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1、向 量考试内容考试内容 向量的概念向量的概念 向量的线性组合与线性表示向量的线性组合与线性表示 向量组的线性相关性向量组的线性相关性 向量组的极大无关组向量组的极大无关组 等价向量组等价向量组 向量组的秩向量组的秩 向量组的秩与矩阵的秩的关系向量组的秩与矩阵的秩的关系 向量空间及其相关概念向量空间及其相关概念 n维向量空间的基变换和坐标变换维向量空间的基变换和坐标变换 过渡矩阵过渡矩阵 向量的内积向量的内积 线性无关向量组的正交规范化方法线性无关向量组的正交规范化方法 规范正交基规范正交基 正交矩阵及其性质正交矩阵及其性质考试要求考试要求1 1.理解理解n n维向量、向量的线性组合与线性表示的
2、概念维向量、向量的线性组合与线性表示的概念.2.2.理解向量组线性相关性的概念，理解向量组线性相关性的概念，掌握向量组线性相关性掌握向量组线性相关性的有关性质及判别法的有关性质及判别法.3.3.理解向量组的极大无关组和向量组秩的概念，理解向量组的极大无关组和向量组秩的概念，会求向量会求向量组的极大无关组及秩组的极大无关组及秩.4.4.理解向量组等价的概念，理解矩阵的秩与其行（列）向理解向量组等价的概念，理解矩阵的秩与其行（列）向量组秩之间的关系量组秩之间的关系.5.5.了解了解n n维向量空间、子空间、基底、维数、坐标等概念维向量空间、子空间、基底、维数、坐标等概念.6.6.了解基变换和坐标变
3、换公式，了解基变换和坐标变换公式，会求过渡矩阵会求过渡矩阵.7.7.了解内积的概念，了解内积的概念，掌握线性无关向量组的正交规范化方掌握线性无关向量组的正交规范化方法的施密特方法法的施密特方法.8.8.了解规范正交基、正交矩阵的概念以及它们的性质了解规范正交基、正交矩阵的概念以及它们的性质.n维维向向量量 线性运算线性运算向向 量量 组组线性相关性线性相关性 判判 定定极大无关组极大无关组 求求 法法向量组的等价向量组的等价向量空间向量空间基基、维数维数、坐标坐标 过渡矩阵过渡矩阵基变换公式基变换公式坐标变换公式坐标变换公式欧氏空间欧氏空间基基向量组的秩向量组的秩正交阵正交阵正交基正交基规范正
4、交基规范正交基SchimidtSchimidt正交化方法正交化方法单位化单位化内内 积积 关于线性相关性的有关关于线性相关性的有关(1)单个零向量线性相关单个零向量线性相关;单个非零向量单个非零向量 线性无关线性无关.(2)含有零向量的向量组线性相关含有零向量的向量组线性相关.(3)含有成比例向量的向量组线性相关含有成比例向量的向量组线性相关.(4)增加增加向量的个数不改变向量的个数不改变相关性相关性.(5)减少减少向量的个数不改变无向量的个数不改变无关性关性.(6)增加增加向量的维数不改变向量的维数不改变无关性无关性.(7)减少减少向量的维数不改变相向量的维数不改变相关性关性.(8)若向量组
5、含向量的个数若向量组含向量的个数m大于向量的大于向量的 维数维数n,则向量组一定线性相关则向量组一定线性相关.结论结论(9)向量组向量组 1,2,m线性相关线性相关 x1 1+x2 2+xm m=0有非零解有非零解.(10)向量组向量组 1,2,m的线性无关的线性无关 x1 1+x2 2+xm m=0只有零解只有零解.(11)1,2,m(m 2)线性相关线性相关至至少有少有 一个向量可由其余的向量线性表出一个向量可由其余的向量线性表出.(12)如果如果 1,2,m线性无关线性无关,而而 1,2,m,线性相关线性相关,则则 可以由可以由 1,2,m 线性表示线性表示,且表且表法唯一法唯一.(13
