外，还有更便于我们应用的另外两种形式：衡方程除了上述的基本形式外，还有更便于我们应用的另外两种形式：(1)二力矩式：二力矩式：3.4 平面任意力系的平衡条件和平衡方程 其中包含两个力矩方程和一个投影方程。但其限制条件是：两矩心其中包含两个力矩方程和一个投影方程。但其限制条件是：两矩心A、B
30、的连线不能垂直于投影轴的连线不能垂直于投影轴x。(3.11)第第3章章平面任意力系平面任意力系3.21这是因为若这是因为若A、B连线与投影轴垂直，则即使力系满足上述三个方连线与投影轴垂直，则即使力系满足上述三个方程，也不能保证该力系为平衡力系。如图程，也不能保证该力系为平衡力系。如图3.9所示，若力系简化结果为所示，若力系简化结果为一通过一通过A、B矩心的力矩心的力F，很明显上述二力矩式方程均可满足，但事实，很明显上述二力矩式方程均可满足，但事实上该力系不平衡。上该力系不平衡。另外，如果已知一平面任意力系为一平衡力系，是不是就可以不另外，如果已知一平面任意力系为一平衡力系，是不是就可以不受上述
31、条件的限制呢？我们说在这种情况下，方程中的两个力矩方程受上述条件的限制呢？我们说在这种情况下，方程中的两个力矩方程就不是相互独立的，实际上是一个方程。所以，只有在就不是相互独立的，实际上是一个方程。所以，只有在A、B连线不垂连线不垂直于投影轴时，满足上述三个方程才是平面任意力系平衡的充要条件。直于投影轴时，满足上述三个方程才是平面任意力系平衡的充要条件。(2)三力矩式：三力矩式：以上三个方程均为力矩形式，其限制条件为：以上三个方程均为力矩形式，其限制条件为：A、B、C三个矩心的连线不共线。原因可参考关三个矩心的连线不共线。原因可参考关于对二力矩式方程限制条件的解释自行思考。于对二力矩式方程限制
32、条件的解释自行思考。3.4 平面任意力系的平衡条件和平衡方程 图图3.9力系简化结果力系简化结果(3.12)第第3章章平面任意力系平面任意力系3.22利用上述式利用上述式(3.10)、式、式(3.11)、式、式(3.12)三种形式的平衡方程均可三种形式的平衡方程均可解决平面任意力系的平衡问题，在使用时可根据具体问题的条件来选择。解决平面任意力系的平衡问题，在使用时可根据具体问题的条件来选择。同时，选择适当的投影轴和矩心位置等，亦可使解题过程得以简化。例同时，选择适当的投影轴和矩心位置等，亦可使解题过程得以简化。例如，应尽可能让投影轴与未知力的方向垂直；将较多未知力的交点选为如，应尽可能让投影轴
33、与未知力的方向垂直；将较多未知力的交点选为矩心等。这样，所列出的平衡方程中的未知量就会较少，从而可简化对矩心等。这样，所列出的平衡方程中的未知量就会较少，从而可简化对联立方程的求解。联立方程的求解。对于受平面任意力系作用的单个刚体的平衡问题，只能写出三个独对于受平面任意力系作用的单个刚体的平衡问题，只能写出三个独立的平衡方程来求解三个未知量。对于任何形式的第四个方程都不是独立的平衡方程来求解三个未知量。对于任何形式的第四个方程都不是独立的，而是前三个方程的线性组合。但可利用这个方程对计算结果的正立的，而是前三个方程的线性组合。但可利用这个方程对计算结果的正确性进行校核。确性进行校核。3.4 平
34、面任意力系的平衡条件和平衡方程【例例3.3】图图3.10所示所示AB梁自重不计，已知其所受外力：梁自重不计，已知其所受外力：P=80N，m=50Nm，q=20N/m，且，且l=1m，=30。试求支座。试求支座A、B的约束反力。的约束反力。第第3章章平面任意力系平面任意力系3.23解：选梁AB为研究对象。它所受的主动力有：均布载荷q、重力P和矩为m的力偶；约束反力有：固定铰支座A的约束反力应通过点A，但方向不定，故可用两个分力 和 表示；可动铰支座B处的约束反力方向铅直向上。取图示坐标系，应用平面力系平衡方程：3.4 平面任意力系的平衡条件和平衡方程 图图3.10AB梁受力图梁受力图(1)(2)
