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1、2022/12/211第七章第七章 MATLABMATLAB解方程与解方程与函数极值函数极值2022/12/212n 线性方程组求解线性方程组求解n 非线性方程数值求解非线性方程数值求解n常微分方程初值问题的数值解法常微分方程初值问题的数值解法n函数极值函数极值2022/12/2137.1.1 7.1.1 直接解法直接解法1.利用左除运算符的直接解法利用左除运算符的直接解法 对于线性方程组对于线性方程组Ax=b，可以利用左除运可以利用左除运算符算符“”求解求解：x=Ab例例7-1 用直接解法求解下列线性方程组。用直接解法求解下列线性方程组。7.1 7.1 线性方程组求解线性方程组求解2022/
2、12/2142.利用矩阵的分解求解线性方程组利用矩阵的分解求解线性方程组 矩阵分解是指根据一定的原理用某种算法将矩阵分解是指根据一定的原理用某种算法将一个矩阵分解成若干个矩阵的乘积。常见一个矩阵分解成若干个矩阵的乘积。常见的矩阵分解有的矩阵分解有LU分解分解、QR分解分解、Cholesky分解分解，以及以及Schur分解分解、Hessenberg分解分解、奇异分解奇异分解等。等。2022/12/215 矩阵的矩阵的LU分解就是将一个矩阵表示为一个交换下分解就是将一个矩阵表示为一个交换下三角矩阵和一个上三角矩阵的乘积形式。线性代数三角矩阵和一个上三角矩阵的乘积形式。线性代数中已经证明，只要方阵中
3、已经证明，只要方阵A A是非奇异的，是非奇异的，LU分解总是分解总是可以进行的。可以进行的。MATLAB提供的提供的lu函数用于对矩阵进行函数用于对矩阵进行LU分解，其分解，其调用格式为：调用格式为：L,U=lu(X)：产生一个上三角阵产生一个上三角阵U U和一个变换形式和一个变换形式的下三角阵的下三角阵L(L(行交换行交换)，使之满足，使之满足X=LUX=LU。注意，这里。注意，这里的矩阵的矩阵X X必须是方阵。必须是方阵。L,U,P=lu(X)：产生一个上三角阵产生一个上三角阵U和一个下三角和一个下三角阵阵L L以及一个置换矩阵以及一个置换矩阵P，使之满足，使之满足PX=LU。当然矩。当然
4、矩阵阵X同样必须是方阵。同样必须是方阵。实现实现LU分解后，线性方程组分解后，线性方程组Ax=b的解的解x=U(Lb)或或x=U(LPb)，这样可以大大提高运算速度这样可以大大提高运算速度。例例7-2 用用LU分解求解例分解求解例7-1中的线性方程组。中的线性方程组。（1 1）LULU分解分解2022/12/216(2)QR分解分解 对矩对矩阵阵X进行进行QR分解，就是把分解，就是把X X分解为一分解为一个正交矩阵个正交矩阵Q和一个上三角矩阵和一个上三角矩阵R的乘积形的乘积形式。式。QR分解只能对方阵进行分解只能对方阵进行。MATLAB的的函数函数qr可用于对矩阵进行可用于对矩阵进行QR分解，
5、其调用分解，其调用格式为：格式为：Q,R=qr(X)：产生一个正交矩阵产生一个正交矩阵Q和一个和一个上三角矩阵上三角矩阵R，使之满足，使之满足X=QR。Q,R,E=qr(X)：产生一个正交矩阵产生一个正交矩阵Q、一、一个上三角矩阵个上三角矩阵R以及一个置换矩阵以及一个置换矩阵E，使之，使之满足满足XE=QR。实现实现QR分解后，线性方程组分解后，线性方程组Ax=b的解的解x=R(Qb)或或x=E(R(Qb)。例例7-3 用用QR分解求解例分解求解例7-1中的线性方程组。中的线性方程组。2022/12/217(3)Cholesky分解分解 如果矩阵如果矩阵X X是对称正定的，则是对称正定的，则C
6、holesky分解分解将矩阵将矩阵X X分解成一个下三角矩阵和上三角矩阵分解成一个下三角矩阵和上三角矩阵的乘积。设上三角矩阵为的乘积。设上三角矩阵为R，则下三角矩阵，则下三角矩阵为其转置，即为其转置，即X=RR。MATLAB函数函数chol(X)用于对矩阵用于对矩阵X X进行进行Cholesky分解，其调用格式分解，其调用格式为：为：R=chol(X)：产生一个上三角阵：产生一个上三角阵R，使，使RR=X。若若X为非对称正定，则输出一个出错信息。为非对称正定，则输出一个出错信息。R,p=chol(X)：这个命令格式将不输出出错：这个命令格式将不输出出错信息。当信息。当X为对称正定的，则为对称正
7、定的，则p=0，R与上述与上述格式得到的结果相同；否则格式得到的结果相同；否则p为一个正整数。为一个正整数。如果如果X为满秩矩阵，则为满秩矩阵，则R R为一个阶数为为一个阶数为q=p-1的上三角阵，且满足的上三角阵，且满足RR=X(1:q,1:q)。实现实现Cholesky分解后，线性方程组分解后，线性方程组Ax=b变成变成RRx=b，所以，所以x=R(Rb)。2022/12/218例例7-4 用用Cholesky分解求解例分解求解例7-1中的线性方中的线性方程组程组。命令如下：命令如下：A=2,1,-5,1;1,-5,0,7;0,2,1,-1;1,6,-1,-4;b=13,-9,6,0;R=
