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1、常用逻辑用语常用逻辑用语总总复习复习金维江知识网络 常常用用逻逻辑辑用用语语命命题题及及其其关关系系简简单单的的逻逻辑辑联联结结词词全全称称量量词词与与存存在在量词量词四种命题四种命题充分条件与必要条件充分条件与必要条件量词量词全称量词全称量词存在量词存在量词含有一个量词的否定含有一个量词的否定或或且且非或非或并集并集交集交集补集补集运算运算命题命题的形式：的形式：“若若P,P,则则q”q”也可写成也可写成 “如果如果P,P,那么那么q”q”的形的形式式也可写成也可写成 “只要只要P,P,就有就有q”q”的形的形式式 通常通常,我们把这种形式的命题中的我们把这种形式的命题中的P叫做叫做命题的命
2、题的条件条件,q叫做叫做结论结论.记做记做:用语言、符号或式子表达的，用语言、符号或式子表达的，可以判断可以判断真假真假的的陈述句陈述句称为称为命题命题其中判断为其中判断为真真的语句称为的语句称为真命题，真命题，判断为判断为假假的的语句语句称为称为假假命题命题一个一个符号符号条件的否定，记作条件的否定，记作“”。读作。读作“非非”。若若p 则则q逆否命题：逆否命题：原命题：原命题：逆命题：逆命题：否命题：否命题：若若q 则则p若若 p 则则 q若若 q 则则 p二、二、四四 种种 命命 题题结论结论1 1：要写出一个命题的另外三个命：要写出一个命题的另外三个命题关键是题关键是分清命题的题设和结
3、论（即分清命题的题设和结论（即把原命题写成把原命题写成“若若P则则Q”的形式）的形式）注意：三种命题中最难写注意：三种命题中最难写 的是的是否命题。否命题。结论2：（1）“或或”的否定为的否定为“且且”，（2）“且且”的否定为的否定为“或或”，（3）“都都”的否定为的否定为“不都不都”。三、四种命题之间的三、四种命题之间的 关系关系原命题原命题若若p则则q逆命题逆命题若若q则则p否命题否命题若若p则则q逆否命题逆否命题若若q则则p互逆互逆互互否否互互否否互逆互逆（2）若其逆命题为真，则其否命题一定为若其逆命题为真，则其否命题一定为真。但其原命题、逆否命题不一定为真。真。但其原命题、逆否命题不一
4、定为真。(1)原命题与逆否命题同真假。原命题与逆否命题同真假。(2)原命题的逆命题与否命题同真假。原命题的逆命题与否命题同真假。（1）原命题为真，则其逆否命题一定为原命题为真，则其逆否命题一定为真。但其逆命题、否真。但其逆命题、否命题不一定为真。命题不一定为真。四、命题真假性判断四、命题真假性判断结论：结论：反证法的一般步骤：反证法的一般步骤：(1)假设命题的结论不成立假设命题的结论不成立,即假即假 设结论的反面成立；设结论的反面成立；(2)从这个假设出发，经过推理从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；论证，得出矛盾；(3)由矛盾判定假设不正确，由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确。
5、从而肯定命题的结论正确。反设反设归谬归谬结论结论反证法反证法充要条件充要条件 如果命题如果命题“若若p p则则q”q”为假，则记作为假，则记作p qp q。如果命题如果命题“若若p p则则q”q”为真，则记作为真，则记作p qp q（或（或q pq p）。）。定义定义:如果如果 ,则说则说p是是q的充分条件的充分条件,q是是p的必要条件的必要条件 p qp q，相当于相当于P q P q，即即 P q P q 或或 P P、q q 从集合角度理解：从集合角度理解：认清条件和结论。认清条件和结论。考察考察p qp q和和q pq p的真假。的真假。可先简化命题。可先简化命题。将命题转化为等价的逆
6、否命题后再判断。将命题转化为等价的逆否命题后再判断。否定一个命题只要举出一个反例即可。否定一个命题只要举出一个反例即可。6 6 判别步骤：判别步骤：7 7 判别技巧判别技巧：判别充要条件判别充要条件问题的问题的充要条件定义充要条件定义:称称:p是是q的的充分必要条件充分必要条件,简称简称充要条件充要条件显然显然,如果如果p是是q的充要条件的充要条件,那么那么q也是也是p的充要条件的充要条件p与与q互为充要条件互为充要条件(也可以说成也可以说成”p与与q等价等价”)1、充分且必要条件、充分且必要条件2、充分非必要条件、充分非必要条件3、必要非充分条件、必要非充分条件4、既不充分也不必要条件、既不