35、(3)联立求解方程可得：由上例可知，选取适当的坐标轴和矩心可减少方程中未知量的数目。在上例中若用方程 来取代方程 ，即用二力矩式方程求解上述问题，可自行思考力矩式方程同投影式方程相比有何优越性？第第3章章平面任意力系平面任意力系3.24【例例3.4】如图如图3.11所示为一不计自重的电线杆，所示为一不计自重的电线杆，A端埋入地下，端埋入地下，B端作用端作用有导线的最大拉力有导线的最大拉力F1=15kN，=5，在，在C点处用钢丝绳拉紧，其拉力点处用钢丝绳拉紧，其拉力F2=18kN，=45。试求。试求A端的约束反力。端的约束反力。图图3.11电线杆受力分析电线杆受力分析 3.4 平面任意力系的平衡
36、条件和平衡方程 解：取电杆为研究对象，其受力图如图3.11(b)所示；应用平面任意力系平衡方程：(1)(2)(3)由方程求解得：最后结果为正表示与该力假设方向相同，负号表示与假设方向相反。第第3章章平面任意力系平面任意力系3.25当平面力系的所有力的作用线均相互平行时，称为平面平行力系。显然，当平面力系的所有力的作用线均相互平行时，称为平面平行力系。显然，平面平行力系是平面任意力系的一种特殊形式。所以，平面平行力系的平衡平面平行力系是平面任意力系的一种特殊形式。所以，平面平行力系的平衡方程可由平面任意力系的平衡方程导出。方程可由平面任意力系的平衡方程导出。如图如图3.12所示，选取图示坐标轴，
37、使刚体所受的平面平行力系与轴垂直。所示，选取图示坐标轴，使刚体所受的平面平行力系与轴垂直。则不论该力系是否平衡，各力在轴上的投影恒等于零，即。所以，平面平行则不论该力系是否平衡，各力在轴上的投影恒等于零，即。所以，平面平行力系的独立平衡方程的数目只有两个，即：力系的独立平衡方程的数目只有两个，即：3.4 平面任意力系的平衡条件和平衡方程 三、平面平行力系的平衡方程三、平面平行力系的平衡方程 图图3.12平面平行力系平面平行力系同平面任意力系一样，平面平行力系的平同平面任意力系一样，平面平行力系的平衡方程亦可表示为二力矩形式：衡方程亦可表示为二力矩形式：第第3章章平面任意力系平面任意力系3.26
38、其限制条件为：其限制条件为：A、B矩心连线不与各力作用线平行。否则，两个力矩方程不矩心连线不与各力作用线平行。否则，两个力矩方程不相互独立。相互独立。可见，对单个刚体而言，平面平行力系只有两个独立的平衡方程，只能求解两可见，对单个刚体而言，平面平行力系只有两个独立的平衡方程，只能求解两个未知量。个未知量。3.4 平面任意力系的平衡条件和平衡方程【例例3.5】塔式起重机如图塔式起重机如图3.13所示，机架重所示，机架重P=700kN，作用线通过塔架的中心。，作用线通过塔架的中心。最大起重量最大起重量W=200kN，最大悬臂长为，最大悬臂长为12m，轨道，轨道AB的间距为的间距为4m。平衡块重。平
39、衡块重G，到，到机身中心线距离为机身中心线距离为6m。试问：。试问：(1)保证起重机在满载和空载时都不致翻倒，求平衡块的重量保证起重机在满载和空载时都不致翻倒，求平衡块的重量G应为多少？应为多少？(2)当平衡块重当平衡块重G=180kN时，求满载时轨道时，求满载时轨道A、B给起重机轮子的反力？给起重机轮子的反力？解：(1)以起重机整体为研究对象。其受到一平行力系作用，其中有主动力P、G及W，被动力有轨道的约束反力FA、FB。当满载时，应保证机身不会绕B轮翻转。在临界状态下，FA=0，此时G值应有所允许的最小值Gmin。所以 由 第第3章章平面任意力系平面任意力系3.273.4 平面任意力系的平
