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1、ZhouxlZhouxl 在现实世界中，变量与变量之间的依赖关系可分为在现实世界中，变量与变量之间的依赖关系可分为线性的线性的和和非非线性的线性的两大类。线性代数主要是研究两大类。线性代数主要是研究线性函数线性函数，把问题化为求解线，把问题化为求解线性代数方程组之类的运算。特别在电子计算机出现之后，原来难以性代数方程组之类的运算。特别在电子计算机出现之后，原来难以计算的计算的高阶线性代数方程组高阶线性代数方程组的解可以很快地算出来，这就促进了线的解可以很快地算出来，这就促进了线性代数的广泛应用和发展。性代数的广泛应用和发展。行列式行列式和和矩阵矩阵是讨论和解线性方程组的是讨论和解线性方程组的重
2、要工具。重要工具。10.1 n阶行列式阶行列式本节本节主要内容主要内容1.二、三阶行二、三阶行列式列式的概念的概念3.行列式行列式的性质的性质4.行列式行列式的计算的计算2.n n阶行列阶行列阶行列阶行列式式式式的概念的概念5.克莱姆克莱姆法则法则ZhouxlZhouxl1.1 二阶行列式二阶行列式设二元线性方程组为设二元线性方程组为1.二、三阶行列式二、三阶行列式用消元法求得用消元法求得,当当时时,可得该方程组的惟一解可得该方程组的惟一解化为化为ZhouxlZhouxl定义定义1规定式规定式 并称该式左端为并称该式左端为二阶行列式二阶行列式,右端为右端为二阶行列式的展开式二阶行列式的展开式
3、aij (i=1,2;j=1,2)称为二阶行列式的元素，横排的称为称为二阶行列式的元素，横排的称为行，竖排的称为列行，竖排的称为列其中其中i为行标，为行标，j为列标。为列标。=3524例例1 计算下列行列式计算下列行列式 解原式解原式=解原式解原式=158=ZhouxlZhouxl1.2 三阶行列式三阶行列式 定义定义2 定义用定义用32个数组成的记号个数组成的记号“对角线法对角线法对角线法对角线法”ZhouxlZhouxl例例2 2 计算下列三阶行列式：计算下列三阶行列式：练习练习（书（书P233）ZhouxlZhouxl1.3 余子式和代数余子式余子式和代数余子式 行列式中，将元素行列式中
4、，将元素 aij 所在的行与列划掉，剩余的元素保所在的行与列划掉，剩余的元素保持原来的位置所组成低一阶的行列式称为元素持原来的位置所组成低一阶的行列式称为元素aij 的的余子式余子式，记为记为Mij,定义元素定义元素aij 的的代数余子式代数余子式为为 如，三阶行列式如，三阶行列式的代数余子式的代数余子式，ZhouxlZhouxl练习：求下列行列式的代数余子式练习：求下列行列式的代数余子式 （1）（2）解：解：解：解：ZhouxlZhouxl2.2.、阶行列式、阶行列式定义定义 3阶行列式已经定义，规定阶行列式已经定义，规定4阶行列式阶行列式2 2、n n阶行列式阶行列式ZhouxlZhoux
5、l通常，把上述定义简称为按行列式的第通常，把上述定义简称为按行列式的第1行展开行展开ZhouxlZhouxl解解 因为因为a12 12=a13 13=0=0 所以由定义所以由定义ZhouxlZhouxl2.2.2、n n阶行列式阶行列式 一个三阶行列式可以用三个二阶行列式来表示，所一个三阶行列式可以用三个二阶行列式来表示，所以可以用二阶行列式来定义三阶行列式，可以用三阶以可以用二阶行列式来定义三阶行列式，可以用三阶行列式来定义四阶行列式，行列式来定义四阶行列式，依此类推，一般地，依此类推，一般地，可以用可以用n n个个n n-1-1阶行列式来定义阶行列式来定义n n阶行列式，下面给出阶行列式，
6、下面给出n n阶行列式的定义：阶行列式的定义：定义定义 设设n-1阶行列式已经定义，规定阶行列式已经定义，规定n阶行列式阶行列式ZhouxlZhouxl其中其中 A A1j1j=(-1)=(-1)1+j1+jM M1j 1j(j=1,2,=1,2,n)这里这里M1j为元素为元素a1j的余子式，即为划掉的余子式，即为划掉A的第的第1行第行第j列列后所得的后所得的n-1阶行列式，阶行列式，A1j称为称为a1j的代数余子式的代数余子式ZhouxlZhouxl例例4 4 计算行列式计算行列式(下三角行列式下三角行列式).ZhouxlZhouxl解解 由定义，将由定义，将Dn 按第一行展开，得按第一行展