7、充分也不必要条件各种条件的可能情况各种条件的可能情况2、从、从逻辑推理关系逻辑推理关系看充分条件、必要条件看充分条件、必要条件:充分非必要条件充分非必要条件必要非充分条件必要非充分条件1）A B且且B A，则则A是是B的的2）若）若A B且且B A，则则A是是B的的3 3）若）若A BA B且且B AB A，则则A A是是B B的的既不充分也不必要条件既不充分也不必要条件充分且必要条件充分且必要条件4）A B且且B A，则则A是是B的的3、从、从集合与集合的关系集合与集合的关系看充分条件、必要看充分条件、必要条件条件3 3）若）若A BA B且且B AB A，则甲是乙的则甲是乙的2)若若A B
8、且且B A，则甲是乙的，则甲是乙的1）若）若A B且且B A，则甲是乙的则甲是乙的充分非必要条件充分非必要条件必要非充分条件必要非充分条件既不充分也不必要条件既不充分也不必要条件一般情况下若条件甲为一般情况下若条件甲为，条件乙为，条件乙为4）若）若A=B，则甲是乙的，则甲是乙的充分且必要条件充分且必要条件。1.1.在在判判断断条条件件时时，要要特特别别注注意意的的是是它它们们能能否否互互相相推出，切不可不加判断以单向推出代替双向推出推出，切不可不加判断以单向推出代替双向推出.注意点注意点2.2.搞清搞清A A是是B B的的充充分分条条件件与与A A是是B B的的充充分分非非必必要要条条件件之之
9、间间的的区别与联系；区别与联系；A A是是B B的的必必要要条条件件与与A A是是B B的的必必要要非非充充分分条条件件之之间间的的区别与联系区别与联系、注意几种方法的灵活使用：、注意几种方法的灵活使用：定义法、集合法、逆否命题法定义法、集合法、逆否命题法2：填写：填写“充分不必要，必要不充分，充要，充分不必要，必要不充分，充要，既不充分又不必要。既不充分又不必要。1）sinAsinB是是AB的的_条件。条件。2）在）在ABC中，中，sinAsinB是是 AB的的 _条件。条件。既不充分又不必要既不充分又不必要充要条件充要条件注、注、定义法（图形分析）定义法（图形分析）3、ab成立的充分不必要
10、的条件是（）成立的充分不必要的条件是（）A.acbc B.a/cb/c C.a+cb+c D.ac2bc2D4 4.关于关于x x的不等式：的不等式：x x+x-1x-1m m的的 解集为解集为R R的充要条件是的充要条件是()()(A)m (A)m0 (B)m0 0 (B)m0 (C)m (C)m1 (D)m1 1 (D)m1 C练习练习2、1、设集合、设集合M=x|x2,N=x|x3,那么那么”xM或或xN”是是“xMN”的的 A.充要条件充要条件 B必要不充分条件必要不充分条件 C充分不必要充分不必要 D不充分不必要不充分不必要B注、注、集合法集合法2、aR,|a|3成立的一个必要不充分
11、条件是成立的一个必要不充分条件是 A.a3 B.|a|2 C.a29 D.0a 是是 都是都是至多有至多有一个一个 至少有至少有一个一个任任意意的的所有所有的的否定否定不是不是 不都是不都是至少有至少有两个两个没有一没有一个个某某个个某些某些1.4 1.4 全称量词与全称量词与 存在量词存在量词 短语短语”对所有的对所有的”对任意一对任意一个个”在逻辑中通常叫做在逻辑中通常叫做全称量词全称量词,并用符号并用符号“”表示表示.含有全称含有全称量词的命题量词的命题,叫做全称命题叫做全称命题,常见的全称量词还有常见的全称量词还有:“对所有的对所有的”,”对任意一个对任意一个”,”对一切对一切”,”对
12、每一个对每一个”,”任给任给”,”所有的所有的”等等.短语短语”对所有的对所有的”对任意一对任意一个个”在逻辑中通常叫做在逻辑中通常叫做全称量词全称量词,并用符号并用符号“”表示表示.含有全称含有全称量词的命题量词的命题,叫做叫做全称命题全称命题.符号符号 全称命题全称命题”对对M中任意一个中任意一个x有有p(x)成立成立”可用符号简记为可用符号简记为读作读作”对任意对任意x属于属于M,有有p(x)成立成立”.1.4.2 1.4.2 存在量词存在量词 短语短语”存在一个存在一个”至少有一个至少有一个”在在逻辑上通常叫做逻辑上通常叫做存在量词存在量词,并用符号并用符号”表示表示.含有存在量词的命
