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1、专题11 不等式综合练习一、选择题1.1.已知正数X、2x- y 0，则z = 2x y的最小值为（)A、-4B、-2C、0D、2【参考答案】A【解析】在平面直角坐标系内画出题中的不等式组，表示的平面区域为以（0上），（0,0）,（1,2）为顶点的三角形区域（包含边界）,则当目标函数z = -2x- y经过平面区域内的点（1,2）时, 目标函数取得最小值zmin = -2x 1 -2 = -4,选A。2.9 Q已知x0, y 0,且一+ = 1,则xy的最小值为（）。A、2B、8C、16D、643.3.【参考答案】D2 89 Q【解析】Vl = -4-2% yoyxy 28,即xy最小值为64
2、 ,故选Doi J_1 J.已知 A = ()2, B = ()3,那么 A、233的大小关系是（）。A、 ABB、 A = BC、A0M0,A屋=(工)3 =Lb6=(1)2 =！，!,则4&故选人。28398 94.4.3已知y = X + 则y的取值范围为（）。 2x + 4A、(00,5/6 2 U a/6 2,+oo)B、(oo,2 U 2,+8)D、(-00-V3 4-1U 73+1,4-00)【参考答案】A3【解析】y = x +=(2x + 42x + 412 2x + 4) 2,生心.二一=-疯2 2x + 2_ 2x + 43、 2x + 43 rz当 2x + 40,+2
3、J= J6 ,22x + 4V 2 2x + 2、/ 八 2x + 43-M 2x + 4 0,1 22 2x + 4y的取值范围为(-%-2UV6-2,+s),故选Aox0.若A为不等式组y 2 0 表示的平面区域，则当。从-2连续变化到1时,动直线x+y = a扫过A中的那 y-x2、部分区域的面积为（）。337A、一B、1C、一D、一424【参考答案】D【解析】作出不等式组所表示的区域如图所示，扫过的面积为S = x2x2-= 故选D。 22 224.若00, y =I万犬+ ；7 =血,当且仅当 = 2x即x = l时取等号，当x = l时，有最大值后，故选D。5 .已知实数。、b、c
4、,则（）。A、若|。2+/7 + 0| + |。+ /+。区1,则2+/72+。20（）B、|6z2+Z? + c|4-|6z24-Z7-c|1 JlU2+Z?2+c2100C、若 | + 人 +。2 I + Iq + 人 区1,则2+/+/ 10GD、若|42+8 + 0| + | + /0区1,贝|42+2+02100【参考答案】D【解析】取。=10力=10,。= 110,可排除选项A；取a = = T00,c = 0,可排除选项B；取a = 10,0 = 10,c = 0,可排除选项C,故选Dox+j-306 .若线性目标函数2 = %+丁在线性约束条件2x-y0 ，下取得最大值时的最优
5、解只有一个,则实数。的 y0,那么,+ 的最小值为()。a 3-a123A、一B、一C、一332【参考答案】D解析V a(3 -a) 0,则 a(a 一 3) 010.若x、y满足攵x-y+ 220,且z = y-x的最小值为一4,则左=()。0C、2D、4【参考答案】A22【解析】作图，由丘y + 2 = 0,得x = 4,.B(,0),kk由 z = yx得 y = x+z,2由图可知当直线y = x+z过点B(-4,0)时直线在y轴上的截距最小,k21即z最小，此时zmin=0 + - = -4，解得 =，故选Aok2e 1311.若。=In ,b = , c =二，则（）o2 In 2
6、2A、abc B、bac C、cab【参考答案】AD、ac0口0、。0,2 =二=二-3 = 1,0, c 3-ln2 In 8 Ine2e2 ?1又 a = n - = In In 2 = 2 In 2, a /? = 2 In 2= 2 + （In 2 +2In 2） 0,ab, ln2综上avc,故选Ao12.设x、y为实数，若4公+及+中=i,则2% + 5的最大值为()。A、B、2后I-c、2V5 2D、2a/3F【参考答案】A解析4x2 + / + 醐=1,4a:2 + 产 + 4xy - 3xy = 1, (2x + y)2 -1 = 3xy = g - 2x y g 与 o.
