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1、高等数学基础微积分第二篇 第一章 不定积分原函数的概念原函数的概念、不定积分的求法、不定积分的求法本章难点：本章难点：原函数的概念、分部积分法原函数的概念、分部积分法本章重点：本章重点：一、不定积分的概念一、不定积分的概念（一）原函数的概念（一）原函数的概念1、回顾求“导数”例如：现在，我们问：这个过程是否可以反过来？即：【定义定义1.1】(P220)【注意】其中c为任意常数所以，都是 的原原函数函数。【例1】给定函数求它的一个原函数。【解解】因为我们知道【例2】给定函数求它的一个原函数。【解解】因为（二）（二）不定积分的定义不定积分的定义定义定义1.2:【例】其中 f(x)称为被积函数，x
2、为积分变量。注意：【例如】记住：求不定积分求不定积分就是求原函数求原函数二、不定积分的求法二、不定积分的求法实际上导数和不定积分是两种互逆运算。所以类似于求初等函数的导数，求初等函数的不定积分，也分三个方面:（1）积分的基本公式；（2）不定积分的四则运算法则；（3）不定积分与复合运算的关系.由前面的分析知道：求导公式反过来就是积分公式（一）不定积分的基本公式（一）不定积分的基本公式也就是说，有一个导数公式，反过来就有一个积分公式 导数基本公式导数基本公式积分基本公式积分基本公式解：解：注意：幂函数求导数会降低幂次，求不定积分 会增加幂次。解：解：解：解：解：解：解：解：解：解：导数基本公式导数
3、基本公式积分基本公式积分基本公式证明：证明：将两个结果统一起来就得到积分公式(3).【解解】导数基本公式导数基本公式积分基本公式积分基本公式导数基本公式导数基本公式积分基本公式积分基本公式以上这些积分基本公式都是需要牢记的另外，有一种方法可以检验不定积分计算的正确与否：就是将计算结果求导数，看是否等于被积函数。积分公式固然重要，但最重要的还是求导公式。系统回顾一下积分基本公式系统回顾一下积分基本公式（二）不定积分的四则运算法则（二）不定积分的四则运算法则实际上都是由求导法则推出来的。例例4：解：解：性质1性质2例例5：解：解：像这种利用不定积分的性质1、2和积分基本公式直接计算出不定积分的方法
4、称为直接积分法直接积分法【练习练习1】课本课本225页，练习页，练习1.2 题题1【解解】性质1求复杂积分的两种方法1、第一换元法（凑微分法）、第一换元法（凑微分法）2、分部积分法、分部积分法（三）第一换元法（凑微分法）（三）第一换元法（凑微分法）分析：分析：【解解】【基本想法基本想法】被积函数复杂时，找一个中间变量将被积函数变成简单函数求积分。用公式表达为：第一换元法（凑微分法）的步骤：第一换元法（凑微分法）的步骤：【解解】解：解：【练习练习2】课本课本236页，练习页，练习1.3 题题2【解解】（四）分部积分法（四）分部积分法主要是用于处理被积函数是两个函数两个函数相乘的形式相乘的形式的不
5、定积分。定理定理1.2（分部积分公式）（分部积分公式）写成微分形式：运用分部积分法求不定积分，主要是要熟练运用分部积分公式。分部积分法求分部积分法求 的的步骤步骤是：是：将左边复杂的积分化为右边简单的积分。解：解：问题：两个函数先找哪个函数的原函数呢？方法是：幂函数乘以三角函数时，先找三角函数 的原函数；幂函数乘以指数函数时，先找指数函数 的原函数；幂函数乘以对数函数时，先找幂函数的 原函数。【解解】幂函数乘以三角函数时，先找三角函数 的原函数；解：解：【注意】连续多次运用分部积分公式解：解：解：解：解：解：一般地，要记住：【练习练习3】课本课本236页，练习页，练习1.3 题题3本本 章章 习习 题题题题1：解：解：题题2：填空题：填空题题题3：解：解：