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1、2424平面任意力系向平面内一点简化平面任意力系向平面内一点简化平面任意力系向平面内一点简化平面任意力系向平面内一点简化1.力的平移定理力的平移定理:可以把作用在刚体上点可以把作用在刚体上点A的力的力F平行移到任一点平行移到任一点B，但必须，但必须同时附加一个力偶，这个附加力偶的矩等于原来的力同时附加一个力偶，这个附加力偶的矩等于原来的力F对新对新作用点作用点B的矩。的矩。其中其中其中其中F=F=FBFMABFdFFBAFdM=Fd=MB(F)作用在物体上的作用在物体上的力的作用线任意分布在同一平面内（或力的作用线任意分布在同一平面内（或近似分布在同一平面内）的力系近似分布在同一平面内）的力系
2、；当物体及所受的力都对称；当物体及所受的力都对称于同一平面时，也为平面任意力系问题于同一平面时，也为平面任意力系问题。12.平面任意力系向作用面内一点简化平面任意力系向作用面内一点简化 主矢和主矩主矢和主矩oMF1F2oFnoFnMnF1M1F2M2任意点任意点O为简化中心为简化中心 F1=F1，F2=F2，Fn=Fn Mi=Mo(Fi)(i=1，2，n)平平面面任任意意力力系系等等效效为为两两个个简简单单力力系系：平平面面汇汇交交力力系系和平面力偶系。和平面力偶系。FR2Mo=M1+M2+Mn=FR主矢主矢Mo 主矩主矩 平面任意力系向作用面内任一点平面任意力系向作用面内任一点O简化，可得一
3、个力和一个简化，可得一个力和一个力偶。这个力等于该力系的力偶。这个力等于该力系的主矢，主矢，作用线通过简化中心作用线通过简化中心O。这个。这个力偶的矩等于该力系的力偶的矩等于该力系的主矩。主矩。平面汇交力系平面汇交力系可合成为作用线通过点O的一个力F FR R FR=F1+F2+Fn=平面力偶系平面力偶系可合成为一个力偶，这个力偶的矩Mo等于各附加力偶矩的代数和，又等于原来各力对点O的矩的代数和。oMOFR(31)(32)F1F2oFnoFnMnF1M1F2M23oF1F2oFnoFnMnF1M1F2M2MOFR取取坐坐标标系系Oxy，i，j为为沿沿x，y轴轴的的单单位位矢矢量量，则则力力系系
4、主主矢矢的解析表达式为的解析表达式为主矢主矢FR的大小和方向余弦为的大小和方向余弦为主矩主矩的解析表达式的解析表达式 xyijyxij4 一物体的一端完全固定在另一物体上，这种约束一物体的一端完全固定在另一物体上，这种约束称为称为固定端固定端或或插入端支座插入端支座 FAxFAyMAAAFA MA 53.平面任意力系的简化结果分析平面任意力系的简化结果分析 简简化化结结果果可可能能有有以以下下几几种种情情况况，即即：（1 1）FR=0，Mo0；（2 2）FR0，Mo=0；（3 3）FR0，Mo0；（4 4）FR=0，Mo=0。FR=0，Mo0原力系合成为原力系合成为合力偶合力偶，合力偶矩，合力
5、偶矩为为（2 2）平面任意力系简化为）平面任意力系简化为一个合力一个合力的情形的情形原力系简化为原力系简化为一个力一个力，FR 就是原力系的合力就是原力系的合力,合力合力作用作用线通过简化中心线通过简化中心O。（1 1）平面任意力系简化为）平面任意力系简化为一个力偶一个力偶的情形的情形(a)FR0，Mo=06oFRMoo oo dFRFR FRdoo FR 原力系简化为原力系简化为一个力一个力，合力矢等于主矢；合力的合力矢等于主矢；合力的作用线在作用线在点点O的哪一侧，根据的哪一侧，根据主矢和主矩的方向确定；合力主矢和主矩的方向确定；合力作用线到作用线到点点O的距离为的距离为d。平面任意力系平
