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1、万有引力定律一、开普勒行星运动定律开普勒行星运动的定律是在丹麦天文学家弟谷的大量观测数据的 基础上概括出的，给出了行星运动的规律。内容图示备注第一 定律 （轨道 定律）所有的行星围绕 太阳运动的轨道都是 椭圆，太阳处在所有椭 圆的一个公共焦点上行星运动的轨道必有近日点和远日点第二 定律 （面积 定律）对任意一个行星 来说，它及太阳的连线 在相等时间内扫过的 面积相等行星靠近太阳时 速度增大，远离太阳时 速度减小，近日点速度 最大，远日点速度最 小。第三 定律 （周期 定律）所有行星的轨道 的半长轴的三次方跟 它的公转周期的二次 方的比值都相等.表达3式 *=4.K值只取决于中心天体的质量通常椭
2、圆轨道近似处理为圆轨道也适于用卫星绕行星的运动二、万有引力定律及其应用1.内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连 线上，引力的大小及物体的质量0和您的乘积成正比、及它们之间距离 r的二次方成反比.卫星的速度变小时，做近心运动，重新稳定时，轨道半径变小.(3)圆轨道及椭圆轨道相切时，切点处外面的轨道上的速度大，向心加 速度相同.6.特别提醒：“三个不同”(1)两种周期一一自转周期和公转周期的不同(2)两种速度一一环绕速度及发射速度的不同，最大环绕速度等于最 小发射速度(3)两个半径一一天体半径R和卫星轨道半径r的不同例8.(多选)“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道到达月球附近
3、，在 距月球表面200km的0点进行第一次“刹车制动”后被月球俘获，进入 椭圆轨道I绕月飞行，如图所示。之后，卫星在0点经过几次“刹车制 动”，最终在距月球表面200km的圆形轨道m上绕月球做匀速圆周运动。 用、丁2、丁3分别表示卫星在椭圆轨道I、II和圆形轨道HI上运动的周 期，用2、&分别表示卫星沿三个轨道运动到夕点的加速度，用匕、 咻匕分别表示卫星沿三个轨道运动到夕点的速度，用E、A分别表 示卫星沿三个轨道运动到0点时受到的万有引力，则下面关系式中正确 的是：()A.国二及二&B. 7i v2 T2T3 D.【答案】ACD【解析】由旭。二华得。二萼,三个轨道上的尸点到地心距离广均相等，故
4、a相等，故A正确；由能 蚩守恒定律知，由P点飞出时动能越大，远地点到离地球中心越远，即必 9巧, 故B错误；由开普勒第 三定律产二在知轨道半长轴(半径)越大，对应周期越长，即工故c正确；同一卫星在P点受 力由公式F二理知，受力大小相等，故D正确。例9.(多选)2015年12月10日，我国成功将中星1C卫星发射升空，卫星顺利进入预定转移轨道。如图所示是某卫星沿椭圆轨道也能地球运动的示意图，已知地球半径为R,地球表面重力加速度g,卫星远地点P距地心0的距离为3R,则：（）A、卫星在远地点的速度小于B、卫星经过远地点时的速度最小C、卫星经过远地点时的加速度小于旦9D、卫星经过远地点时加速，卫星有可能
5、再次经过远地点【答案】ABD【解析】若卫星以半径为3R做匀速圆周运动，贝U,在根据GM=Rg, 整理可以得到，由于卫星到达远地点P后做椭圆运动，故在P点速度小 于，故选项A正确；根据半径及速度的关系可以知道，半径越大则速度 越小，故远地点速度最小，故选项B正确；根据，则在远地点，故 选项C错误；卫星经过远地点时加速，则可以以半径为3R做匀速圆周 运动，则可以再次经过远地点，故选项D正确。【名师点睛】解决本题的关键掌握万有引力提供向心力这一重要理论， 并能灵活运用，以及知道变轨的原理，当万有引力小于向心力，做离心 运动，当万有引力大于向心力，做近心运动.例10.（多选）火星探测已成为世界各国航天
