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1、方差分析的两种模型（2）随机模型）随机模型单因素完全随机设计（Completely RandomizedDesign with Single Factor)完全随机设计是将所有试验单元完全随机地分配到各个处理中，使得每个试验单元都有相同的机会接受某个处理，而不受试验人员主观倾向的影响其实质是将供试材料随机分组 完全随机设计的主要优点 完全随机设计简单、容易，处理数与重复数都不受限制，适用于试验条件、环境、试验材料差异较小的试验；统计分析简单，无论所获得的试验资料各处理重复数相同与否，都可用t检验或方差分析法进行统计分析；试验误差自由度大于处理数和重复数相等的其他设计。完全随机设计的主要缺点 由
2、于完全随机设计未应用试验设计三原则中的局部控制原则，非试验因素的影响被归入试验误差，试验误差较大，试验的精确性较低；在试验条件、环境、试验材料差异较大时，不宜采用此种设计方法【例3-2-1】设有五种治疗荨麻疹的药，要比较它们的疗效为此，将30个病人随机分成5组，每组6人，令同组的病人使用一种药，并记录下病人从用药开始到痊愈所需天数（表3-2-1）试检验五种药物的疗效有无显著差异单因素系统分组设计试验的方差分析单因素系统分组设计试验的方差分析是把试验空间逐级向低次级方向划分的试验设计方法，亦称为巢式设计对于单因素试验来讲，试验因素A的参试处理为共a个，先把试验空间分为a个组，每组随机安排一个处理
3、，再把组分为m个亚组，在每个亚组中设置r个试验单元，供随机重复之用，这样的设计称为单因素二级系统分组设计 次级样本不等的试验分析起来很麻烦且精度不高，因而是不提倡的 21两因素方差分析：试验指标同时受两个因素作用，两因素方差分析：试验指标同时受两个因素作用，分为分为交叉分组资料和系统分组资料交叉分组资料和系统分组资料两类。两类。两因素完全随机试验的两因素完全随机试验的方差分析方差分析无重复观察值的交叉分组资料无重复观察值的交叉分组资料 A因素：因素：Ai，i=1、2a B因素：因素：Bj，j=1、2b 因素因素A的每个水平与因素的每个水平与因素B的每个水平都彼此交叉，产生的每个水平都彼此交叉，
4、产生组合；在每个水平组合只有一个观测值（无重复），共有组合；在每个水平组合只有一个观测值（无重复），共有ab个观测值。个观测值。22无重复观察值资料模式：无重复观察值资料模式：A A B B1 1 B B2 2 B Bb bA A的总和的总和 A A的平均的平均A A1 1A A2 2A Aa a x x1111 x x1212 x x1b1b x x2121 x x2222 x x2b2b x xa1a1 x xa2a2 x xabab X X1 1.X X2 2.X Xa a.B B的总和的总和 x.x.1 1 x.x.2 2 x.x.b b x.x.B B的平均的平均 各个字母的含义各个
5、字母的含义23资料模式：资料模式：24平方和与自由度的剖分：平方和与自由度的剖分：（1）先将离均差平方和改写为：）先将离均差平方和改写为：（2）再将两边求和：）再将两边求和：025总平方和总平方和A因素平方和因素平方和误差平方和误差平方和B因素平方和因素平方和将总将总平方和剖分为三部分平方和剖分为三部分：26A A因素平方和因素平方和:A A 因素各水平的平均数因素各水平的平均数与总平均数的离差平方和。反映了与总平均数的离差平方和。反映了A A因因素各水平的效应的差异。素各水平的效应的差异。误差平方和误差平方和:剔除了剔除了A因素和因素和B因素的影响后的影响因素。因素的影响后的影响因素。B B
