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1、第四节 函数的导数与微分的应用三、微分公式与微分运算法则三、微分公式与微分运算法则四、函数的单调性、凹凸性、四、函数的单调性、凹凸性、极值与最值极值与最值 一、利用微分计算近似值及误差估计一、利用微分计算近似值及误差估计 二、洛必达法则二、洛必达法则当很小时,得近似等式:(1)(2)(3)一、近似计算与误差估计一、近似计算与误差估计（一）近似计算（一）近似计算的近似值.解解:设例例.求很小)证明证明:令代入(4)式得常用近似公式常用近似公式:特别当很小时,在(3)式(4)（类似可得）的近似值.解解:例例.计算（二）（二）误差估计误差估计某量的精确值为 x,其近似值为 xo,称为xo的绝对误差绝
2、对误差称为xo 的相对误差相对误差若称为测量 x 的绝对误差限绝对误差限称为测量 x 的相对误差限相对误差限误差传递公式误差传递公式:已知测量误差限为按公式计算 y 值时的误差故 y 的绝对误差限约为相对误差限约为若直接测量某量得 x0,二、洛必达法则二、洛必达法则函数之商的极限导数之商的极限 转化(或 型)研究思路研究思路:洛必达法则洛必达法则未定式(未定型或不定型):(1)型型存在(或为 )定理定理 2.(洛必达法则洛必达法则)则设f(x),g(x)满足：注注1.定理 1 中换为下列过程之一:注注 3.若条件,则洛必达法则注注 2.使用洛必达法则时，验证3个条件；例例.求解解:原式洛洛例例
3、.求解解:原式注意注意:不是未定式不能用洛必达法则!洛洛洛洛例例.求解解:原式 洛洛(2)型型存在(或为)定理定理 2.(洛必达法则洛必达法则)则设f(x),g(x)满足：例例.求解解:原式=洛洛洛洛例例.求解：解：洛洛(3)(3)其他未定式其他未定式:解决方法解决方法:通分转化转化取倒数转化转化取对数转化转化例例.求解解:原式解解:原式例例.求通分转化转化取倒数转化转化取对数转化转化洛洛例例10.求解解:通分转化转化取倒数转化转化取对数转化转化洛洛三、三、函数单调性、凹凸性、极值与最值函数单调性、凹凸性、极值与最值若在(a,b)内定理定理2.9 设函数 a,b 内单调递增(递减).在a,b
4、内连续,(1)单调性单调性在(a,b)可导,则函数f(x)在例例11.确定函数确定函数的单调区间.解解:令得故的单调增单调增区间为的单调减单调减区间为例例12.12.当x0时，试证证证:设故0,+)上f(x)是单调增加，则称 为 的驻点。驻点。在其中当时,(1)则称 为 的极大值点极大值点,称 为函数的极大值极大值;(2)则称 为 的极小值点极小值点,称 为函数的极小值极小值。极大值点与极小值点统称为极值点极值点。（2 2）极值）极值若定义：定义：定义定义2.82.8注意注意:为极大值点为极小值点不是极值点2)1)函数的极值是函数的局部性质.例如例如,为极大值点,是极大值 是极小值 为极小值点
5、,函数(必要条件必要条件)定理定理2.10 (极值第一判别法极值第一判别法)且在x0 的某去心邻域内可导,(1)“左左正正右负右负”(2)“左负右左负右正正”时,当而当时,时,当而当时,(3)若在点x0的某去心邻域内,求极值的步骤求极值的步骤:与不可导点（可疑极值点）；求函数 的极值.例例13.13.解解:驻点附近 的符号变化的情况:因此无极值无极值极大值极大值极小值极小值定理定理2.11(极值第二判别法极值第二判别法)二阶导数,且则 在点 取极大值;则 在点 取极小值。例例14.求函数的极值.解解:1)求导数2)求驻点令得驻点3)判别因故 为极小值;又故需用第一判别法判别.(3)最大值与最小
6、值最大值与最小值则f(x)在最值出现在：驻点、不可导点、区间端点。求函数最值的方法求函数最值的方法:1)求 在 内的驻点和不可导点2)最大值最小值闭区间a,b上必有最大值和最小值。定理：例例15.15.解：解：（1）求导（2）求驻点、不可导点：驻点为不可导点为（3）计算这些点的函数值，求最大值和最小值：肌肉或皮下注射后,血中药物的浓度与时间例例16.16.问 t 为何值时，血中药物浓度达最大值。的关系是解：解：令（唯一驻点）因此当t=t0时，血中药物浓度达最大值。定义定义2.9 设函数在区间 I 上连续,若对若对 有则称函数图形在此区间上是凹凹的，如下左图;四、曲线的凹凸性四、曲线的凹凸性若对
7、 有则称函数图形在此区间上是凸凸的，如下右图;定理定理2.12(凹凸判定法)(1)在 I 内则 f(x)在 I 内图形是凹的;(2)在 I 内则 f(x)在 I 内图形是凸的。设函数在区间I 上有二阶导数定义定义2.10 函数的凹凸分界点 称为拐点拐点。拐点证明略（可从斜率的大小变化来理解）证明略（可从斜率的大小变化来理解）对应例例17.求曲线的凹凸区间及拐点。解解:1)求2)求拐点可疑点坐标令得3)列表判别故该曲线在及上向上凹,向上凸,点(0,1)及均为拐点。凹凹凸一、近似计算与误差估计二、洛必塔法则通分转化转化取倒数转化转化取对数转化转化三、函数的单调性、凹凸性、极值、最值极值第一判别法极值第一判别法极值第二判别法极值第二判别法求极值的步骤求极值的步骤由极值求最值由极值求最值用二阶导的符号来判断凹凸性用二阶导的符号来判断凹凸性用一阶导的符号来判断单调性用一阶导的符号来判断单调性 练习题2.4：1，2，3（1），4（1），6 复习题二：8，9分析分析:原式洛洛备用练习备用练习