6、领域的研究热点.现有人 想设计发射一颗火星的同步卫星.若已知火星的质量M,半径R。，火星 表面的重力加速度g。自转的角速度3。，引力常量G,则同步卫星离火 星表面的高度为：（）A. B. C. D.【答案】AC故c【解析】同步卫星受到的万有引力提供向心力，故：6-出、2=皿环(&+方)解得: (&+九)正确，D错误；在火星表面，重力等于万有引力，故：阳治=詈 联立解得：h =哈 一%,故A正确，B错误；故选ACo 考点三双星系统模型问题的分析及计算.双星系统模型的特点：(1)两星都绕它们连线上的一点做匀速圆周运动，故两星的角速度、周期相等.两星之间的万有引力提供各自做匀速圆周运动的向心力，所以
7、它们 的向心力大小相等；(3)两星的轨道半径之和等于两星间的距离，即n + n=L.1 .双星系统模型的三大规律：(1)双星系统的周期、角速度相同.(2)轨道半径之比及质量成反比.(3)双星系统的周期的平方及双星间距离的三次方之比只及双星的总质 量有关，而及双星个体的质量无关.2 .解答双星问题应注意“两等”“两不等”双星问题的“两等”：它们的角速度相等；双星做匀速圆周运动的向 心力由它们之间的万有引力提供，即它们受到的向心力大小总是相等 的.“两不等”：双星做匀速圆周运动的圆心是它们连线上的一点，所以 双星做匀速圆周运动的半径及双星间的距离是不相等的，它们的轨道半 径之和才等于它们间的距离；
8、由加 1 =磔知由于处及色一般不相 等，故不及久一般也不相等.例11.2015年7月14日，“新视野”号太空探测器近距离飞掠冥王星.冥 王星及其附近的另一星体卡戎可视为双星系统，同时绕它们连线上的0 点做匀速圆周运动.0点到冥王星的距离为两者连线距离的八分之一，下列关于冥王星及卡戎的说法正确的是：（）A.质量之比为8 ： 1B.向心力大小之比为1 ： 7C.角速度大小之比为1 ： 7 D.线速度大小之比为1 ： 7【答案】D【解析】它们之间的万有引力提供各自的向心力：2=城组,。点到冥王星的距离为两者连线距离的八分之 一，所以冥王星的轨道半径是卡戎星的;，质量之比约为7: 1,故A错误；它们之
9、间的万有引力提供各自 的向心力，冥王星和卡戎向心力大小相等，故B错误；冥王星与其附近的另一星体卡戎可视为双星系统.所 以冥王星和卡戎周期是相等的，角速度也是相等的.故C错误；根据题意冥王星绕O点运动的轨道半径约 为卡式的!，根据得为=9=：,故D正确7号 G 7【名师点睛】由于双星和它们围绕运动的中心点总保持三点共线，所以在相同时间内转过的角度必相等，即双星做匀速圆周运动的角速度必相 等，角速度相等，周期也必然相同例12. 2015年9月14日，美国的LIGO探测设施接收到一个来自GW150914的引力波信号，此信号是由两个黑洞的合并过程产生的。如果将某个双黑洞系统简化为如图所示的圆周运动模型
10、，两黑洞绕。点做匀速圆周运动。在相互强大的引力作用下，两黑洞间的距离逐渐减小，在此过程中，两黑洞做圆周运动的： （）， 一. .:一:/,、 黑洞1 一黑汨2 :0 :：A.周期均逐渐增大B.线速度均逐渐减小C.角速度均逐渐增大D.向心加速度均逐渐减小【答案】C【解析】根据弓等=%窄,解得w=号心同理可得弧=群为,所以4mH4 层nM1+M2=-(R1+R2) = - f当M1 +拉2不变时，工增大，则T增大，即双星系统运行周期会随间距减小而减小，故A错误；根据G 隼 =镇 J-T，解得叫=J与与，由于L平方的减小比勺和42乃的减小量大，则线速度增尢故B错误：角速度照亍结合A可知，角速度增尢故
11、C正确艮据G当把=拉臼=长知，上变小，则两星的向心加速度熠大，故D错误. 2例13.宇宙中两个相距较近的星球可以看成双星，它们只在相互间的万有引力作用下，绕两球心连线上的某一固定点做周期相同的匀速圆周运 动，根据宇宙大爆炸理论，双星间的距离不断缓慢增加，双星系统仍视 为做匀速圆周运动，则下列说法正确的是：()A.双星相互间的万有引力保持不变B.双星做圆周运动的角速度均增大C.双星做圆周运动的加速度均减小D.双星做圆周运动的周期均减小【答案】C【解析】两者之间的万有引力尸=G呼，因为两者之间的距离在增大，所以相互间的万有引力减小，根r据牛顿第二定律可得。=,引力减小,所以做圆周运动的向心力加速度