6、)如果如果 1,2,m线性无关线性无关,而而 不不能由能由 1,2,m线性表示线性表示,则则 1,2,m,线性无关线性无关.(14)（矩阵判别法）设矩阵判别法）设 则则 1,2,m线性无关线性无关 r(A)=m.1,2,m线性相关线性相关 r(A)m.(15)设有设有n个个n维向量维向量 1,2,n,如如果令果令 A=(1,2,n),则该向量组则该向量组 线性无关线性无关|A|0;线性相关线性相关|A|=0.(16)向量组向量组 1,2,m线性无关线性无关,存在存在m r矩阵矩阵K使得使得(1,2,r)=(1,2,m)Kl 1,2,r 线性无关线性无关r(K)=r.l 1,2,r 线性相关线性
7、相关r(K)r.(17)1,2,r线性无关线性无关,且可由且可由 1,2,s 线性表示线性表示,则则r s.(18)设设AB=0,A列满秩列满秩则则B=0;B是行满秩是行满秩A=0.矩阵等价与向量组等价之间的关系矩阵等价与向量组等价之间的关系(I)(II)A与与B等价等价 R(A)=R(B)且且 A与与B同形同形(I)与与(II)等价等价 R(I)=R(II)一组能被另一组线表一组能被另一组线表A与与B等价等价 (I)与与(II)等价等价 A与与B同形同形 可逆阵可逆阵Q,AQ=B其中其中A与与B等价等价 可逆阵可逆阵P,Q,使使PAQ=B.(I)与与(II)等价等价:K,L,使使或有包含关系
8、或有包含关系 例例 1 3 维向量的全体维向量的全体 R 3，就是一个向量空间，就是一个向量空间，n 维向量全体维向量全体 R n，也是一个向量空间。也是一个向量空间。（由定义（由定义1易验证）。易验证）。定义定义1 1 关于关于向量空间向量空间的有关概念的有关概念一、向量空间的概念一、向量空间的概念是两个已知的向量，集合是两个已知的向量，集合是一个向量空间。是一个向量空间。因为若因为若例例例例2 2 2 2这个空间称为由这个空间称为由生成的向量空间。生成的向量空间。所所生成生成的向量的向量试试证证 V1=V2。例例3 3一般地，由向量组一般地，由向量组空间为空间为 如果向量空间如果向量空间V
9、 没有基，那么称没有基，那么称V 的的维数为维数为0 0。0 0维维向量空间只有一个零向量向量空间只有一个零向量 0 0。定义定义2 2 设设V为向量空间，如果为向量空间，如果 r 个向量组成的个向量组成的向量组向量组A:个个基基，r 称为向量空间称为向量空间 V 的的维数维数，并称，并称 V 为为 r 维维向量空间。向量空间。就称为向量空间就称为向量空间V 的一的一二、向量空间的基、维数；坐标二、向量空间的基、维数；坐标 例如，任何例如，任何 n 个个线性无关线性无关的的 n 维向量都可以作维向量都可以作为向量空间为向量空间 Rn 的一个基。的一个基。Rn 的的维数维数是是n 。又如向量空间
10、又如向量空间的的一个基可取为：一个基可取为：由此可知它是由此可知它是 n1 维向量空间。维向量空间。若把向量空间看着向量组，若把向量空间看着向量组，V 的的基基就是向量组就是向量组的一个的一个最大无关组最大无关组。V 的的维数维数就是向量组的就是向量组的秩秩。所所生成生成的向量空间的向量空间若若向量空间向量空间则则V 的维数不会超过的维数不会超过 n。当当V 的维数等于的维数等于 n 时，时，例例例例4 4设设解解的的一个基，只要证一个基，只要证即只要证即只要证AE。施行初等施行初等行行变换，变换，的的一个基。且当一个基。且当A 变为变为E 时，时，B 变为变为若若A 能变能变的一个基。且的一