6、因素平方和因素平方和:B B 因素各水平的平均数因素各水平的平均数与总平均数的离差平方和。反映了与总平均数的离差平方和。反映了B B因因素各水平的效应的差异。素各水平的效应的差异。27 总平方和总平方和 =A=A因素平方和因素平方和+B+B因素平方和因素平方和+误差平方和误差平方和 28平方和的计算公式平方和的计算公式:2.总平方和总平方和3.A因素平方和因素平方和1.矫正项矫正项295.误差平方和误差平方和4.B因素平方和因素平方和30自由度的剖分自由度的剖分31观察值观察值平方和平方和自由度自由度均方均方F值值统计推断统计推断方差分析的过程方差分析的过程无效假设无效假设临界临界F值值&多重
7、比较多重比较32【例6.5】为研究雌激素对子宫发育的影响，现有4窝不同品系未成年的大白鼠，每窝3只，随机分别注射不同剂量的雌激素，然后在相同条件下试验，并称得它们的子宫重量，见表6-21，试作方差分析。表6-21 各品系大白鼠不同剂量雌激素的子宫重量(g)1、计算各项平方和与自由度2、列出方差分析表，进行F检验表6-22 表6-21资料的方差分析表 根据df1=dfA=3，df2=dfe=6查临界F值，F0.01(3,6)=9.78；根据df1=dfB=2，df2=dfe=6查临界F值，F0.01(2,6)=10.92。A因素的F值23.77F0.01(3,6)，P0.01，差异极显著；B因素
8、的F值33.54F0.01(2,6)，P0.01，差异极显著。说明不同品系和不同雌激素剂量对大白鼠子宫的发育均有极显著影响，有必要进一步对A、B两因素不同水平的平均测定结果进行多重比较。373、多重比较（1）不同品系的子宫平均重量比较 各品系平均数多重比较表见表6-23。表6-23 各品系子宫平均重量多重比较（q法）表6-24 q值及LSR值(2)不同激素剂量的子宫平均重量比较 B因素各剂量水平平均数比较表见表6-25。表6-26 q值与LSR值两因素完全随机有重复资料的方差分析两因素完全随机有重复资料的方差分析40资料模式：资料模式：B B的平均的平均x.x.x.x.1 1.x.x.b b.
9、B B的总和的总和X X1 1.X Xa a.A A1 1A Aa aA A的平均的平均A A的总和的总和 B B1 1 B Bb bA Ax x111111,x,x112112x x11n11n x x1111.x x1b11b1,x,x1b21b2x x1bn1bn x x1b1b.x xa11a11,x,xa12a12x xa1na1n x xa1a1.x xab1ab1,x,xab2ab2x xabnabn x xabab.在因素在因素A和因素和因素B的每个水平组合中的每个水平组合中都有都有n个观测值。个观测值。在进行双向分类资料的方差分析时，除了要注意在进行双向分类资料的方差分析时，
10、除了要注意分析每个处理因素的作用以外，还要注意分析它分析每个处理因素的作用以外，还要注意分析它们之间的们之间的交互作用交互作用。有重复和无重复资料方差分析的主要区别：有重复和无重复资料方差分析的主要区别：利用有重复发资料可以分析两因素各水平之间的利用有重复发资料可以分析两因素各水平之间的交互作用。交互作用。交互作用交互作用定义：简称互作，指两个或两个以上因素之间相定义：简称互作，指两个或两个以上因素之间相 互作用效应的简称，也称交互作用。互作用效应的简称，也称交互作用。互作产生的原因：互作产生的原因：每个因素并不是独立地对观测值起作用，两每个因素并不是独立地对观测值起作用，两因素不同水平的组合