12、减小,A错误C正确；根据公式mo =结合。减小，增大，可知角速度一定减小，B错误；根据丁 =竺，结合中减小，可得周期一0定增大，D错误；例14.某行星和地球绕太阳公转的轨道均可视为圆。每过N年，该行星会运行到日地连线的延长线上，如题图所示。该行星及地球的公转半径比为A.B.C.D.【答案】B【解析】由题意每过N年地球比行星多运动一周，即，再结合开普勒第三定律有R地狐 V N-l ,B正确。2 .表达式：，G为引力常量：67=6. 67X10-11 N - m2/kg2.3 .适用条件(1)公式适用于质点间的相互作用.当两物体间的距离远远大于物体本 身的大小时，物体可视为质点.(2)质量分布均匀
13、的球体可视为质点，r是两球心间的距离.三、环绕速度1.第一宇宙速度又叫环绕速度.得：=7.9 km/s.第一宇宙速度是人造卫星的最大环绕速度，也是人造地球卫星的最小发 射速度.第二宇宙速度(脱离速度)：r2=11.2km/s,使物体挣脱地球引力束缚的 最小发射速度.第三宇宙速度(逃逸速度)：73=16. 7 km/s,使物体挣脱太阳引力束缚的 最小发射速度.特别提醒：(1)两种周期一一自转周期和公转周期的不同(2)两种速度一一环绕速度及发射速度的不同，最大环绕速度等于最小发射速度(3)两个半径一一天体半径和卫星轨道半径r的不同四、近地卫星、赤道上物体及同步卫星的运行问题1.近地卫星、同步卫星、
14、赤道上的物体的比较比较内容赤道表面的物体近地卫星同步卫星向心力来源万有引力的分力万有引力向心力方向指向地心重力及万有引力的关系重力略小于万有引力重力等于万有引力五、天体的追及相遇问题线速度vl= 3 1Rgm v27Tv3= 3 3 (R+h)Fgm- 7而V1V3V2(V2为第一宇宙速度)角速度31= 3 自gm3 2=,建3 3= 3 自/ GM一，R+h 3G) 1 = G) 3 3 2向心加速度2L1 - 3 柴 R223 RGMR2a3= 3 2 (R+h)GMR+h 21 3&2两颗卫星在同一轨道平面内同向绕地球做匀速圆周运动，a卫星的角速 度为co a, b卫星的角速度为cob,
15、若某时刻两卫星正好同时通过地面同 一点正上方，相距最近(如图甲所示)。当它们转过的角度之差。=冗， 即满足aaA t cob t= Ji时，两卫星第一次相距最远(如图乙所示)。图甲图乙当它们转过的角度之差。=2冗，即满足3aAtabAt = 2几时，两卫星再次相距最近。经过一定的时间，两星又会相距最远和最近。1 .两星相距最远的条件：coa A twb A t= (2n+l) n (n = 0, 1, 2, ).两星相距最近的条件：aaA tab t = 2n冗(n=l, 2, 3)2 .常用结论：(1)同方向绕行的两天体转过的角度的一为 1=2馆或5二0、1、2、) 时表明两物体相距最近。(
16、2)反方向转动的天体转过的角度阳+% 府或(n=0、1、2、) 时表明两物体相遇或相距最近。考点一天体质量和密度的计算.解决天体(卫星)运动问题的基本思路(1)天体运动的向心力来源于天体之间的万有引力，即2Mm2271c mvG = mco r m() r = ma rT r(2)在中心天体表面或附近运动时，万有引力近似等于重力，即(g表示 天体表面的重力加速度).在行星表面重力加速度：，所以在离地面高为力的轨道处重力加速度：，得1 .天体质量和密度的计算(1)利用天体表面的重力加速度g和天体半径R.由于，故天体质量天体密度：(2)通过观察卫星绕天体做匀速圆周运动的周期T和轨道半径工由万有引力