40、衡条件和平衡方程 当空载时，应保证机身不绕A轮翻转。在临界状态下，FB=0，此时G值应有所允许的最大值Gmax。所以 由 解得 解得 起重机在工作时是不允许处于极限状态的，所以，为保证其在工作时不致翻倒，平衡块的重量G应在所允许的Gmin和Gmax之间，即(2)当已知平衡块重G=180kN时，同样可以整体机身为研究对象，由平面平行力系平衡方程：第第3章章平面任意力系平面任意力系3.28由式解得 由式解得 可以利用平衡方程 来验证以上的计算结果是否正确。说明计算结果正确。3.4 平面任意力系的平衡条件和平衡方程 第第3章章平面任意力系平面任意力系3.29在工程实际中，绝大多数结构、设备都是由若干
41、个物体通过约束所组成的，我们将其统称在工程实际中，绝大多数结构、设备都是由若干个物体通过约束所组成的，我们将其统称为物体系统，简称物系。如图为物体系统，简称物系。如图3.14所示三铰拱结构是由两个曲杆所示三铰拱结构是由两个曲杆AC、BC通过铰链通过铰链C连接组合而连接组合而成。在研究其平衡问题时，不仅要求出结构所受的成。在研究其平衡问题时，不仅要求出结构所受的A、B处的约束反力，同时还要求出它们在中处的约束反力，同时还要求出它们在中间间C点处相互作用的内力。而其内力和外力是根据选取研究对象的范围相对而言的：点处相互作用的内力。而其内力和外力是根据选取研究对象的范围相对而言的：内力：组成研究对象
42、的各刚体间相互作用的力。内力：组成研究对象的各刚体间相互作用的力。外力：研究对象以外的物体作用于研究对象的力。外力：研究对象以外的物体作用于研究对象的力。另外，即使只需求出整体结构所受的约束反力，对如图另外，即使只需求出整体结构所受的约束反力，对如图3.14所示的结构而言，在平面任意所示的结构而言，在平面任意力系的作用下也只有三个独立的平衡方程，而固定铰支座力系的作用下也只有三个独立的平衡方程，而固定铰支座A、B处的未知量却有四个。所以，若处的未知量却有四个。所以，若只取整体结构为研究对象也不可能将所有约束反力求出。这时，就需要把某些刚体只取整体结构为研究对象也不可能将所有约束反力求出。这时，
43、就需要把某些刚体(如如AC或或BC曲杆曲杆)从结构中分开来单独研究，才能求出所有未知量。从结构中分开来单独研究，才能求出所有未知量。一般而言，当物体系统平衡时，组成该系统的每一个物体亦都处于平衡状态，即：整体平一般而言，当物体系统平衡时，组成该系统的每一个物体亦都处于平衡状态，即：整体平衡，其局部亦平衡。而对每一个受平面任意力系作用的物体，均可写出三个独立的平衡方程。衡，其局部亦平衡。而对每一个受平面任意力系作用的物体，均可写出三个独立的平衡方程。若物系由若物系由n个物体组成，则可有个物体组成，则可有3n个独立的平衡方程。若系统中未知量的数目与平衡方程的数个独立的平衡方程。若系统中未知量的数目
44、与平衡方程的数目相等，则可由平衡方程求解出所有未知量，这样的问题称为静定问题。但是在工程实际当中，目相等，则可由平衡方程求解出所有未知量，这样的问题称为静定问题。但是在工程实际当中，为了减小结构的过大变形、提高其承载能力或增加其稳定性，往往要给结构增加支撑，使其产为了减小结构的过大变形、提高其承载能力或增加其稳定性，往往要给结构增加支撑，使其产生了多于维持基本平衡的约束，称为多余约束。这样，未知量的数目将多于平衡方程的数目，生了多于维持基本平衡的约束，称为多余约束。这样，未知量的数目将多于平衡方程的数目，从而仅由力系的平衡方程就不能将所有的未知量求出，这样的问题称为静不定问题，或称超静从而仅由
45、力系的平衡方程就不能将所有的未知量求出，这样的问题称为静不定问题，或称超静定问题。图定问题。图3.14所示的三铰拱及如图所示的三铰拱及如图3.15所示的结构的平衡问题均为静定问题；图所示的结构的平衡问题均为静定问题；图3.16所示的结所示的结构的平衡问题都是静不定问题。构的平衡问题都是静不定问题。3.5 物体系统的平衡 静定和静不定问题 第第3章章平面任意力系平面任意力系3.30 在静不定问题中将总未知量数与平衡方程数之差，称为超静定次数。例如图3.16(a)、(b)、(c)中未知量数分别为4、7、4个，而独立平衡方程数分别为3、6、3个，所以均为一次超静定问题。对于解决超静定问题，仅用静力学