11、个基。且坐坐标标例例例例5 5在在线性空间线性空间 R 4 中，求向量中，求向量在在如下两组基下的坐标：如下两组基下的坐标：解解 同一元素在不同的基下的坐标是不同的，那么，同一元素在不同的基下的坐标是不同的，那么，不同的基与不同的坐标之间有怎样的关系呢？不同的基与不同的坐标之间有怎样的关系呢？三、过渡矩阵与基变换公式三、过渡矩阵与基变换公式坐标变换公式坐标变换公式证证 因因 这个定理的逆命题也成立。即若任一元素的两这个定理的逆命题也成立。即若任一元素的两种坐标满足坐标变换公式种坐标满足坐标变换公式(3)，则两个基满足基变换，则两个基满足基变换公式公式(2)。例例例例6 6解解历年试题选讲历年试
12、题选讲例例7（10，4分）设分）设若由若由生成的向量空间的维数为生成的向量空间的维数为2 2，则，则例例8 8（0909，4 4分）设分）设是是3 3维向量空间维向量空间的一组基，的一组基，则由基则由基到基到基的过渡矩阵为的过渡矩阵为例例9 9（0707，4 4分）设向量组分）设向量组线性无关，则下列向量组线性无关，则下列向量组线性相关的是（线性相关的是（）例例1010（0808，1010分）设分）设均为均为3 3为列向量，矩阵为列向量，矩阵,其中其中分别是分别是的转置的转置.证明：证明：（）秩）秩（）若）若线性相关时，则秩线性相关时，则秩一、向量组线性关系的判定一、向量组线性关系的判定二、求
13、向量组的秩二、求向量组的秩三、向量空间的判定三、向量空间的判定四、施密特正交化四、施密特正交化五、正交矩阵的判定五、正交矩阵的判定典型例题典型例题研研究究这这类类问问题题一一般般有有两两个个方方法法方方法法1 1从从定定义义出出发发整整理理得得线线性性方方程程组组一、向量组线性关系的判定一、向量组线性关系的判定方方法法利利用用矩矩阵阵的的秩秩与与向向量量组组的的秩秩之之间间关关系系判判定定例例11研研究究下下列列向向量量组组的的线线性性相相关关性性解解一一整整理理得得到到解解二二例例例例12121212设有设有n 维列向量维列向量A是是m n矩阵矩阵,下列选项正确的是下列选项正确的是()线性无
14、关线性无关,线性相关线性相关,线性相关线性相关,线性无关线性无关,若若若若若若若若则则则则则则则则线性相关线性相关;线性相关线性相关;线性无关线性无关;线性无关线性无关.A例例例例13131313 设向量组设向量组 3线性无关线性无关,向量向量 可可由由 3线性表示线性表示 而而 不能由不能由 3线线性表示性表示,则对则对任意的常数任意的常数k 必有（必有（）.线性无关线性无关.线性无关线性无关.线性相关线性相关.线性相关线性相关.解解令令线性相关线性相关.得得线性无关线性无关.都都错错.令令对对得得线性相关线性相关,可由可由线性表示线性表示.错错.例例例例14141414讨论向量组讨论向量组
15、的线性相关性的线性相关性.其中其中解解时线性相关时线性相关.当当或或当当且且时线性无关时线性无关.例例例例15151515设向量组设向量组该向量组的秩该向量组的秩=3.是一个极大无关组是一个极大无关组.例例例例16161616设设 A为为n阶方阵阶方阵,若存在正整数若存在正整数 k,使使且且其中其中证明证明线性无关线性无关.证证设有设有用用 乘以上式两边乘以上式两边,推出推出类似可证类似可证故故线性无关线性无关.例例例例17171717n 维列向量组维列向量组 1,2,n 线性无线性无关关 证证设设 A=(1,2,n)故故 1,2,n线性线性无关无关求求一一个个向向量量组组的的秩秩，可可以以把