8、chol(A)?Error using=chol Matrix must be positive definite 命令执行时，出现错误信息，说明命令执行时，出现错误信息，说明A A为非正为非正定矩阵。定矩阵。2022/12/219 迭代解法非常适合求解大型系数矩阵的方程组。迭代解法非常适合求解大型系数矩阵的方程组。在数值分析中，迭代解法主要包括在数值分析中，迭代解法主要包括 Jacobi迭代法迭代法、Gauss-Serdel迭代法、超松弛迭代法和两步迭代法。迭代法、超松弛迭代法和两步迭代法。1.Jacobi迭代法迭代法 对于线性方程组对于线性方程组Ax=b，如果如果A为非奇异方阵，为非奇异方
9、阵，即即aii0(i=1,2,n)，则可将则可将A分解为分解为A=D-L-U，其中其中D为对角阵，其元素为为对角阵，其元素为A的对角元素的对角元素，L与与U为为A的下三角阵和上三角阵，于是的下三角阵和上三角阵，于是Ax=b化为化为：x=D-1(L+U)x+D-1b 与之对应的迭代公式为与之对应的迭代公式为：x(k+1)=D-1(L+U)x(k)+D-1b 这就是这就是Jacobi迭代公式。如果序列迭代公式。如果序列x(k+1)收敛于收敛于x，则则x必是方程必是方程Ax=b的解的解。7.1.2 7.1.2 迭代解法迭代解法2022/12/2110例例7-5 用用Jacobi迭代法求解下列线性方程
10、组。迭代法求解下列线性方程组。设迭代初值为设迭代初值为0，迭代精度为，迭代精度为10-6。Jacobi迭代法的迭代法的MATLAB函数文件函数文件Jacobi.m2022/12/21112.Gauss-Serdel迭代法迭代法在在Jacobi迭代过程中，计算时，已经得到，不迭代过程中，计算时，已经得到，不必再用，即原来的迭代公式必再用，即原来的迭代公式Dx(k+1)=(L+U)x(k)+b可以改进为可以改进为Dx(k+1)=Lx(k+1)+Ux(k)+b，于是得到：，于是得到：x(k+1)=(D-L)-1Ux(k)+(D-L)-1b该式即为该式即为Gauss-Serdel迭代公式。和迭代公式。
11、和Jacobi迭迭代相比，代相比，Gauss-Serdel迭代用新分量代替旧分迭代用新分量代替旧分量，精度会高些。量，精度会高些。2022/12/2112 Gauss-Serdel迭代法的迭代法的MATLAB函数文件函数文件gauseidel.m例例7-7 分别用分别用Jacobi迭代和迭代和Gauss-Serdel迭代迭代 法求解下列线性方程组，看是否收敛。法求解下列线性方程组，看是否收敛。例例7-6 用用Gauss-Serdel迭代法求解下列线性方迭代法求解下列线性方 程组。设迭代初值为程组。设迭代初值为0，迭代精度为，迭代精度为10-6。2022/12/21137.2.1 7.2.1 单
12、变量非线性方程求解单变量非线性方程求解 在在MATLAB中中提供了一个提供了一个fzero函数，可函数，可 以用来求单变量非线性方程的根。该函数以用来求单变量非线性方程的根。该函数的调用格式为的调用格式为：z=fzero(fname,x0,tol,trace)其中其中fname是待求根的函数文件名是待求根的函数文件名，x0为为搜索的起点。一个函数可能有多个根，但搜索的起点。一个函数可能有多个根，但fzero函数只给出离函数只给出离x0最近的那个根最近的那个根。tol控控制结果的相对精度，缺省时取制结果的相对精度，缺省时取tol=eps，trace指定迭代信息是否在运算中显示，为指定迭代信息是否
13、在运算中显示，为1 1时显示，为时显示，为0 0时不显示，缺省时取时不显示，缺省时取trace=0。7.2 7.2 非线性方程数值求解非线性方程数值求解2022/12/2114 例例7-8 求求f(x)=x-10 x+2=0在在x0=0.5附近的根附近的根。步骤如下步骤如下：(1)建立函数文件建立函数文件funx.m。function fx=funx(x)fx=x-10.x+2;(2)调用调用fzero函数求根函数求根。z=fzero(funx,0.5)z=0.37582022/12/21157.2.2 7.2.2 非线性方程组的求解非线性方程组的求解 对于非线性方程组对于非线性方程组F(X)
14、=0，用用fsolve函数求其函数求其数值解数值解。fsolve函数的调用格式为函数的调用格式为：X=fsolve(fun,X0,option)其中其中X为返回的解为返回的解，fun是用于定义需求解的是用于定义需求解的非线性方程组的函数文件名非线性方程组的函数文件名，X0是求根过程的初是求根过程的初值值，option为最优化工具箱的选项设定。最优化为最优化工具箱的选项设定。最优化工具箱提供了工具箱提供了20多个选项，用户可以使用多个选项，用户可以使用optimset命令将它们显示出来。如果想改变其中某命令将它们显示出来。如果想改变其中某个选项，则可以调用个选项，则可以调用optimset()函
15、数来完成。例如函数来完成。例如，Display选项决定函数调用时中间结果的显示方式，选项决定函数调用时中间结果的显示方式，其中其中off为不显示为不显示，iter表示每步都显示表示每步都显示，final只显示最终结果只显示最终结果。optimset(Display,off)将设定将设定Display选项为选项为off。2022/12/2116 例例7-9 求下列非线性方程组在求下列非线性方程组在(0.5,0.5)附近数值解。附近数值解。解：解：(1)建立函数文件建立函数文件myfun.m。function q=myfun(p)x=p(1);y=p(2);q(1)=x-0.6*sin(x)-0.