17、等于向心力，即，得出中心天体质量；若已知天体半径必 则天体的平均密度若天体的卫星在天体表面附近环绕天体运动，可认为其轨道半径r等 于天体半径兄则天体密度.可见，只要测出卫星环绕天体表面运动的周 期A就可估算出中心天体的密度.2 .黄金代换公式：GM=g例1.（多选）如图，地球赤道上的山丘e、近地资源卫星夕和同步通信卫 星0均在赤道平面上绕地心做匀速圆周运动。设8、0、0的圆周运动速 率分别为匕、必、内，向心加速度分别为2、&、3，则（）A.%生 匕B.功C. (31a%D . 2L& a?【答案】BD例2.（多选）“嫦娥二号”探月卫星于2010年10月1日成功发射，目前正在月球上方100km的
18、圆形轨道上运行。已知“嫦娥二号”卫星的运行周期、月球半径、月球表面重力加速度、万有引力恒量2根据以上信息可求出： （）A.卫星所在处的加速度B.月球的平均密度C.卫星线速度大小D.卫星所需向心力【答案】ABC【解析】根据万有引力等于重力仃粤=型g,可求出月球的质量拉=更二根据G粤= 7r（亚尸，RGr T求出嫦娥二号的轨道半径，=；望:，再根据当2,求出向心加速度.故A正确.月球的质量V 4RT放=零,月球的体积= 5成二所以可求出月球的平均密度.故B正确.可求出嫦娥二号的轨道半径G3厂=）空（，根据=军），求出卫星的线速度大小故C正确因为不知道卫星的质量，所以求不 47iT出卫星所需的向心力
19、.故D错误.故选ABC。例3.（多选）2014年n月1日早上6时42分，被誉为“嫦娥5号”的“探路尖兵”载人飞行试验返回器在内蒙古四子王旗预定区域顺利着陆，标志着我国已全面突破和掌握航天器以接近第二宇宙速度的高速载人返回关键技术，为“嫦娥5号”任务顺利实施和探月工程持续推进 奠定了坚实基础.已知人造航天器在月球表面上空绕月球做匀速圆周运 动，经过时间t（t小于航天器的绕行周期），航天器运动的弧长为s,航天器及月球的中心连线扫过角度为9 ,引力常量为G,则：（ ）A.航天器的轨道半径为色B.航天器的环绕周期为网s0C.月球的质量为D.月球的密度为【答案】BC【解析麻据几何关系得片/攵A错误，经过
20、时间t,航天器与月球的中心连线扫过角度为网=廿得：T=得：T=.故B正确；由万有引力充当向心力而做圆周运动,所以：GMmr47M q-r23 4（）aa拉=箸= 2日=矗故c正确；人造航天器在月球表面上空绕月球做匀速圆周运动，月球的 ?方）半径等于r,则月球的体积：？=2小=:取9丫月球的密度：=7=72 故D错误.故选BC。例4.（多选）若宇航员在月球表面附近自高h处以初速度V。水平抛出一个小球，测出小球的水平射程为L.已知月球半径为R,万有引力常量为G.则下列说法正确的是：（）A.月球表面的重力加速度 B.月球的质量C.月球的第一宇宙速度D.月球的平均密度【答案】ABC【解析】 平抛运动的
21、时间.再根据*西得，得,故A正确；由及,可得一故B正确；第一宇宙速度：，解得故C正确；月球的平均密度，故D错误;故选ABC.【名师点睛】解决本题的关键知道平抛运动在水平方向上和竖直方向上 的运动规律，以及掌握万有引力提供向心力以及万有引力等于重力这两 个理论的运用。考点二卫星运行参量的比较及运算.卫星的动力学规律由万有引力提供向心力，G丝 = m之=皿r =3L = rT r.卫星的各物理量随轨道半径变化的规律GM GMu减小 漏小 力曾大 。减小例5.据报道,2016年2月18日嫦娥三号着陆器玉兔号成功自主“醒来。 嫦娥一号卫星系统总指挥兼总设计师叶培建院士介绍说，自2013年12 月14日
