第三讲 向量组.pdf

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1、第三讲第三讲 向量组向量组-向量作为工具可以描述空间中的点、 矩阵中的行或列、线性方程组中的方程等等。 研究向量的线性运算加法与数乘、向量组线性相关性、 向量组的秩矩阵秩与最大无关组、等价向量组等概念可以解决线性方程组的理论。向量组是线性代数的重难点之一，概念多，内容抽象，推理逻辑性强，描述要求准确，与矩阵、方程组相互交织，可以相互转换。例如，向量组秩、最大无关组是线性方程组解的判定、结构定理的理论基础；向量组的秩和相应矩阵秩一致， 是向量组与矩阵结合点，反映了向量组和矩阵的本质。向量组主要分三大部分：线性表示与线性相关性： 向量的线性组合和线性表示； 向量组的线性表示与等价向量组；向量组的线

2、性相关性；向量组的秩： 向量组的最大无关组与秩的概念、 性质及求法， 向量组秩与矩阵秩关系；秩与线性相关性的关系；向量空间：向量空间及其基、维数；向量在基下的坐标；两基间的过渡矩阵；基的规范正交化：正交阵及其性质。教材:第四,第五章第 1 节。-一、主要内容1 1、向量及其线性运算、向量及其线性运算-概念-（1）n 个数组成的有序数组称为 n 维向量向量；写成一行的称为行向量行向量，写成一列的称为列向量列向量；若干个同维行（列）向量的集合称为向量组向量组；（2）设有向量a (a1,a2,an),b (b1,b2,bn),实数kR，则下列运算,anbn)，ka (ka1,ka2,称为向量的线性运

3、算线性运算；,kan)，ab (a1b1,a2b2,（3）设有向量组a1,a2,an和向量b，若存在常数k1,k2,kn，使得有b k1a1k2a2示示；knan， 则称向量向量b是向量组是向量组a1,a2,an的线性组合的线性组合向量向量b可以由向量组可以由向量组a1,a2,an的线性表的线性表 （4）设有两个同维向量组A:a1,a2,an，B:b1,b2,bm，若A中每个向量均可由向量组B线性表示，则称为向量组向量组A可由向量组可由向量组B线性表线性表示；示；若向量组A与向量组B可相互线性表示，则称向量组向量组A与向量组与向量组B为等价向量组。为等价向量组。注意注意: :等价矩阵等价矩阵

4、初等变换初等变换,等价向量组等价向量组 线性表示线性表示,等价方程组等价方程组 同解同解.-转化-1（1）向量组与矩阵：mn 矩阵A与其行（列）向量组一一对应：12A(a1,a2,m,an)。（2）线性表示与线性方程组： 列向量b可由矩阵A的列向量组a1,a2,an线性表示x1x2,an) Axxnb x a x a 1 122xnan(a1,a2,Ax b有解 r(A) r(A|b)。注意：行向量一般转化为列向量来处理，即所谓的“列摆行变换” 。（3）矩阵Amn (a1,a2,an)的列向量组可由矩阵Bms (b1,b2,bs)的列向量组线性表示存在数字矩阵Xsn，使有A BX；112的行向

5、量组可由矩阵的行向量组线性表示存在数字矩B2snms矩阵Amn阵Xms，使有A XB。以书写二阶为例，规律记为“左行右列” 。-2 2、向量组的线性相关性、最大无关组、秩、向量组的线性相关性、最大无关组、秩-概念-（1）设有向量组a1,a2,an，如果存在一组不全为零的数x1,x2, xn，使x1a1x2a2 xnan0，则称a1,a2,an线性相关线性相关；否则，称之为线性无关线性无关；（2）如果在向量组A中能选出r个向量a1,a2,（）a1,a2,ar满足：,ar线性无关；（）A中任意r 1个向量（如果有的话）均线性相关 A中任意向量均可由a1,a2,ar线性表示， 则称a1,a2,ar为

6、向量组A的一个最大无关组最大无关组；A的最大无2关组所含向量的个数称为向量组A 的秩秩，记为r(A)。-转化-（1）设Amn(a1,a2,an),x (x1,x2,xn)T，则 列 向 量a1,a2,an线 性 相 关 无 关 Ax 0有 非 零 解 只 有 零解 r(A)nr(A)n；注意：向量组线性相关性、线性齐次方程组、矩阵秩的转换。由此可知：当向量个数大于向量维数时， 向量组必线性相关。当未知量个数大于方程个数时，线性齐次方程必有非零解。-4 4、线性无关向量组的正交化、线性无关向量组的正交化-概念-（1）设有 n 维列向量x x , x ,12Tn, xn,y y1,y2,TT,yn