7、(2x +j)2-1|(2x+即(2% +y)2-|,gP-2x+y0且。1)的图象恒过定点24,若点24在直线如+ y + 2 = 0上，其中21相则一+ 的最小值为 m n【参考答案】I【解析】由题意，点A(2,1)，故2m + 2 = 0,故2m+n = 2,2m + 2m + n+2m + 2m + n+2n=4 + ? + 2 +,24 +l=2,当且仅当m= =2时等号成立。 m n 22 2314.问题某人要买房，随着楼层的升高，上下楼耗费的精力增多,因此不满意度升高。当住第层楼时,上下楼造成的不满意度为。但高处空气清新，嘈杂音较小，环境较为安静,因此随着楼层的升高，环境不满意度
8、降低。设住第层楼时，环境不满意程度为号。则此人应选第一楼，会有一个最佳满意度。 n【参考答案】3【解析】设此人应选第层楼，此时的不满意程度为y,由题意知 = + ?几+号22J小【解析】设此人应选第层楼，此时的不满意程度为y,由题意知 = + ?几+号22J小*=46, n当且仅当 =，即 =2V2时取等号, nQQ 17但考虑至UN+，当 =2时y = 2 + 2 = 6,当 =3时y = 3 + = 3 3即此人应选3楼，不满意度最低。15.已知变量x、y满足约束条件x+y 20x-2y + 220,若目标函数z = 2x-y的最大值为2，则实数m = mx - y W 0【参考答案】1【
9、解析】先画已确定的直线x+y = 0和x 2y + 2 = 0的图像,把/nr-y = 0的直线看作必过原点(0,0)且任意旋转的直线,再将目标函数z = 2xy变形得y = 2x z,画y = 2%的图像， 具体图像如下：开始讨论：平移y = 2x至可行域的最大值的点, 即A(乙,2)点，此时z = 2,目标函数的直线为y = 2x 2,它同时也在直线x 2y + 2 = 0和/nx y = 0上,联立jx2y+：=o可解得1=,=_,又_=2,解得m=。 mx- y = 02/71-1 2m2m-116.某高科技企业生产产品A和产品5需要甲、乙两种新型材料。生产一件产品A需要甲材料L5依，
10、乙材料1口，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5口，乙材料0.3依，用3个工时。生产一件产品A的利润 为2100元,生产一件产品5的利润为900元。该企业现有甲材料150版,乙材料90版，则在不超过600个工时 的条件下，生产产品A、产品3的利润之和的最大值为一元。【参考答案】216000【解析】由题意，设产品A生产x件，产品B生产y件，利润z = 2100x + 900y,L5x + 0.5y150x + 0.3y90 线性约束条件为0 yo V.作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分， 又由XN,”N,可知取得最大值时的最优解为(60,100), zmax = 2100 x 60
11、+ 900x100 = 216000 （元）。三、解答题x+ y 217.不等式组x-y0表示的区域是什么图形，你能求出它的面积吗？该图形若是不规则图形，如何求其面 x4积？点(00),(1,0),(2,1),(3,4)在其不等式组表示的平面区域内吗？该平面区域内有多少个纵、横坐标均为 整数的点？【解析】如图，其区域为阴影部分AA5C,该5.叱=46乂3 = 9,经代入检验这四个点中只有点(2,1)在不等式组表示的平面内，在寻求平面区域内整数点时，可根据不等式组表示的平面区域边界的顶点,yi先给其中的一个未知数赋值，先令X = 1,则不等式组可化为卜 1显然该不等式组无解,10再令x = 2,