46、平衡方程是不够的，还需要考虑作用于物体上的外力和物体的变形的关系，列出相应于静不定次数的补充方程数并联立平衡方程才能解决。由于理论力学的研究对象是刚体，并不考虑物体的变形，所以，静不定问题已超出了本教材的研究范围，而对其问题的解决将在后续课程材料力学、结构力学等学科中研究。3.5 物体系统的平衡 静定和静不定问题 图图3.14三铰拱结构三铰拱结构图图3.15静定结构静定结构第第3章章平面任意力系平面任意力系3.31下面着重讨论静定的物体系统的平衡问题。下面着重讨论静定的物体系统的平衡问题。在求解物系的平衡问题时，可以选物系中某个刚体、也可取几个刚体的在求解物系的平衡问题时，可以选物系中某个刚体
47、、也可取几个刚体的组合为研究对象，或者可取整个物系为分离体。而要如何选取需考虑问题的组合为研究对象，或者可取整个物系为分离体。而要如何选取需考虑问题的具体情况来决定。总的原则是：要使每一个方程中的未知量数尽量减少，最具体情况来决定。总的原则是：要使每一个方程中的未知量数尽量减少，最好只含有一个未知量，以避免求解联立好只含有一个未知量，以避免求解联立方程。方程。3.5 物体系统的平衡 静定和静不定问题 图图3.16静不定结构静不定结构第第3章章平面任意力系平面任意力系3.32【例3.6】组合梁ABCD，受集中力P、力偶矩为M的力偶及均布载荷q的作用，其中，如图3.17所示。试求A、B的约束反力。
48、解：(1)取CBD梁为研究对象，受力图如图3.17(b)所示，列平衡方程：可得(2)取整体为研究对象，受力图如图3.17(a)所示，列平衡方程：3.5 物体系统的平衡 静定和静不定问题 图图3.17组合梁受力图组合梁受力图 第第3章章平面任意力系平面任意力系3.333.5 物体系统的平衡 静定和静不定问题 由(3)式得 由(4)式得所以 【例例3.7】如图如图3.18(a)所示的三铰拱，受铅垂主动力所示的三铰拱，受铅垂主动力P及及2P作用，几何尺寸如图作用，几何尺寸如图所示，且构件自重不计。试求铰链所示，且构件自重不计。试求铰链A、B、C处的约束反力。处的约束反力。解：三铰拱由AC和BC两构件
49、构成，而在A、B、C处的未知力数目共有6个。所以，可分别取AC、BC构件为研究对象，列平衡方程联立求解即可。第第3章章平面任意力系平面任意力系3.343.5 物体系统的平衡 静定和静不定问题(1)以AC为研究对象，列平衡方程图图3.18三铰拱受力分析三铰拱受力分析 (2)以BC为研究对象，列平衡方程 第第3章章平面任意力系平面任意力系3.353.5 物体系统的平衡 静定和静不定问题 联立上述六个方程，且 ，解得在分析物系的平衡问题时，对同一问题可采用不同的方法来解决，如上例也可利用整体和局部相结合的方法来求解：首先，以整体为研究对象，受力图如图3.18(a)所示，列平衡方程，由上述方程可解得第
50、第3章章平面任意力系平面任意力系3.36但要求出C点的约束反力及A、B处的水平反力还需要取其一部分为研究对象，如可取AC构件为研究对象，列平衡方程 3.5 物体系统的平衡 静定和静不定问题，联立求解可得对上述两种解法可自已进行分析，并总结出其各自的特点。，第第3章章平面任意力系平面任意力系3.37【例例3.8】图图3.19(a)所示构架是由折杆所示构架是由折杆ABC及直杆及直杆CE和和BD组成。杆件自重不组成。杆件自重不计，受力如图示，试求其支座的约束反力和计，受力如图示，试求其支座的约束反力和BD杆的内力。杆的内力。解：结构只受到一铅垂方向的均布荷载的作用，故其所受到的所有的力应为一平行力系