22、月面软着陆以来，中国嫦娥三号月球探测器创造了全世界在月 工作最长记录。假如月球车在月球表面以初速度v0竖直上抛出一个小 球，经时间t后小球回到出发点，已知月球的半径为此引力常量为G, 下列说法正确的是：（）A、月球表面的重力加速度为为tB、月球的质量为C、探测器在月球表面获得的速度就可能离开月球表面围绕月球做圆周D、探测器在月球表面附近绕月球做匀速圆周运动的绕行周期为，世【答案】C【解析】根据竖直上抛运动规律=炉可知，月球表面的重力加速度g =故A错误：在月球表面重力与万有引力相等有缥，可得月球质量好=竺1 =丝，故B错误；据万有引力提供圆周运 RG Gt动向心力可知，卫星的最大运行速度a=，
23、孚=J孚，故C正确；绕月球表面匀速飞行的卫星的周期b 2ttR 西令出、口T =- 7T ）故D1日I天。y Y %【名师点睛】根据竖直上抛求得月球表面的重力加速度，再根据重力及万有引力相等和万有引力提供卫星圆周运动向心力分析求解是关键. 例6.某卫星发射中心在发射卫星时，首先将该卫星发射到低空轨道1, 待测试正常后通过点火加速使其进入高空轨道2,已知卫星在上述两轨 道运行时均做匀速圆周运动，假设卫星的质量不变，在两轨道上稳定运 行时的动能之比为石一42=4:1。如果卫星在两轨道的向心加速度分别 用小、0表示，角速度分别用助、2表示，周期分别用刀、72表示，轨 道半径分别用、G表示。则下列比例
24、式正确的是：（）A. % ： 。2=4 ： 1B. ：2二2 ： 1C. 7 ： T2 = l ： 8D. ： r2=l ： 2【答案】C【解析】在两轨道上稳定运行时的动能之比为昂：%2 =4:1,则根据可 得匕：畤=2：1,根据公式可得，所以轨道1和轨道2的半径之比为 4：弓=1:4,根据公式可得,故由：牝=16 ： 1,根据公式可得可得01： g=8：1,根据公式可得小T2=l ： 8,故C正确；【名师点睛】在万有引力这一块，涉及的公式和物理量非常多，掌握公 式= m = ma）2r = m= ma在做题的时候，首先明确过程中的向心 r rT2力，然后弄清楚各个物理量表示的含义，最后选择合
25、适的公式分析解题, 另外这一块的计算量一是非常大的，所以需要细心计算例7.（多选）假设若干年后，由于地球的变化，地球半径变小，但地球 质量不变，地球的自转周期不变，则相对于现在：（）A.地球表面的重力加速度变大B.发射一颗卫星需要的最小发射速度变大 C.地球同步卫星距离地球表面的高度变大 D.地球同步卫星绕地球做圆周运动的线速度变大【答案】ABC【解析】若地球半径减小，由赞=”药，得且=答,可知地球表面的重力加速度增大,A正确:由竿 =Mg KKK KfGMGMm / /2V/b GMT1卬 l.小一4心得了 = -,可知、B正确；再由(.+ = m(R +力1亍J得-R，因此禺地的图度变大，
26、C正确；由于同步卫星做圆周运动的半径不变，周期不变，因此线速度不变，D错误；故选ABC。【名师点睛】地球表面物体的重力在不考虑地球自转的影响时，就等于 地球对物体的万有引力，由此可得，可知不同高度出的g值关系；同步 卫星的特点是在赤道所在平面，周期及地球自转周期相同，应用的模型 是同步卫星绕地球做匀速圆周运动。考点三宇宙速度卫星变轨问题的分析.第一宇宙速度匕=7.9 km/s,既是发射卫星的最小发射速度，也是 卫星绕地球运行的最大环绕速度.1 .第一宇宙速度的两种求法： (1),所以，所以匕=.2 .当卫星由于某种原因速度突然改变时(开启或关闭发动机或空气阻力 作用)，万有引力不再等于向心力，卫星将变轨运行：(1)当卫星的速度突然增加时，即万有引力不足以提供向心力，卫星 将做离心运动，脱离原来的圆轨道，轨道半径变大，当卫星进入新的轨 道稳定运行时由可知其运行速度比原轨道时减小.(2)当卫星的速度突然减小时，即万有引力大于所需要的向心力，卫 星将做近心运动，脱离原来的圆轨道，轨道半径变小，当卫星进入新的 轨道稳定运行时由可知其运行速度比原轨道时增大.3 .处理卫星变轨问题的思路和方法(1)要增大卫星的轨道半径，必须加速；(2)当轨道半径增大时，卫星的机械能随之增大.4 .卫星变轨问题的判断：卫星的速度变大时，做离心运动，重新稳定时，轨道半径变大.