6、面任意力系平衡平衡。（3 3）平面任意力系）平面任意力系平衡平衡的情形的情形(b)FR0，Mo0FR=0，Mo=0FR=FR=FR7 平面任意力系的合力矩定理平面任意力系的合力矩定理由图(b),合力 FR 对点O的矩为由式（32）得合力矩定理合力矩定理：平面任意力系的合力对作用面内任一点的矩等于力系中各力对同一点的矩的代数和。MO(FR)=FRd=MO(b)oFRMoo oo dFRFR FRdoo FR(c)(a)8 例例1010 已知F1=150N，F2=200N，F3=300N，F=F=200N。求力系向点O的简化结果，并求力系合力的大小及其与原点O的距离。解：解：F3121002001
7、1F113F280FFxyOji9得力系向点O的简化结果如图（b);MOFROxy(b)合力及其与原点O的距离如图(c)。(c)OxyFRdF31210020011F113F280FFxyOji10 例例1111 水平梁AB受按三角形分布的载荷作用，如图示。载荷的最大值为q，梁长l，求合力作用线的位置。解:在梁上距A端为 x 处的载荷集度为 q(x)=qx/l。在此处取的一微段dx，梁在微段d x 受的力近似为 F(x)=qxdx/l。设合力作用线到A端的距离为 xC，xdxq(x)dxFxcABlq梁由 x=0 到 x=l 的分布载荷合力为根据合力矩定理11小小 结结1.力的平移定理力的平移
8、定理:平移一力的同时必须附加一个力偶，附加力偶的矩等于原来的力 对新作用点的矩。2.平面任意力系向平面内任选一点平面任意力系向平面内任选一点O简化简化:可得一个力和一个力偶。这个力等于该力系的主矢，作用线通过简化中心O。这个力偶的矩等于该力系的主矩。3.平面任意力系的简化结果平面任意力系的简化结果（1）FR=0，Mo 0,（4）FR=0，Mo=0,（2）FR 0，Mo=0,（3）FR 0，Mo 0,合合力偶力偶，合力偶矩，合力偶矩，合合力力，合力，合力作用线通过简化中心作用线通过简化中心O。平衡。平衡。合合力力，合力，合力作用线到简化中心作用线到简化中心O的距离为的距离为122525平面任意力
9、系的平衡条件和平衡方程平面任意力系的平衡条件和平衡方程平面任意力系的平衡条件和平衡方程平面任意力系的平衡条件和平衡方程 讨论平面任意力系的主矢和主矩都等于零的情形：FR=0 Mo=0 主矢等于零，表明作用于简化中心O的汇交力系为平衡力系；主矩等于零，表明附加力偶系也是平衡力系，所以原力系必为平衡力系。即上式为平面任意力系平衡的充分条件充分条件。由上节分析结果可知：在另外几种情况下力系都不能平衡，只有当主矢和主矩都等于零时，力系才能平衡，上式为平面任意力系平衡的必要条件必要条件。平面任意力系平衡的平面任意力系平衡的充分必要条件充分必要条件：力系的主矢和对力系的主矢和对任一点的主矩都等于零。任一点
10、的主矩都等于零。13（或或）1.1.平衡条件的解析式平衡条件的解析式(即平衡方程）：即平衡方程）：2.二力矩式二力矩式3.三力矩式三力矩式条件是：条件是：A、B两点两点的连线不能与的连线不能与 x 轴轴或或 y 轴垂直轴垂直条件是：条件是：A、B、C三点不能共线三点不能共线下一页222314 例例1212 图示水平梁AB，A端为固定铰链支座，B端为一滚动支座。梁长为4a，梁重P，作用在梁的中点C。在梁的AC段上受均布载荷q作用，在梁的BC段上受力偶作用，力偶矩M=Pa。求A和B处的支座约束力。AB4a2aMPq15解：（1）取AB梁为研究对象，画受力图AB4a2aMPqFBFAxFAy联解上各