7、开，得ZhouxlZhouxl行列式行列式D与它的转置行列式与它的转置行列式DT的值相等的值相等 如果行列式的某一行（列）的每一个元素都是二如果行列式的某一行（列）的每一个元素都是二项式，则此行列式等于把这些二项式各取一项作成相应的项式，则此行列式等于把这些二项式各取一项作成相应的行（列），其余的行（列）不变的两各行列式的和行（列），其余的行（列）不变的两各行列式的和3、行列式的性质、行列式的性质性质性质1 1性质性质2 2ZhouxlZhouxl 如果把行列式如果把行列式D的某一列（行）的每一个元素同乘的某一列（行）的每一个元素同乘以一个常数以一个常数k则此行列式的值等于则此行列式的值等于k
8、D也就是说，行列式中某也就是说，行列式中某一列（行）所有元素的公因子可以提到行列式记号的外面一列（行）所有元素的公因子可以提到行列式记号的外面 如果把行列式的某两列（或两行）对调，则所得如果把行列式的某两列（或两行）对调，则所得的行列式与原行列式的绝对值相等，符号相反的行列式与原行列式的绝对值相等，符号相反 如果行列式的某两列（或两行）的对应元素相同，如果行列式的某两列（或两行）的对应元素相同，则此行列式的值等于零则此行列式的值等于零 如果行列式的某两列（或两行）的对应元素成比如果行列式的某两列（或两行）的对应元素成比例，则此行列式的值等于零例，则此行列式的值等于零 “行列式的两列对应元素成比
9、例行列式的两列对应元素成比例”就是指存在一个常数就是指存在一个常数k，使，使ali=kalj(l=1,2n)性质性质3 3性质性质4 4推论推论性质性质5 5ZhouxlZhouxlZhouxlZhouxl 如果把行列式的某一列（行）的每一个元素加上如果把行列式的某一列（行）的每一个元素加上另一列（行）的对应元素的另一列（行）的对应元素的k倍，则所得行列式与原行列式的倍，则所得行列式与原行列式的值相等值相等由于行列式的整个计算过程方法灵活，变化较多，为了便由于行列式的整个计算过程方法灵活，变化较多，为了便于书写和复查，在计算过程中约定采用下列标记方法：于书写和复查，在计算过程中约定采用下列标记
10、方法：1.以（以（r）代表行，（代表行，（c）代表列代表列2.把第把第i 行（或第行（或第i 列）的每一个元素加上第列）的每一个元素加上第j 行（或第行（或第j 列）列）对应元素的对应元素的k倍，记作（倍，记作（ri）+k（rj）或（或（ci）+k（cj）3.互换互换i 行（列）和行（列）和j 行（列），记作（行（列），记作（ri）（rj）或（或（ci）（cj）性质性质6 6ZhouxlZhouxl04320-1-11044700-1600011ZhouxlZhouxlZhouxlZhouxlZhouxlZhouxl 行列式行列式D等于它的任一行（列）的各元素与其对等于它的任一行（列）的各元素
11、与其对应的代数余子式乘积之和，即应的代数余子式乘积之和，即D=ai1Ai1+ai2Ai2+ainAin （i=1,2,n）行列式行列式D的一行元素分别与另一行对应的代数余的一行元素分别与另一行对应的代数余子式之乘积的和等于零，即子式之乘积的和等于零，即aj1Ai1+aj2Ai2+ajnAin=0 （i,j=1,2,n,ij）例例按第三行展开计算行列式按第三行展开计算行列式 性质性质7 7推论推论ZhouxlZhouxlZhouxlZhouxl例例9 9：求四：求四阶阶行列式行列式中元素中元素的余子式和代数余子式，并的余子式和代数余子式，并计计算行列式的算行列式的值值。ZhouxlZhouxl本堂课主要内容本堂课主要内容1.二、三阶行列式二、三阶行列式2.n2.n阶行列式阶行列式3.行列式的性质行列式的性质