13、题含有存在量词的命题,叫做叫做特称命特称命题题.常见的存在量词还有常见的存在量词还有”有些有些”有有一个一个”有的有的”对某个对某个”等等.特称命题特称命题”存在存在M中的一个中的一个x,使使p(x)成成立立”可用符号简记为可用符号简记为读做读做”存在一个存在一个x,使使p(x)成立成立”.1.4.3 1.4.3 含有一个量词含有一个量词 的命题的否定的命题的否定 从命题形式上看从命题形式上看,这三个全称命题的否定都这三个全称命题的否定都变成了特称命题变成了特称命题.一般地一般地,对于含有一个量词的全称命题的否对于含有一个量词的全称命题的否定定,有下面的结论有下面的结论:全称命题全称命题p:全
14、称命题的否定是特称命题全称命题的否定是特称命题.从命题形式上看从命题形式上看,这三个特称命题的否定都变这三个特称命题的否定都变成了全称命题成了全称命题.一般地一般地,对于含有一个量词的特称命题的否定对于含有一个量词的特称命题的否定,有下面的结论有下面的结论:特称命题特称命题它的否定它的否定从命题形式上看从命题形式上看,这三个特称命题的否定都变这三个特称命题的否定都变成了全称命题成了全称命题.一般地一般地,对于含有一个量词的特称命题的否定对于含有一个量词的特称命题的否定,有下面的结论有下面的结论:特称命题特称命题特称命题的否定是全称命题.例题选讲例题选讲1、分别写出由下列各种命题构成的“p或q”
15、“p且q”“非p”形式的复合命题：（）（）p：平行四边形对角线相等：平行四边形对角线相等 q：平行四边形对角线互相平分：平行四边形对角线互相平分（）（）p：10是自然数是自然数 q：10是偶数是偶数例例2分别指出下列复合命题的构成形分别指出下列复合命题的构成形式及构成它的简单命题：式及构成它的简单命题：（）（）x=2或或x=3是方程是方程x2 5x+6=0的根的根（）（）既大于既大于3又是无理数又是无理数（）直角不等于（）直角不等于90（）（）x+1x 3（）垂直于弦的直径平分这条弦，（）垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧并且平分这条弦所对的两条弧例3分别写出由下列各种命题构
16、成的“p或q”“p且q”“非p”形式的复合命题,并判断它们的真假：、p：末位数字是0的自然数能被5整除 q：5 x|x2+3x 10=0、p：四边都相等的四边形是正方形 q：四个角都相等的四边形是正方形、p：0 q：x|x2 3x 50 R、p:不等式x2+2x 80解集是：x|4x2 q:不等式x2+2x 80解集是：x|x 2 例4把下列改写成“若p则q”的形式，并判断它们的真假：（）实数的平方是非负数。（）等底等高的两个三角形是全等三角形。（）被6整除的数既被3整除又被2整除。（）弦的垂直平分线经过圆心，并平分弦所对的弧。例5写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并分别判断真假：（）面
17、积相等的两个三角形是全等三角形。（）若x=0则xy=0。（）当cbc则ab。（）若mnb2 q：ab 则则p是是q的（）的（）（）（）p：x|x 2或或x3 q：x|x2 x 60 则则p是是q的（）的（）（）（）p：a与与b都是奇数都是奇数 q：a+b是偶数是偶数 则则p是是q的（）的（）（）（）p：0m/q：方程：方程mx2 2x+3=0有两个同号且不相等的实数根，有两个同号且不相等的实数根，则则p是是q的（）的（）例8判断下列命题的真假：（）(x 2)(x+3)=0是(x 2)2+(y+3)2=0的充要条件。（）x2=4x+5是 xx2的必要条件。(3)内错角相等是两直线平行的充分条件。(4)ab0是|a+b|x-1；（2）不存在实数x，x2+12x；（3）已知集合A B，如果对于任意的元素xA，那么xBB；（4）已知集合A B，存在至少一个元素xB，使得xA；例1已知关于x的方程(1 a)x2+(a+2)x 4=0 a R求：1)方程有两个正根的充要条件；2)方程至少有一个正根的充要条件。