11、式得（2）列静力平衡方程16例例13如图所示平面刚架AB，其上作用有力P 和力偶M，力偶矩等于Pa，若P、a均为已知，求A、B两处的约束反力。aaaM=PaPABC17解法一：（1）选AB为研究对象，画受力图（2）列静力平衡方程aaaM=PaPABCRB XAYA联解上各式得：18二力矩二力矩式式aaaM=PaPABCRB XAYA解法二：（1）选AB为研究对象，画受力图（2）列静力平衡方程联解上各式得：D1719aaaM=PaPABCRB XAYAD解法三：（1）选AB为研究对象，画受力图（2）列静力平衡方程联解上各式得：三力矩三力矩式式1720 例例1414 自重为P=100KN的T字形刚
12、架ABD，置于铅垂面内，载荷如图示。其中M=20KNm,F=400KN,q=20KNm,l=1m。求固定端A的约束力。MPADB3lllqF3021解：T字形刚架ABD的受力如图所示。解方程得 MPADB3lllqF30FAxFAyMA224.平面平行力系平面平行力系的平衡条件和平衡方程 xF1F2F3FnyO 如图：物体受平面平行力系F1，F2，Fn的作用。则平行力系的独立平衡方程为：如取 x 轴与各力垂直，不论力系是否平衡，恒有平行力系平衡方程的二力矩式：23QWPAB6m12m2m2m 例例1515 塔式起重机如图所示。机身总重为W=220kN，作用线通过塔架的中心。最大起重量P=50k
13、N，平衡块重Q30kN。求：满载和空载时轨道A、B的约束反力，并问此起重机在使用过程中有无翻倒的危险。（1）起重机受力图如图RARB（2）列平衡方程：解：解方程得:24QWPAB6m12m2m2mRARB 满载时,P=50kN,则 空载时,P=0,则RA=45kNRB=255kNRA=170kNRB=80kN讨论:(a)满载时，为了保证起重机不致绕B点翻到，必须使RA0;同理，空载时，为了保证起重机不致绕A点翻到，必须使RB0;(b)由上计算知：满载时，RA=45kN0;空载时，RB=80 kN0;所以此起重机在使用过程中无翻倒的危险。25 例例1616 塔式起重机如图。机架重为P1=700K
14、N，作用线通过塔架的中心。最大起重量P2=200KN，最大悬臂长为12m，轨道AB的间距为4m。平衡荷重P3，到机中心距离为6m。求：（1）保证起重机在满载和空载时都不致翻倒，平衡荷重P3 为多少？（2）当平衡荷重P3=180KN时，求满载时轨道A、B给起重机轮子的反力？FAFBP3P1P2AB6m12m2m2m26解：选起重机为研究对象。（1）要使起重机不翻倒，应使作用在起重机上的力系满足平衡条件。满载时，为使起重机不绕点B翻倒，力系满足平衡方程 。在临界情况下，FA=0。求出的P3 值是所允许的最小值。空载时，为使起重机不绕点A翻倒，力系满足平衡方程 。在临界情况下，FB=0。求出的P3
15、值是所允许的最大值。27 起重机实际工作时不允许处于极限状态，要使起重机不翻倒，平衡荷重P3应在两者之间，即：75KNP3 350KN （2）取P3=180KN，求满载时作用于轮子的反力FA和FB。由平面平行力系的平衡方程：解方程得 验证：28小小结结平面平面平面平面 汇交力系平衡方程汇交力系平衡方程汇交力系平衡方程汇交力系平衡方程 平面平面平面平面 平行力系平衡方程平行力系平衡方程平行力系平衡方程平行力系平衡方程 平面平面平面平面 力偶系平衡方程力偶系平衡方程力偶系平衡方程力偶系平衡方程 共线力系平衡方程共线力系平衡方程共线力系平衡方程共线力系平衡方程 平面任意力系平面任意力系平面任意力系平