7、，则称数(x, y) x y xiyi为向量x与y的内积内积。内积具有下列性质性质：i1、对称性：(x, y) (y,x)；、线性性：(axby,z)a(x,z)b(y,z)；、非负性：(x,x)0,(x,x)0 x 0。（2）对 n 维列向量x x1, x2, xnT，称非负数|x| xTx xi2为向i1n量x的模模。模为 1 的向量称为单位向量；模为0 的向量称为零向量。对非零向量x，单位化得单位向量x01x。|x|（3）a与b正交正交 (a,b) 0；两两正交的非零向量组称为正交向量组正交向量组，即a mii1为正交向量组0,(ai,aj)0,i j;i j.注意：正交向量组是线性无关

8、向量组，反之不然。两两正交的单位向量组称为标准正交向量组标准正交向量组，即0,maii1为规范正交向量组(ai,aj)1,i j;i j.3以正交向量组作为空间的基称为正交基正交基； 以规范正交向量组作为空间的基称为标准正标准正交基交基。注意：向量b由基a1,a2,ar线性表示为：b xiai；i1r由正交基a1,a2,ar线性表示为：b (ai,b)ai；i1(ai,ai)ri1r由标准正交基a1,a2,ar线性表示为：b (ai,b)ai。可见，向量在标准正交基下的坐标不需要解方程组，只需计算内积就可求得。（4） 方阵A为正交阵正交阵nAAT ATA E A1 AT A的行列向量组均以正交

9、阵为线性变换Aij(i, j 1,2,n)。为 n 维向量空间R的标准正交基aij矩阵的线性变换称为正交变换正交变换。正交阵具有下列性质性质：、A为正交阵A1,AT,A*均为正交阵ATA*；、A 为正交阵|A|=1；、正交阵的积为正交阵。-方法方法-施密特正交化设a1,a2,ar为线性无关向量组基，则可采用下列方法进行规范正交化：、正交化：取b1a1；b2a2(b1,a2)b1；(b1,b1)(b1,a3)(b2,a3)b3a3b1b2；(b1,b1)(b2,b2)；brarr(b1,ar)(b ,a )b12rb2(b1,b1)(b2,b2)rr(br1,ar)br1，(br1,br1)则b

10、ii1为两两正交向量组正交基，且bii1与aii1等价；、单位化：取eibi(i1,2,r)，则eiir1为规范正交向量组规范正交|bi|4rr基，且eii1与aii1等价。-二、常考知识点常考知识点1、线性表示、线性非齐次方程组、矩阵秩的转换线性表示、线性非齐次方程组、矩阵秩的转换大题常考知识点列向量b可由矩阵A的列向量组a1,a2,有（唯一/无穷多）解r(A)r(A|b),an（唯一/不唯一） 线性表示Ax b(n/ n)；列向量b不可由矩阵A的列向量组a1,a2,an线性表示Ax b无解r(A)r(A|b)。由此,可得判定两矩阵列(行)向量组线性表示:A的列向量组可由B的列向量组线性表示

11、 BX A有解 r(B)r(B| A)； BX A无 解A的 列 向 量 组 不 可 由B的 列 向 量 组 线 性 表 示 r( B)r( B|；A)A与B的列向量组等价 BX A,AX B均有解 r( A)r( A| B)。rB注意：行向量一般转化为列向量来处理，即所谓的“列摆行变换” 。2、向量组线性相关性、线性齐次方程组、矩阵秩的转换设Amn列 向 量(a1,a2,an),x (x1,x2,xn)T，则a1,a2,an线 性 相 关 无 关 Ax 0有 非 零 解 只 有 零解 r(A)nr(A)n A列满秩非列满秩。由此可知：当向量个数大于向量维数时， 向量组必线性相关。当未知量个数