16、3*cos(y);q(2)=y-0.6*cos(x)+0.3*sin(y);(2)在给定的初值在给定的初值x0=0.5,y0=0.5下，调用下，调用fsolve函函数求方程的根。数求方程的根。x=fsolve(myfun,0.5,0.5,optimset(Display,off)x=0.6354 0.37347.3.1 7.3.1 龙格库塔法龙格库塔法 基于龙格库塔法，基于龙格库塔法，MATLAB提供了求常微提供了求常微 分方程数值解的函数，一般调用格式为：分方程数值解的函数，一般调用格式为：t,y=ode23(fname,tspan,y0)t,y=ode45(fname,tspan,y0)其
17、中其中fname是定义是定义f(t,y)的函数文件名，该函数的函数文件名，该函数 文件必须返回一个列向量。文件必须返回一个列向量。tspan形式为形式为t0,tf,表示求解区间。表示求解区间。y0是初始状态列向量。是初始状态列向量。t和和y分分 别给出时间向量和相应的状态向量。别给出时间向量和相应的状态向量。7.3 7.3 常微分方程初值问题的数值解法常微分方程初值问题的数值解法2022/12/2118解：解：(1)建立函数文件建立函数文件funt.m。function yp=funt(t,y)yp=(y2-t-2)/4/(t+1);(2)求解微分方程。求解微分方程。t0=0;tf=10;y0
18、=2;t,y=ode23(funt,t0,tf,y0);%求数值解求数值解y1=sqrt(t+1)+1;%求精确解求精确解tyy1y为数值解，为数值解，y1为精确值，显然两者近似。为精确值，显然两者近似。例例7-10 设有初值问题，试求其数值解，并与设有初值问题，试求其数值解，并与 精确解相比较精确解相比较(精确解为精确解为y1=sqrt(t+1)+1。)2022/12/2119 MATLAB提供了基于单纯形算法求解函提供了基于单纯形算法求解函数极值的函数数极值的函数fminbnd和和fminsearch，它们分，它们分别用于单变量函数和多变量函数的最小值，别用于单变量函数和多变量函数的最小值
19、，其调用格式为：其调用格式为：x=fminbnd(fname,x1,x2)x=fminsearch(fname,x0)这两个函数的调用格式相似。其中这两个函数的调用格式相似。其中fminbnd函函数用于求单变量函数的最小值点。数用于求单变量函数的最小值点。fname是被是被最小化的目标函数名，最小化的目标函数名，x1和和x2限定自变量的限定自变量的取值范围。取值范围。fminsearch函数用于求多变量函数函数用于求多变量函数的最小值点，的最小值点，x0是求解的初始值向量。是求解的初始值向量。7.4 7.4 函数极值函数极值2022/12/2120 MATLAB没有专门提供求函数最大值的函没有
20、专门提供求函数最大值的函数，但只要注意到数，但只要注意到-f(x)在区间在区间(a,b)上的最小上的最小值就是值就是f(x)在在(a,b)的最大值，所以的最大值，所以fminbnd(f,x1,x2)返回函数返回函数f(x)在区间在区间(x1,x2)上上的最大值。的最大值。2022/12/2121例例7-11 求求f(x)=x3-2x-5在在0,5内的最小值点。内的最小值点。例例7-12 多变量函数极值事例多变量函数极值事例(1)创造一个函数文件创造一个函数文件three_var.mfunction b=three_var(v)x=v(1);y=v(2);z=v(3);b=x.2+2.5*sin(y)-z2*x2*y2;(2)找出函数极值找出函数极值v=-0.6-1.2 0.135;a=fminsearch(three_var,v)