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1、2013年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学文科第卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的已知全集，集合，则（ ）.A B C D分析 先求，再找公共元素.解析 因为，所以， 所以.故选B.已知，则双曲线：与：的（ ）.A实轴长相等 B虚轴长相等 C离心率相等 D焦距相等分析 先确定实半轴和虚半轴的长，再求出半焦距.解析 双曲线和的实半轴长分别是和，虚半轴长分别是和， 则半焦距都等于，故选D.在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次设命题p是“甲降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有
2、一位学员没有降落在指定范围”可表示为（ ）.A B C D分析 根据逻辑联结词“或”“且”“非”的含义判断.解析 依题意，：“甲没有降落在指定范围”，：“乙没有降落在指定范围”，因此“至少有一位 学员没有降落在指定范围”可表示为.故选A.四名同学根据各自的样本数据研究变量之间的相关关系，并求得回归直线方程，分别得到以下四个结论：与负相关且； 与x负相关且； 与正相关且； 与正相关且.其中一定不正确的结论的序号是（ ）.A B C D 分析 根据正负相关性的定义作出判断.解析 由正负相关性的定义知一定不正确.故选D.小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间，后为了赶时间加快速度
3、行驶. 与以上事件吻合得最好的图像是（ ）.距学校的距离 距学校的距离 距学校的距离 ABCD时间时间时间时间OOOO距学校的距离 分析 先分析小明的运动规律，再结合图象作出判断.解析 距学校的距离应该逐渐减小，由于小明先是匀速运动，故前段是直线段，途中停留时距离不变，后段加速，直线段比前段下降的快，故选C.将函数的图像向左平移个单位长度后，所得到的图像关于轴对称，则的最小值是（ ）.A B C D分析 先将函数解析式化简，再写出平移后的解析式，然后根据函数为偶函数求得的值.解析 由于，向左平移个单位长度后得到函数的图象，由于该图象关于轴对称，所以，于是，又，故当时，取最小值.故选B.已知点，
4、则向量在方向上的投影为（ ）.A B C D 分析 首先求出的坐标，然后根据投影的定义进行计算.解析 由已知得，因此在方向上的投影为. 故选A.为实数，表示不超过的最大整数，则函数在上为（ ）.A奇函数 B偶函数 C增函数 D 周期函数分析 首先理解题意，画出函数的图象.解析 函数的图象（图象略）在两个整数之间都是斜率为的线段（不含终点），故选D.某旅行社租用、两种型号的客车安排名客人旅行，、两种车辆的载客量分别为人和人，租金分别为元/辆和元/辆，旅行社要求租车总数不超过辆，且型车不多于型车辆则租金最少为（ ）.A元 B元 C元 D元分析 先根据题意列出约束条件和目标函数，通过平移目标函数加以
5、解决.解析 设租用型车辆，型车辆，目标函数为，则约束条件为作出可行域，如图中阴影部分所示，可知目标函数过点时， 最小值（元）.故选C.已知函数有两个极值点，则实数的取值范围是（ ）.A B C D分析 由已知得有两个正实数根，即的图象与轴有两个交点，从而得的取值范围.解析 ，依题意有两个正实数根.设，函数有两个零点，显然当时不合题意，必有；，令，得，于是在上单调递增，在上单调递减，所以在处取得极大值，即，所以.故选B.第卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分，答案须填在题中横线上为虚数单位，设复数，在复平面内对应的点关于原点对称，若，则 分析 根据复平面内点的
6、对称性，找出的实部和虚部.解析 关于原点的对称点是，所以.某学员在一次射击测试中射靶次，命中环数如下：则（1）平均命中环数为 ； （2）命中环数的标准差为 分析 利用平均值和标准差公式求解.解析（1）.（2），所以.答案：（1）（2）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序. 若输入的值为，则输出的结果 分析 根据循环结构找出的值.解析 .第一次：；第二次：；第三次：；第四次：. 终止循环，输出.已知圆：，直线：（）设圆上到直线的距离等于的点的个数为，则 分析 先求出圆心到直线的距离，再进行判断.解析 因为圆心到直线的距离为，又因为圆的半径为，故圆上有个点符合条件.在区间上随机地取一个数x，若x
7、满足的概率为，则 分析 根据几何概型，在线性问题中用长度之比表示概率，求的值.解析 由，得.当时，由题意得，解得，矛盾，舍去.当时，由题意得，解得.即的值为.我国古代数学名著数书九章中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水. 天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸. 若盆中积水深九寸，则平地降雨量是 寸（注：平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；一尺等于十寸）分析 求出水面的半径，根据圆台的体积公式求出雨水的体积，除以盆口面积即得.解析 圆台的轴截面是下底长为寸，上底长为寸，高为寸的等腰梯形，雨水线恰为中位线，故雨水线直径是寸，所以降水量为（寸）.在平面