12、大于方程个数时，线性齐次方程必有非零解。内涵丰富：向量组线性无关（相关） =线性齐次方程组只有零解（有非零解） =系数矩阵列满秩（不是列满秩） 。例如，若AB O,B O，则A的列向量线性相关。 3、判定向量组线性相关性的重要结论判定向量组线性相关性的重要结论a1,a2,am(m2)线性相关a1,a2,am中“至少有一个”可由其余向量am(m2)线性无关a1,a2,am中“任意一个均不能”由其am,b线性相关b可由a1,a2,5线性表示；a1,a2,余向量线性表示；a1,a2,am线性无关，a1,a2,am唯一线性表示 Ax b有唯一解；部分相关全体相关，反之不然；等价说法：全体无关部分无关，

13、反之不然；向量组无关“加长”向量组无关，反之不然；等价说法：向量组相关“缩短”向量组相关，反之不然；n 个 n 维向量a1,a2,an线性无关|a1,a2,an|0；a1,a2,an线性相关|a1,a2,an|0；两个向量线性相关无关对应分量成比例不成比例；在三维空间中，a1,a2,a3线性相关a1,a2,a3共面a1,a2,a30； n+1 个 n 维向量必线性相关。4、向量组秩、矩阵秩的关系及重要结论向量组秩、矩阵秩的关系及重要结论：矩阵秩=行向量组的秩=列向量组秩=最高阶非零子式的阶数=行阶梯形中非零行向量的个数=等价标准形左上角单位阵的阶数；秩的重要公式1)2)3)0r(Amn)min

14、m,n,r(A)0 AO；r(Ams)r(Bsn)sr(AmsBsn)minr(A),r(B)；Amaxr(A),r(B)r(A|B),rr(A)r(B)；B4)AmnBnlOr(A)r(B)n。若向量组 A 可由向量组 B 线性表示，则r(A)r(B)。等价说法：线性无关向量组不能由个数比它少的向量组线性表示。初等行变换保持行向量组的等价性方程组同解，保持列向量组的线性相关性线性表示，最大无关组，秩。（4）矩阵行列向量组线性表示矩阵行列向量组线性表示：P.99矩阵Amn(a1,a2,an)的列向量组可由矩阵Bms(b1,b2,bs)的列向量组线性表示存在数字矩阵Xsn，使有A BX；矩阵Am

15、n112的行向量组可由矩阵B2的行向量组线性表示存在数字snms。XB。以书写二阶为例，规律记为“左行右列”矩阵Xms，使有A6特 别 的 ，C A B C的 列 向 量 组 可 由A的 列 向 量 组 线 性 表 示r( A) r( A| C)C的行向量组可由的B行向量组线性表示Bx0的解必为Cx 0的解 nr(B)nr(AB) r(AB)r(B)三、典型例题与方法三、典型例题与方法题型题型 1 1线性表示、线性相关性及其判定线性表示、线性相关性及其判定【例 1】填空题（5 小题）（1）已知b (1 ,2,t)T可由a1(2,1,1)T,a2 (1,2,7)T,a3 (1,1,4)T线性T,

16、T为R3的一个基，则向量,a2 (1,0,1) a3 (0,1,1)表示，则t 。T（2）已知a (1,1,0)1b (2,0,0)T在这个基下的坐标是。T（3）已知a (1 ,0,5,2) ,a12则t 。（4）已知 3 维向量空间R的两个基为3(3,2,3,4)T,a3(1,1,t,3)T线性相关，T（）a (1 ,1,1) ,a12T,b(1 ,2,1)（）b123(1 ,0,1)T,a3(1 ,0,1)T，(2,3,4)T,b3(3,4,3)T，则由基（）到基（）的过渡矩阵P 。矩阵列向量组的线性表示T,a（5） 设R中的向量在基a (1 ,2,1)12标为(x1,x2,x3)T(0,

17、1,1)T,a3(3,2,1)T下的坐 T，在基b1,b2,b3下的坐标为(y1, y2, y3)，且y1 x1x2x3,y2x1x2,y3 x12x3，则由b1,b2,b3到a1,a2,a3的过渡矩阵P 。-【例 2】选择题（8 小题）（1）设1,2是矩阵A的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为1,2，则。1,A(12)线性无关的充分必要条件是（）7（A）10（B）20（C）10（D）20-（2）n 维向量a ,a ,12,as(3sn)线性无关的充要条件是ksas0；（A）存在一组不全为零的数k1,k2,ks使k1a1k2a2（B）a ,a ,12（C）a ,a ,12（D）a ,a ,