16、面任意力系平衡方程平衡方程平衡方程平衡方程 292626物物物物体系的平衡体系的平衡体系的平衡体系的平衡 静定和超静定问题静定和超静定问题静定和超静定问题静定和超静定问题 由若干个物体组成的系统称为物体系物体系。物体系中的未知量数目等于独立平衡方程的数目时，所有未知量都能由平衡方程求出，这样的问题称为静定静定静定静定问题。物体系中的未知量数目多于独立平衡方程的数目时，未知量不能全部由平衡方程求出，这样的问题称为超静定超静定问题。外力外力：外界物体作用于系统上的力叫外力。内力内力：系统内部各物体之间的相互作用力叫内力。物系平衡的特点特点：物系平衡时，物系中每个单体也是平衡的。每个单体可列3个平衡
17、方程，整个系统可列3n个方程（设物系中有n个物体）30ABFAFBPABCPFAFBFCABCPFAFBABPFAFBFCAAPFAxFAyMAF1F2BPFAxFAyMAF1F2FB31PF1F2FBABABFByFBxFAxFAyMAFAxFAyMAPF2F1物体系物体系的平衡问题求解：的平衡问题求解：（1）可以选每个物体为）可以选每个物体为研究对象，列出全部研究对象，列出全部平衡方程，然平衡方程，然后求解；后求解；（2）也可先取整体为）也可先取整体为研究对象，列出研究对象，列出平衡方程，解出部分平衡方程，解出部分未知量，再从系统中选取某些物体为未知量，再从系统中选取某些物体为研究对象，列
18、出另外的研究对象，列出另外的平平衡方程，直至求出所有未知量。衡方程，直至求出所有未知量。32q0ABCDFPq1m1m1m1m0.5m0.5m例例1717 图示组合梁（不计自重）由AC和CD两部分铰接而成。已知：F=10kN，P=20kN，均布载荷 q=5kN/m，梁的BD段受线性分布载荷，q0=6kN/m，求A和B处的约束反力。FBFAxFAyMA解：（1）选整体为研究对象。33（2）选CD为研究对象。FBq0BCDF1m1m0.5mFCyFCx解得 34 例例1818 齿轮传动机构如图示。齿轮的半径为r，自重为P1。齿轮的半径为R=2r，其上固结一半径为r的塔轮，轮与轮共重P2=2P1。齿
19、轮压力角=20，物体C重为P=20P1。求：(1)保持物体C匀速上升时，作用在轮上力偶的矩M；（2）光滑轴承A,B的约束力。约束力。ArB rRCP1P2PM35解（1）选取轮，及重物C为研究对象。B rRCPP2FByFBxFFtFr解得 由平衡方程及压力角定义 36Ar（2）选取轮为研究对象。FrFtP1FAxFAyM解得 37 例例1919 图示钢结构拱架由两个相同的钢架图示钢结构拱架由两个相同的钢架AC和和BC铰接，吊铰接，吊车梁支承在钢架的车梁支承在钢架的D，E上。设两钢架各重为上。设两钢架各重为P=60KN；吊车梁；吊车梁重为重为P1=20KN，其作用线通过点，其作用线通过点C；载
20、荷为；载荷为P2=10KN ；风力；风力F=10KN 。尺寸如图。尺寸如图。D，E两点在力两点在力P的作用线上。求固定铰的作用线上。求固定铰支座支座A和和B的约束力。的约束力。PPP2P1F5m2m8m2m2mBACDE10m38解 （1）选整个拱架为研究对象,受力如图。PPP2P1F10m5m2m8m2m2mBACDExyFAxFAyFByFBX39PFCxFCyFByFBXFEBCE4m（2）选右边拱架为研究对象，受力如图（3）选吊车梁为研究对象，受力如图DEP2P1FE FD 解得40 例例2020 图示构架，由直杆图示构架，由直杆BC，CD及直角弯杆及直角弯杆AB组成，各组成，各杆自重
21、不计，载荷分布及尺寸如图。销钉杆自重不计，载荷分布及尺寸如图。销钉B穿透穿透AB及及BC两构件，两构件，在销钉在销钉B上作用一铅垂力上作用一铅垂力F。已知。已知q，a，M，且且M=qa2。求固定。求固定端端A的约束力及销钉的约束力及销钉B对杆对杆BC、杆杆AB的作用力。的作用力。ABCDqFq3aaaaM41解 （1）选CD杆为研究对象，其受力如图示。CDqFCxFCyFDyFDx解得（2）选BC杆为研究对象，其受力如图示。MBCFCx FCy FBCxFBCy解得42（3）选销钉B为研究对象，其受力如图示。BFFBCx FBCy FBAx FBAy 解得即销钉B对杆AB的作用力为：43（4）
