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1、第一章第一章 函数与极限习题课函数与极限习题课(一一)数列与函数的极限数列与函数的极限 几何解释几何解释:一、数列极限一、数列极限 1数列极限的定义数列极限的定义 2数列极限的运算法则数列极限的运算法则 3数列极限的主要性质数列极限的主要性质 4数列极限的存在准则数列极限的存在准则 二、函数的极限二、函数的极限 1函数极限的定义函数极限的定义 2函数的左右极限函数的左右极限 左极限左极限:右极限右极限:3函数极限收敛的充要条件函数极限收敛的充要条件 4函数极限的运算法则函数极限的运算法则 5函数极限的主要性质函数极限的主要性质（3）夹逼准则：若）夹逼准则：若则则三、无穷小与无穷大三、无穷小与无
2、穷大 1无穷小的基本概念无穷小的基本概念（1）无穷小的定义）无穷小的定义（2）无穷小阶的比较）无穷小阶的比较2无穷小的主要性质无穷小的主要性质 四、两个重要极限四、两个重要极限 1.2.则则或或五、解题方法及典型例题五、解题方法及典型例题 1数列极限解题数列极限解题 方法流程图方法流程图 求求可找到数列可找到数列 和和 满足满足应用夹逼准则应用夹逼准则验证验证 单调有界单调有界应用单调应用单调有界准则有界准则恒等变形恒等变形应用极限的四则应用极限的四则运算法则求极限运算法则求极限 判别判别 的形式的形式 为分式为分式应用等价无穷小代换应用等价无穷小代换应用极限的四则应用极限的四则运算法则求极限
3、运算法则求极限 恒等变形恒等变形 求求判别判别 的形式的形式 为无穷小为无穷小,且且 为未定式为未定式 或或 为复合函数为复合函数 应用连续函数的应用连续函数的极限运算准则极限运算准则 应用重要极限应用重要极限函数极限解题函数极限解题 方法流程图方法流程图 2典型例题典型例题【例【例1】计算】计算 分析分析 经过计算可得分子分母的极限都为零，说明分子经过计算可得分子分母的极限都为零，说明分子 分母都有致零因子，可以将分子分母的致零因子分母都有致零因子，可以将分子分母的致零因子 约去，再求极限。约去，再求极限。解：解：【例【例2】计算】计算 解：解：分析分析 对形如对形如 的极限，分子、分母可同
4、除以的极限，分子、分母可同除以 中中x的最高次，再利用的最高次，再利用 可求得最终结果。可求得最终结果。解：解：如果改为：如果改为：结果如何？结果如何？思考思考【例【例3】计算】计算分析分析 由于函数中含有根式，可利用分子有理化变形，由于函数中含有根式，可利用分子有理化变形，可变成可变成 的形式。的形式。解法解法2：解法解法1:因为因为 ，所以所以 是是 时的无穷小，时的无穷小，而而为有界函数，由有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小，知为有界函数，由有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小，知【例【例4】计算】计算 注意：下面的计算是错误的。注意：下面的计算是错误的。因为因为 所以所以 因为因为，故，故
5、并不存在，并不存在，所以不能应用极限存在准则。所以不能应用极限存在准则。解：解：【例【例 5】*计计算算分析分析 本题含本题含 ，当，当 与与(0)时，有不同的结果，时，有不同的结果，需要用左右极限求之。需要用左右极限求之。解：解：【例【例 6】计算】计算而而由夹逼准则得由夹逼准则得分析分析 本题是求本题是求n项和的数列极限问题，从通项的形式上看，项和的数列极限问题，从通项的形式上看，可通过适当放缩以后，利用夹逼准则来计算。可通过适当放缩以后，利用夹逼准则来计算。【例【例 7】设设 （1）证明）证明存在存在 （2）计算）计算解：解：(1)由于由于所以所以又又有下界有下界即即在在 时单调下降时单
6、调下降进而证明了数列的有界性。进而证明了数列的有界性。由单调有界数列必有极限知由单调有界数列必有极限知 解：解：(2)设设则有则有（因（因 ，故舍去负值），故舍去负值）注：应用单调有界数列必有极限准则证明数列极限存在，注：应用单调有界数列必有极限准则证明数列极限存在，需分别证明数列的单调性和有界性。至于先证单调性还是需分别证明数列的单调性和有界性。至于先证单调性还是有界性要根据具体问题具体分析。有界性要根据具体问题具体分析。所以所以 解法解法1：【例【例 8】计算计算解法解法2：型未定式的极限型未定式的极限,分析分析 这是这是 解决方法是利用重要极限。解决方法是利用重要极限。或利用变量替换法。或利用变量替换法。分析分析 分子分母均趋于分子分母均趋于0，不能运用运算法则，适当作，不能运用运算法则，适当作恒等变形，再利用等价无穷小代换。恒等变形，再利用等价无穷小代换。解：解：【例【例 9】计算计算 解：解：分子有理化分子有理化极限非零部分可先提出极限非零部分可先提出【例【例 10】计算计算分析分析 由于函数中分子分母都含有根式，可利用分子分母由于函数中分子分母都含有根式，可利用分子分母有理化变形，可求出极限。有理化变形，可求出极限。【例【例 11】设设即所求即所求 解：由于解：由于 ，极限极限 存在存在 故必有故必有 ，于是有于是有 ，即，即将将 代回原极限式有代回原极限式有