18、12,as中任意两个向量都线性无关；,as中存在一个向量，它不能由其余向量线性表示；,as中任意一个向量都不能由其余向量线性表示。-（3）设线性方程组AX O只有零解，则下列正确的是（ ） 。（A）A 的行向量组线性无关； （B）A 的行向量组线性相关；（C）A 的列向量组线性无关； （D）A 的列向量组线性相关。-（4）已知a ,a ,a ,a线性无关，则命题正确的是（） 。1234（A）a a ,a a ,a a ,a a线性无关；12233441（B）a1a2,a2a3,a3a4,a4a1线性无关；（C）a1a2,a2a3,a3a4,a4a1线性无关；（D）a a ,a a ,a a ,

19、a a线性无关。12233441-定理设r(Amn)n，证明r(AB)r(B)。列行满秩阵左右乘矩阵，秩不变。（5）设有任意两个 n 维向量组a1,a2,的数1,2,am和b1,b2,bm，若存在两组不全为零,m和k1,k2,km，使有（*）则(mkm)bm0，(1k1)a1（A）a1,a2,（B）a1,a2,（C）a1b1,(mkm)am(1k1)b1am和b1,b2,bm均线性相关；am和b1,b2,bm均线性无关；,ambm,a1b1,ambm线性无关；8（D）a1b1,ambm,a1b1,ambm线性相关。（6）若向量组a,b,c线性无关，向量组a,b,d线性相关，则（A）a可由b,c

20、,d线性表示；（B）b不可由a,c,d线性表示；（C）d可由a,b,c线性表示；（D）d必不可由a,b,c线性表示。（7）设 n 维列向量组a ,a ,12,am(mn)线性无关，则 n 维列向量组b1,b2,bm线性无关的充要条件是（A）向量组a1,a2,（B）向量组b1,b2,（C）向量组a1,a2,am可由向量组b1,b2,bm线性表示；,bm可由向量组a1,a2,am线性表示；am与向量组b1,b2,bm等价；（D）矩阵A(a ,a ,12（8）设向量b可由a1,a2,记（II）a1,a2,am)与矩阵B(b1,b2,bm)等价。am线性表示，但不能由（I）a1,a2,am1线性表示，

21、am1,b，则（A）am不能由（I）线性表示，也不能由（II）线性表示；（B）am不能由（I）线性表示，但可由（II）线性表示；（C）am可由（I）线性表示，也可由（II）线性表示；（D）am可由（I）线性表示，但不能由（II）线性表示。-【例 3】已知a ,a ,a线性无123关，证明2a 3a ,a a ,a a a线性无关。1223123【例 4】设向量组（I）a ,a ,a线性相关，向量组（II）a ,a ,a线性无关。123234（1）a能否由a ,a线性表示？为什么？231（2）a能否由a ,a ,a线性表示？为什么？1234-9【例 5】 设列向量组 （I）a1,a2,线性表示，

22、即ar线性无关， 列向量组 （II）b1,b2,bs可由 （I）k11k,ar)21kr1(b1,b2,bs)(a1,a2,k12k22kr2k1sk2s，krs记为Bns AnrKrs。证明：向量组（II）无关 r(Krs) s。题型题型 2 2秩、最大无关组的求法秩、最大无关组的求法1、 矩阵的秩=最高阶非零子式的阶数=行列向量组的秩=行阶梯形中非零行向量的个数“列摆行变换”；2、矩阵最高阶非零子式所在的行列就是其行列向量组的一个最大无关组 求最大无关组，确定保留未知量和自由未知量；3、初等行变换保持行向量组的等价性，保持列向量组或其对应部分线性相关性 解方程组，求最大无关组，向量用最大无

23、关组线性表示。【例 1】填空题（3 小题）ab1 1（1）设a2b1Aanb1a1b2a2b2anb2anbna1bna2bn，其中ai0,bi0(i1,2,n)，则矩阵 A的秩r(A) 。-（2）已知向量组a,2,1,1),a21(1(2,0,t,0),a3(0,4,5,2)的秩为 2，则t 。（3） 已知向量组a,1,1,1),a21(1(2,3,4,4),a3(3,2,1 ,k)所生成的向量空间的维数为 2，则k 。 -（4）设有向量组（I）a ,a ,a； （II）a ,a ,a ,a； （III）a ,a ,a ,a，且12312341235r(I) r(II)3,r(III)4，则