22、选直角弯杆AB为研究对象，其受力如图示。ABqFAxFAyFBAxFBAyMA 解得44 例例2121 图示一结构由AB、BC 与CE 三个构件构成。E 处有一滑轮，细绳通过该轮悬挂一重为 1.2 kN 的重物。尺寸如图，不计杆件与滑轮的重量。求支座A和B处的约束反力，以及杆BC 的内力FBC。ABCDE1.5m2m2m1.5m解：解：（1）选整体为研究对象，其受力如图所示。FAyFFBFAxP45（2）取ADB杆为研究对象，其受力如图所示。ABDFAyFBFAxFDxFDyFBC解得式中r为轮的半径，细绳拉力F=P。解得46思考题思考题怎样判断静定静定和和超静定超静定问题？图中哪些是静定静定
23、问题，哪些是超静定超静定问题？PPP(a)(b)(c)FABABFBAF(d)(e)(f)472-72-7平面简单桁架的内力计算平面简单桁架的内力计算平面简单桁架的内力计算平面简单桁架的内力计算桁架是一种由细长杆在其两端用铰链连接而成桁架是一种由细长杆在其两端用铰链连接而成的结构，几何形状不变。的结构，几何形状不变。如果桁架所有杆件的轴线与其受到的载荷均在一如果桁架所有杆件的轴线与其受到的载荷均在一个平面内，称此类桁架为平面桁架，否则称为空间桁个平面内，称此类桁架为平面桁架，否则称为空间桁架。本节的研究对象为平面桁架。架。本节的研究对象为平面桁架。481、平面桁架的静力学模型、平面桁架的静力学
24、模型(1)桁架的杆件都是直桁架的杆件都是直的；的；构成桁架的杆件均为构成桁架的杆件均为二力杆二力杆（3）桁架所受的）桁架所受的力力(载荷载荷)都作用在节点上，且在桁都作用在节点上，且在桁架的平面内；架的平面内；(2)杆件用光滑的圆柱铰链连接。桁架中杆件用光滑的圆柱铰链连接。桁架中杆件的铰链接头称为节点；杆件的铰链接头称为节点；（4）杆件的自重不计，或平均分配到杆件两端的节）杆件的自重不计，或平均分配到杆件两端的节点上。点上。492、简单平面桁架的构成、简单平面桁架的构成平面桁架先由三根杆与三个节点构成一个三角形，以后每平面桁架先由三根杆与三个节点构成一个三角形，以后每增加一个节点增加两个杆件，
25、从而得到几何形状不变的结构增加一个节点增加两个杆件，从而得到几何形状不变的结构简单平面桁架。简单平面桁架。将构件数与节点数分别记为将构件数与节点数分别记为n 与与m，根据上述的规则，它们有如下的关系，根据上述的规则，它们有如下的关系对于简单平面桁架，每个节点受到的是一个平面汇交力系，存在两对于简单平面桁架，每个节点受到的是一个平面汇交力系，存在两个平衡方程。因此个平衡方程。因此共有独立的平衡方程共有独立的平衡方程2m 个。由上式可知，个。由上式可知，它可以求解它可以求解n+3个未知数。个未知数。如果支承桁架的约束力的个数为如果支承桁架的约束力的个数为3，平面桁架的，平面桁架的n 个杆件内个杆件
26、内力可解，故简单平面桁架问题是力可解，故简单平面桁架问题是静定静定的。显然，如果在简单平面的。显然，如果在简单平面桁架上再增加杆件或支承约束力超过桁架上再增加杆件或支承约束力超过3，则使该静力学问题由静，则使该静力学问题由静定变为定变为静不定静不定。503、桁架的内力计算、桁架的内力计算桁架都是二力杆，其内力一定沿杆桁架都是二力杆，其内力一定沿杆的轴线方向，因此，内力为拉力或的轴线方向，因此，内力为拉力或压力。压力。统一设拉为正、压为负。统一设拉为正、压为负。#内力计算的节点法：内力计算的节点法：利用各个节点的利用各个节点的平衡方程计算杆的内力。平衡方程计算杆的内力。#内力计算的截面法：内力计