11、也会起作用，从而使得一个因素不同水平的组合也会起作用，从而使得一个因素的某个水平在另一个因素的不同水平中有不因素的某个水平在另一个因素的不同水平中有不同的效应；同的效应；或者说，一个因素不同水平的效应的相对大或者说，一个因素不同水平的效应的相对大小并不是恒定的小并不是恒定的 ，而是随着另一因素的不同水，而是随着另一因素的不同水平而变化，有时会得到增强，有时会减弱，甚至平而变化，有时会得到增强，有时会减弱，甚至出现相反的情况。出现相反的情况。43例如：某一实验，例如：某一实验，A因素有因素有a0、a1两种处理，两种处理，B因因素有素有b0、b1两种处理。两种处理。因素因素B因素因素AA0 A1A
12、2-A1平均平均B1B2 470 472 480 512232471 496B2-B1 10 4025平均平均475 4921744A A2 2-A-A1 1：称为：称为A A2 2与与A A1 1比较的简单效应。比较的简单效应。B B2 2-B-B1 1：称为：称为B B2 2与与B B1 1比较的简单效应。比较的简单效应。2 2、主效应：由于因素水平的改变而引起的平均数、主效应：由于因素水平的改变而引起的平均数的改变量称为主效应的改变量称为主效应 。1、简单效应(simple effect)(simple effect)在某因素同一水平上，另一因素不同水平对试验指标的影响称为简单效应。A因
13、素的主效应=492-475=17B因素的主效应=496-471=25453 3、交互作用、交互作用 A A在在B B1 1水平上的效应水平上的效应=472-470=2=472-470=2A A在在B B2 2水平上的效应水平上的效应=512-480=32=512-480=32B B在在A A1 1水平上的效应水平上的效应=480-470=10=480-470=10B B在在A A2 2水平上的效应水平上的效应=512-472=40=512-472=40正互作：互作结果为正值正互作：互作结果为正值负互作：互作结果为负值负互作：互作结果为负值零互作：互作结果为零互作：互作结果为0 0互作效应实际指
14、的就是由于两个或两个以上试验因素的相互作效应实际指的就是由于两个或两个以上试验因素的相互作用而产生的效应。互作用而产生的效应。在无互作的情况下，着重分析的是每个因素的主效在无互作的情况下，着重分析的是每个因素的主效应。应。在有互作存在的情况下，既要分析因素的主效在有互作存在的情况下，既要分析因素的主效应，又要分析因素之间的互作效应。应，又要分析因素之间的互作效应。460AB日日增增重重品种甲品种甲品种乙品种乙饲料饲料无互作无互作0AB日日增增重重品种甲品种甲品种乙品种乙饲料饲料有互作有互作47 数学数学模型模型48 平方和与自由度的剖分：平方和与自由度的剖分：（1）先将离均差平方和剖分为：）先
15、将离均差平方和剖分为：（2）再将两边求和：）再将两边求和：0SST:总平方总平方和和SSE：误差平方和：误差平方和SStSSSSt t：处理平方和，反映了：处理平方和，反映了A A因素和因素和B B因素以及它们因素以及它们之间的互作对观测值的总的影响。之间的互作对观测值的总的影响。49（3）将处理平方和做进一步剖分：）将处理平方和做进一步剖分：0（4）两边求和：）两边求和：SSASSABSSBSSt50 总平方和总平方和 =A=A因素平方和因素平方和+B+B因素平方和因素平方和 +互作平方和互作平方和+误差平方和误差平方和 51平方和的计算公式平方和的计算公式2.总平方和总平方和3.A因素平方
16、和因素平方和1.矫正项矫正项524.B因素平方和因素平方和5.处理平方和处理平方和536.互作平方和互作平方和7.误差平方和误差平方和54例例6.66.6】为了研究饲料中钙磷含量对幼猪生长发育的影响，将钙(A)、磷(B)在饲料中的含量各分4个水平进行交叉分组试验。先用品种、性别、日龄相同，初始体重基本一致的幼猪48头，随机分成16组，每组3头，用能量、蛋白质含量相同的饲料在不同钙磷用量搭配下各喂一组猪，经两月试验，幼猪增重结果(kg)列于表6-29，试分析钙磷对幼猪生长发育的影响。55表6-29 不同钙磷用量(%)的试验猪增重结果(kg)561、计算各项平方和与自由度5758表6-30 不同钙