16、把它它转转化化为为矩矩阵阵的的秩秩来来求求，这这个个矩矩阵阵是是由由这这组组向向量量为为行行（列列）向向量量所所排排成成的的如如果果向向量量组组的的向向量量以以列列（行行）向向量量的的形形式式给给出出，把把向向量量作作为为矩矩阵阵的的列列（行行），对对矩矩阵阵作作初初等等行行（列列）变变换换，这这样样，不不仅仅可可以以求求出出向向量量组组的的秩秩，而而 且且 可可 以以 求求 出出 最最 大大 线线 性性 无无 关关 组组 二、求向量组的秩二、求向量组的秩若若矩矩阵阵 经经过过初初等等行行（列列）变变换换化化为为矩矩阵阵 ，则则 和和 中中任任何何对对应应的的列列（行行）向向量量组组都都有有相
17、相同同的的线线性性相相关关性性解解判判断断向向量量的的集集合合是是否否构构成成向向量量空空间间，需需看看集集合合是是否否对对于于加加法法和和数数乘乘两两种种运运算算封封闭闭若若封封闭闭，则则构构成成 向向 量量 空空 间间；否否 则则，不不 构构 成成 向向 量量 空空 间间 解解三、向量空间的判定三、向量空间的判定例例例例20202020设设是是Rn的的一个基一个基,Rn,若若则则证证是是Rn的一个基的一个基,对对 Rn,而而 是实向量是实向量,例例例例21212121构成一个基构成一个基,并求并求在这个在这个基下的坐标基下的坐标.解解 若若证明证明在所有在所有2阶实矩阵构成的线性空间阶实矩
18、阵构成的线性空间 中中,故故B在这组基下的坐标是在这组基下的坐标是4个个2阶方阵线性无关阶方阵线性无关,是是基基例例例例22222222求由基到基的过渡矩阵求由基到基的过渡矩阵.已知已知 的两个基为的两个基为）（解解例例例例23232323求求由由 的基的基 1,2,3 到基到基 2,1,1+2+3的的过渡矩阵过渡矩阵,并并求求 =1+2 2+3 3 在后一组基下在后一组基下的的的的坐标坐标.解解例例例例24242424设设实方阵实方阵 A满足满足且且试试证证 为正交阵为正交阵.证证为正交阵为正交阵.所谓正交向量组，是指一组两两正交的非零所谓正交向量组，是指一组两两正交的非零向量向量空间的基若
19、是正交向量组，就称为正向量向量空间的基若是正交向量组，就称为正交基交基定理定理定义定义四正交向量组的性质四正交向量组的性质施密特正交化方法施密特正交化方法第一步正交化第一步正交化第二步单位化第二步单位化解解一一先正交化，再单位化先正交化，再单位化解二解二同时进行正交化与单位化同时进行正交化与单位化定义定义五正交矩阵与正交变换五正交矩阵与正交变换方阵为正交矩阵的充分必要条件是的行方阵为正交矩阵的充分必要条件是的行（列）向量都是单位向量，且两两正交（列）向量都是单位向量，且两两正交定义定义若为正交矩阵，则线性变换称为若为正交矩阵，则线性变换称为正交变换正交变换正交变换的特性在于保持线段的长度不变正交变换的特性在于保持线段的长度不变证明所给矩阵为正交矩阵证明所给矩阵为正交矩阵证明证明第四章测试题一、填空题一、填空题(每小题每小题5 5分，共分，共4040分分)二、计算题二、计算题(每小题每小题8 8分，共分，共2424分分)三、证明题三、证明题(每小题每小题8 8分，共分，共2424分分)四、向量组四、向量组 线性无关线性无关,问常数问常数 满足满足什么条件时什么条件时,向量组向量组线性无关线性无关(12(12分分)测试题答案