8、直角坐标系中，若点的坐标，均为整数，则称点为格点若一个多边形的顶点全是格点，则称该多边形为格点多边形格点多边形的面积记为，其内部的格点数记为，边界上的格点数记为. 例如图中是格点三角形，对应的，（1）图中格点四边形对应的分别是 ；（2）已知格点多边形的面积可表示为，其中，为常数若某格点多边形对应的， 则 （用数值作答）分析（1）观察图形得出结论；（2）由条件及（1），同时再找一格点多边形确定出的值，再求.解析（1）由图可知四边形是直角梯形，高为，下底为，上底为，所以梯形面积.由图知.（2）取相邻四个小正方形组成一个正方形，其面积，结合，四边形可列方程组：解得. 答案：（1）（2）.三、解答题：
9、本大题共5小题，共65分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（本小题满分12分） 在中，角，对应的边分别是，. 已知（1）求角的大小； （2）若的面积，求的值分析 利用倍角公式和诱导公式化简已知条件，求得的值，即得角的大小； 由面积求出边，再利用余弦定理求出边，最后利用正弦定理求出的值.解析（1）由，得， 即，解得或（舍去）.因为， 所以. （2）由，得，又，所以. 由余弦定理得，所以. 从而由正弦定理得.（本小题满分13分） 已知是等比数列的前项和，成等差数列，且（1）求数列的通项公式； （2）是否存在正整数，使得？若存在，求出符合条件的所有的集合；若不存在，说明理由 分析 首先由成等差数
10、列，且，求得和公比，进而得通项公式；然后根据等比数列的前项和公式列出关于的不等式，通过解不等式进而做出判断. 解析（1）设等比数列的公比为，则.由题意得即解得故数列的通项公式为.（2）由（1）有.假设存在，使得，则，即.当为偶数时，上式不成立；当为奇数时，即，即. 综上，存在符合条件的正整数，且所有这样的的集合为.（本小题满分13分） 如图所示，某地质队自水平地面，三处垂直向地下钻探，自点向下钻到处发现矿藏，再继续下钻到处后下面已无矿，从而得到在处正下方的矿层厚度为同样可得在，处正下方的矿层厚度分别为，且过，的中点，且与直线平行的平面截多面体所得的截面为该多面体的一个中截面，其面积记为（1）
11、证明：中截面是梯形； （2） 在中，记，边上的高为，面积为在估测三角形区域内正下方的矿藏储量（即多面体的体积）时，可用近似公式来估算 已第20题图知，试判断与的大小关系，并加以证明分析 （1）通过， 得出，从而证明中截面是梯形； （2）分别用表示出与，通过比较得出结论. 解析（1）证明：依题意， ，所以.又，且，所以四边形、均是梯形.由，且，可得，即.同理可证，所以.又点分别是的中点，则点分别是的中点，即分别为梯形的中位线，因此，而，故，所以中截面是梯形.（2）.证明如下：由，可得.而，所以，同理可得.由是的中位数，可得，即为梯形的高，因此，即.又，所以，于是. 由，得，故.（本小题满分13分
12、） 设，已知函数（1） 当时，讨论函数的单调性；（2） 当时，称为，关于的加权平均数（i）判断，是否成等比数列，并证明；(ii)，的几何平均数记为称为，的调和平均数，记为. 若，求的取值范围分析（1）利用导数通过分类讨论求解；（2）用等比中项证明成等比数列； 通过函数的单调性求解.解析（1）定义域为，.当时，函数在上单调递增；当时，函数在上单调递减.（2）计算得，故， 所以成等比数列.因为，即.由得.由知，故，得. 当时，.这时，的取值范围为；当，时，从而，由在上单调递增与式，得，即的取值范围为；当时，从而，由在上单调递减与式，得，即的取值范围为.（本小题满分14分） 如图所示，已知椭圆与 的
13、中心坐标原点，长轴均为且在轴上，短轴长分别为，（），过原点且不与轴重合的直线与，的四个交点按纵坐标从大到小依次为记， 和的面积分别为和(1) 当直线与轴重合时，若，求的值；(2) 当变化时，是否存在与坐标轴不重合的直线，使得？并说明理由第22题图分析（1）当直线与轴重合时，可直接求出的面积，结合条件即可得到的值；（2）设出直线的斜率，得到其方程，然后与椭圆方程联立，通过根与系数的关系、弦长公式，结合的表达式，得到关于的方程，通过方程是否有解判断是否存在符合要求的直线.解析 依题意可设椭圆和的方程分别为 ，其中.（1）方法一：如图（1），若直线与轴重合，即直线的方程为，则，所以.在和的方程中分别
14、令，可得，于是.若，则，化简得.由，可解得.故当直线与轴重合时，若，则.方法二：如图（1），若直线与轴重合，则；，所以.若，则，化简得.由，可解得.故当直线与轴重合时，若，则.（2）方法一：如图（2），若存在与坐标轴不重合的直线，使得，根据对称性，不妨设直线，点到直线的距离分别为，因为，所以.又，所以，即.由对称性可知，所以，于是. 将的方程分别与，的方程联立，可求得.根据对称性可知，于是. 从而由和式可得. 令，则由，可得，于是由可解得.因为，所以.于是式关于有解，当且仅当，等价于.由，可解得，即，由，解得.所以当时，不存在与坐标轴不重合的直线，使得；当时，存在与坐标轴不重合的直线，使得.方法二：如图（2），若存在与坐标轴不重合的直线，使得.根据对称性，不妨设直线，点到直线的距离分别为，因为，所以.又，所以.因为，所以.由点分别在，上，可得，两式相减可得，依题意，所以.所以由上式解得.因为，所以由，可解得.从而，解得，所以当时，不存在与坐标轴不重合的直线，使得；当时，存在与坐标轴不重合的直线，使得.12