17、磷用量方差分析表2、列出方差分析表，进行F检验 查临界F值：F0.05(3,32)=2.90，F0.01(3,32)=4.47，F0.01(9,32)=3.02。因为，FAF0.05(3,32)；FBF0.01(3,32)；FABF0.01(9,32)，表明钙、磷及其互作对幼猪的生长发育均有显著或极显著影响。因此，应进一步进行钙各水平平均数间、磷各水平平均数间、钙与磷水平组合平均数间的多重比较和进行简单效应的检验。593、多重比较(1)钙含量(A)各水平平均数间的比较 不同钙含量平均数多重比较表见表6-31。表6-31 不同钙含量平均数比较表(q法)表6-32 q值与LSR值表60表6-33
18、不同磷含量平均数比较表(q法)(2)磷含量(B)各水平平均数间的比较 不同磷含量平均数多重比较表见表6-33。表6-32 q值与LSR值表61(3)各水平组合平均数间的比较 因为水平组合数通常较大(本例ab=44=16)，采用最小显著极差法进行各水平组合平均数的比较，计算较麻烦。为了简便起见，常采用T检验法。所谓T检验法，实际上就是以q检测法中秩次距k最大时的LSR值作为检验尺度检验各水平组合平均数间的差异显著性。此例 6263(4)简单效应的检验 简单效应实际上是特定水平组合平均数间的差数。检验尺度仍为(3)中的LSR0.05=6.51,LSR0.01=7.65。64A1水平(1.0)A2水
19、平(0.8)65A4水平(0.4)A3水平(0.6)66B因素各水平上A因素各水平平均数间的比较B2水平(0.6)B1水平(0.8)67B4水平(0.2)B3水平(0.4)33随机区组试验的方差分析随机区组试验的方差分析 Randomized Complete Block Design 随机区组设计也称为随机单位组设计，它是以划分区组的方法使区组内部条件尽可能一致，以达到局部控制的目的 随机区组设计是针对完全随机设计的缺点提出的它在完全随机设计的基础上增加了局部控制原则，从而将环境均匀性的控制范围从整个试验缩小到一个个区组，区组间的差异可以通过方差分析使其与误差分离所以，区组设计既能保持完全随
20、机设计的优点，又能克服完全随机设计的缺点减少试验误差随机区组设计的主要优点：设计与分析方法简单易行；体现了试验设计三原则，在对试验结果进行分析时，能将区组间的变异从试验误差中分离出来，有效地降低了试验误差，因而试验的精确性较高；把条件一致的试验单元分在同一区组，再将同一区组的试验单元随机分配到不同处理组内，加大了处理组之间的可比性随机区组设计的主要缺点当处理数目过多时，各区组内的试验单元数目同样也过多，要使各区组内试验材料的初始条件一致会有一定难度，因而在随机区组设计中，处理数以不超过20为宜；仅实行单方面局部控制，精确度不如拉丁方设计表3-3-1 单因素完全随机区组试验资料符号表【例3-3-
21、1】用四种饲料分别饲养四群雏鸡，每群100只，测定其增重试验分别在四个鸡场进行试分析四种饲料效应的差异显著性试验结果如表3-3-2所示。在畜牧试验里，常把畜牧场、试验日期（分期作试验）和试验家畜（同窝者、分娩日期近似者、泌乳能力相同者等）作为区组可加性模型或线性统计模型为：要求随机误差具有独立性、正态性和方差同质性因而要求所有的 间是相互独立的，且均服从 表3-3-5 单因素完全随机区组试验的方差分析模式可加性模型或线性统计模型为：要求随机误差具有独立性、正态性和方差同质性因而要求所有的 间是相互独立的，且均服从 表3-3-5 单因素完全随机区组试验的方差分析模式二因素随机区组试验的方差分析 二因素随机区组试验的方差分析模式