27、算的截面法：将桁架部分杆切将桁架部分杆切断，利用桁架子系统的平衡方程计算杆断，利用桁架子系统的平衡方程计算杆的内力。的内力。FF(c)(a)FF(b)51 例例22 平面悬臂桁架所受的载荷如图所示。求各杆的内力。ABCDE123456aa30FF解 （1）选节点E为研究对象，受力图如图(b)。（2）选节点C为研究对象，受力图如图(c)。FEF1F2(b)FF1CF4F3(c)52（3）选节点D为研究对象，受力图如图(d)。ABCDE123456aa30FFDF2F3F5F6xy(d)53例例23 平面悬臂桁架所受的载荷如图(a)所示。求杆1,2,3的内力。解 （1）用I-I截面将桁架截开，取桁
28、架右半部为研究对象。其受力图如图(b)所示。II 2m 2m 2m 2m123FFFFF1F2FNCD(b)FFFF 2m 2m 2m 2m 3mAB123(a)（2）选节点E为研究对象，受力图如图(c)所示。EF1F12F23F3(c)54 例24 如图所示桁架，F=5kN，。求杆1、2和6的内力。解 （1）以桁架整体为对象，计算支座的约束反力：b b b b b bAB123456789111210CDbFFFFAyFAxFBy55（2）计算杆1的内力：选节点A为研究对象，受力图如图(b)杆杆1的长度为：的长度为：FFF b b b b b bAB123456789111210CDbFAx
29、FAyFByFAxFAyF3AF1(b)56（3）计算杆计算杆2的内力：的内力：用I-I截面将桁架截开，取桁架左半部为研究对象。其受力图如图(c)。F2对点对点A 的力臂的力臂：（4）计算杆计算杆6的内力：的内力：以节点C 为对象，其受力图如图(d)。杆杆2的长度为的长度为：IIFAxFAyA12345F2F5FFF4h(c)F7F6F8C(d)FF b b b b b bAB123456789111210CDbFAxFAyFByF574、零杆问题的讨论、零杆问题的讨论 桁架中桁架中内力为零内力为零的杆件称为的杆件称为零杆零杆。如上。如上例的杆例的杆6。零杆的判断对桁架内力的计算。零杆的判断对
30、桁架内力的计算具有积极的意义。利用节点法不难得到判具有积极的意义。利用节点法不难得到判断零杆的断零杆的结论结论：v一节点上有三根杆件，如果节点上无外力的作用，一节点上有三根杆件，如果节点上无外力的作用，其中两根共线，则另一杆为零杆其中两根共线，则另一杆为零杆(见图见图c：F5=0)；v一节点上只有两根不共线杆件，一节点上只有两根不共线杆件，如果节点上无外力的作用，则两杆如果节点上无外力的作用，则两杆件均为零杆件均为零杆(见图见图a：F1=0，F2=0)；v一节点上只有两根不共线杆件，如一节点上只有两根不共线杆件，如果作用在节点上的外力沿其中一杆，果作用在节点上的外力沿其中一杆，则另一杆为零杆则另一杆为零杆(见图见图b：F4=0)；F 3(c)F1F2F5F 4F6FABC(a)(b)F758上例中已知杆上例中已知杆6为零杆，考虑节点为零杆，考虑节点D，由结论，由结论(1)，可知杆可知杆9为零杆。同理可推知，杆为零杆。同理可推知，杆11与与12也为零杆。也为零杆。FFF b b b b b bAB123456789111210CDbFAxFAyFBy41235FF左图中，可知杆左图中，可知杆1 1、2 2、3 3 4 4为零杆。为零杆。59例例25 已知 P d,求：四杆的内力？解解：由零杆判式研究A点：6061