12、则原不等式组化为 y 2,则Ovy v2,又丁 ywZ,故y = l, 24 v，x = 2时只有一个整点，同样方法x = 3时，有(3,0), (3,1), (3,2)三个整点在该区域内,x = 4时在该区域内没有整点，总之此不等式组表示的平面区域内，共有4个整点。18 .解关于x 的不等式：ax1 -(6z + 1)a: + 1l ；若 a v 0,原不等式化为 x2 - (1 + )x + 0=(x- -)(x -= 或 xl；aaaa若a0,原不等式化为x2 -(1 + )x + (x- -)(x-l) 。，当1时，原不等式= xl, a当0va 1% , a综上所述：当Q0时,解集为
13、|工1,当4 = 0时,解集为|%1, a当0val时,解集为度|1%1时,解集为刈。 019 .设实数x、y满足约束条件4O,若目标函数zugZ+z/K+y的最大值为g,求为+人的最 x 0”0小值。【解析】解方程组(y一 + 2=?得,由图象知,目标函数在点4)处取得最大值，8xy 4 = () y = 4o 与 a1 h2 a = 2cosa即8 = /+2/+4 = 幺+幺=i,设1(a为参数)，42 b = V2sinaV.2a + Z? = 3a/2 sin(a + (p),(2a + b)mn =-3后。20.某商场预计全年分批购入每台价值为2000元的电视机共3600台。每批都
14、购入x台(工&),且每批均 需付运费400元。贮存购入的电视机全年所付保管费与每批购入电视机的总价值(不含运费)成正比。若每 批购入400台，则全年需用去运输和保管总费用43600元。现在全年只有24000元资金用于支付这笔费用，请问能否恰当安排每批进货的数量使资金够用？写出你的结论，并说明理由。【解析】依题意，当每批购入X台时，全年需用保管费S = 2000xZ,全年需用去运输和保管总费用为y = - 400 + 2000%- k, x：x = 4(X) 0寸,y = 43600，代入上式得 k = g,，广出幽+ 1。m2x，广出幽+ 1。m2x1440000 ,100%= 24000,
15、x当且仅当1440000 = 100x,即x = 120台时,y取最小值24000元, x只要安排每批进货120台，便可使资金够用。21 .解关于x的不等式：q + 1 (awR,。为常数)。x【解析】原式转换为*2 3 +1)%+吆0即 37(020,XXY 1当=0时, 0解得0x0, x当,0即qvO解得x1 解得 0x 1 ； aa综上，当a = 0时的解集为(0,1,当a v 0时的解集为(-00 lj U (0,1, a当0 a41时的解集为(-oo,U U -,+oo)，当a1时的解集为(0,- U U+8)。 aa22 .某皮革公司旗下有许多手工足球作坊为其生产足球,公司打算生
16、产两种不同类型的足球，一款叫“飞火流 星 ;另一款叫“团队之星 每生产一个“飞火流星”足球，需要橡胶100g,皮革300g ；每生产一个“团队之星”足 球，需要橡胶50g，皮革400g，且一个“飞火流星”足球的利润为40元，一个“团队之星”足球的利润为30元。现旗下某作坊有橡胶材料25kg，皮革12kg o求该作坊可获得的最大利润；若公司规定各作坊有两种方案可供选择，方案一：作坊自行出售足球，则所获利润需上缴10%;方案二：作坊选择由公司代售，则公司不分足球类型，一律按相同的价格回收，作坊每个球获得30元的利润、若作坊所 生产的足球可全部售出,请问该作坊选择哪种方案更划算？请说明理由。【解析】(1)设该作坊生产“飞火流星”足球九个团队之星”足球y个，作坊获得的利润为z元。2x + y 50+0y0100x + 50y2500300+ 400y0y0目标函数 z = 40x + 30y ,(x, y N)。由图可知,当直线l经过点(16,18)时,z取得最大值1180, 即该作坊可获得的最大利润为1180元；(2)若作坊选择方案一，则其收益为1180x(1-10%) = 1062元;若作坊选择方案二，则作坊生产的足球越多越好，设其生产的足球个数为r, 则才= x+y (x,ywN),2x + y 0J0此时作坊的收益为(16 + 18)x30 = 1020元，故选择方案一更划算。