24、r(a1,a2,a3,a4a5)。-【例 2】选择题（2 小题）（1）向量组a1(1 ,1,2,4),a2(0,3,1 ,2),a3(3,0,7,14),a4(1 ,2,2,0),a5(2,1,5,10)的最大无关组是 （）（A）（B）（C）a1,a2,a5（D）a1,a2,a3a1,a2,a4a1,a2,a4,a510（2）已知 n（n3）阶方阵1aAaaaa1aa1aaa秩为n1，则aaa1（） 。（A）1（B）11（C）1（D）。1nn1-【例 3】 求向量组a (1 ,1,1,3)T,a12(1,3,5,1)T,a3(2,6,10,a)T,a4(4,1,6,10)T,a5(3,2,1,

25、b)T的秩和一个最大无关组。-【例4】已知向量组a1(2,3,4,5),a2(3,4,5,6),a3(4,5,6,7),a4(5,6,7,8)，求其秩、一个最大无关组，并将其余向量用最大无关组线性表示。-T【例 5】含参数向量设向量组a (1 ,1,1,3) ,a12(1,3,5,1)T，a3(3,2,1, p2)T,a4(2,6,10,p)T，（1）当p为何值时，该向量组线性无关？并在此时将b (4,1,6,10)T用a1,a2,a3,a4线性表示；（2）当p为何值时，该向量组线性相关？并在此时求它的秩和一个最大无关组。题型题型 3 3有关向量组秩与线性表示关系的证明有关向量组秩与线性表示关

26、系的证明【例 1】确定常数a，使向量组1(1 ,1,a)T,2组(1 ,1,a)T,12能由(1 ,a,1)T,3(a,1,1)T可由向量但向量组1,2,3不(2,a,4)T,3(2,a,a)T线性表示，1,2,3线性表示。am的秩为r，证明向量组（II）【例 2】设向量组（I）a1,a2,a1,a2,am,b的秩仍为r的充要条件是b可由（I）线性表示。-【例 3】设向量组（I）a ,a ,12,as与向量组（II）b1,b2,bt的秩相同，且向量组（I）可由向量组（II）线性表示，证明： （I） （II）为等价向量组。和秩的关系问题。-【例 4】 设向量组a ,a ,12证明在a ,a ,a

27、s中任意取m个,as的秩为r(r s)，1211向量所构成的向量组的秩r ms。【例 5】设 B 是秩为 2 的 54 矩阵，向量111,2231511,a38431均为Bx 0的解向量，求Bx 0的解空间的一个规范正交基。-附录：附录：讨论向量组线性相关性的方法：定义法利用线性相关性概念和有关重要性质、定理等；方程组法转化为线性齐次方程组求解：非零解，相关；只有零解，无关。矩阵秩法利用“秩”和向量“个数”关系判定：秩小于个数，相关；秩等于个数，无关。此外，初等变换不改变矩阵秩。列行满秩矩阵左右乘矩阵不改变矩阵的秩。行列式法判定 n 个 n 维向量：行列式为零，相关；行列式非零，无关。线性无关

28、向量组本身就是其最大无关组；向量组的最大无关组一般不唯一，但秩是唯一的；向量组与其最大无关组等价；等价向量组等秩，反之不然；矩阵秩=行向量组的秩=列向量组秩最大无关组与秩的求法：利用定义；利用初等行变换；利用秩的重要公式：5)6)7)0r(Amn)minm,n,r(A)0 AO；r(Ams)r(Bsn)s r(AmsBsn) minr(A),r(B)；Amaxr(A),r(B)r(A|B),rr(A)r(B)；B8)AmnBnlOr(A)r(B)n；9)rA Br(A)r(C)，等。C向量组与向量空间的联系与区别向量组最大无关组秩向量组中任意向量均可由最大无关组线性表示，但最大无关组的线性组合不一定在向量组中；求出一个最大无关组不能确定整个向量组；求出一个基能确定向量空间（结构） 。向量空间基向量空间中任意向量均可由基线维数性表示，且基的任意线性组合也一定在向量空间中；1213