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1、 -路径最短的问题路径最短的问题【学习目标学习目标】利用轴利用轴对称对称、平移平移，旋转旋转变换等转变换等转化思想，结合化思想，结合线段公理线段公理，三角形三边三角形三边关系定理关系定理解决解决最短路径最短路径问题。问题。【学习重、难点学习重、难点】通过轴对称、平移解决将军饮马通过轴对称、平移解决将军饮马和三角形周长和动点路程问题和三角形周长和动点路程问题;如何理如何理解通过轴对称、平移解决路径一定是解通过轴对称、平移解决路径一定是最短最短.2.图中点C与直线AB上所有的连线中哪条线最短？-垂线段最短垂线段最短”3.3.相传，古希腊有一位久负盛名相传，古希腊有一位久负盛名的学者，名叫海伦有一天
2、，一的学者，名叫海伦有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题：百思不得其解的问题：BAl 从图中的从图中的A 地出发，到一条地出发，到一条笔直的河边笔直的河边l 饮马，然后到饮马，然后到B 地地到河边什么地方饮马可使他到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？所走的路线全程最短？一、基本要求：一、基本要求：在直线在直线 a外同侧有两个点外同侧有两个点A、B，在直线，在直线 a上找一点上找一点P，使点，使点P到到A、B两个点的距离之两个点的距离之和最短和最短.APP注：求线段和最短，可注：求线段和最短，可以通过以通过对称对称，转化成，转化成求求两点之
3、间线段最短两点之间线段最短的的问题问题二、变式训练二、变式训练1、D、E是是ABC边边AB、AC上的定点，上的定点，在在BC上求一点上求一点M，使，使DEM的周长最短的周长最短.DM注：注：求三角形周求三角形周长最短，当一边长最短，当一边固定时，就是求固定时，就是求线段和最短。线段和最短。xy 2、点、点A（0，1）和点）和点B（4，3），在），在x轴上有一点轴上有一点C,使使ABC的周长最小。请的周长最小。请你确定点你确定点C的坐标是的坐标是_。AC提示提示：找出：找出A关于关于X轴的轴的对称点对称点A,求出求出yAB=x-1C（1，0）注：注：平面直角坐标系平面直角坐标系内找内找对称点对称
4、点时，时，坐标轴坐标轴上点上点的对称点坐标比较好确定。的对称点坐标比较好确定。令令y=0,求出求出P点坐标点坐标3、E为边长是为边长是2的正方形的正方形ABCD的边的边BC的的中点，在对角线中点，在对角线AC上有一点上有一点M，BM+EM的最小值是的最小值是_。M利用正方形的对称利用正方形的对称性，构造直角三角性，构造直角三角形，进行线段长度形，进行线段长度的计算。的计算。4、已知如图，、已知如图，MN是是 O的直径，的直径，MN=2点点A在在 O上，上，AMN=300,B为弧为弧AN的中的中点，点，P是直径是直径MN上的一个动点，则上的一个动点，则PA+PB的最小值为的最小值为_。PA课堂总
5、结：课堂总结：1、基本知识点：、基本知识点：2、基本方法：、基本方法：4、需要注意：、需要注意：3、基本思想：、基本思想：两点之间线段最短。两点之间线段最短。求求线段和线段和最短的问题通过对称，最短的问题通过对称，转化成两点之间线段最短问题。转化成两点之间线段最短问题。这种方法只能解决这种方法只能解决两点之间最短距离两点之间最短距离的问题，的问题，点到线间的最短距离指的是点到线间的最短距离指的是垂线段垂线段的长。的长。转化的思想；构造的思想；方转化的思想；构造的思想；方程的思想。程的思想。三、中考连接三、中考连接如图，在平面直角坐标系中，如图，在平面直角坐标系中，A、B两点坐标两点坐标分别为分
6、别为A（-2，0）、）、B（8，0），以为），以为AB直直径的径的 P与与y轴交于轴交于M，以，以AB为一边做正方形为一边做正方形ABCD（1）求）求C、M两点坐标；两点坐标；（2）在）在x轴上是否存在轴上是否存在 一点一点Q，使得的，使得的QMC 周长最小？若存在，周长最小？若存在，求出点求出点Q的坐标；的坐标；若不存在，说明理由若不存在，说明理由.5、如图，已知二次函数如图，已知二次函数y=axy=ax2 2-4x+c -4x+c 的图象的图象与坐标轴交于点与坐标轴交于点A A（-1-1，0 0）和点）和点B B（0 0，-5-5）（1 1）求该二次函数的解析式；）求该二次函数的解析式；（
7、2 2）已知该函数图象的对称轴上存在一点）已知该函数图象的对称轴上存在一点P P，使得使得ABPABP的周长最小请求出点的周长最小请求出点P P的坐标的坐标xOAByBP分析：分析：因为因为AB的长的长是确定的，故是确定的，故ABP的周长最小的周长最小时时AP+BP的和为的和为最小，所以可作出最小，所以可作出右图所示的图右图所示的图7 7、已知直角梯形已知直角梯形ABCDABCD中，中，ADBCADBC，ABBCABBC，AD=2AD=2，BC=DC=5BC=DC=5，点，点P P在在BCBC上移动，则当上移动，则当PA+PDPA+PD取最小值时，取最小值时，APDAPD中边中边APAP上的高
8、为上的高为（）B B、C C、D D、3 3C A A、四、能力拓展四、能力拓展如图，如图，D是是 ABC内的一点，在内的一点，在AB上找上找一点一点E，在，在AC上找一点上找一点F，使，使 EFD的周的周长最短长最短.EF课堂小结课堂小结不管在什么背景下，有关两线段之和最小问题，不管在什么背景下，有关两线段之和最小问题，总是化归到总是化归到“两点之间的所有连线中，线段最短两点之间的所有连线中，线段最短”，而转化的方法大都是借助于，而转化的方法大都是借助于“轴对称点轴对称点”，实现实现“折折”化化“直直”本节课我们学习了本节课我们学习了 问题，问题，这类问题的解题方法是怎样的？这类问题的解题方
9、法是怎样的？两线段和的最小值两线段和的最小值数学思想：数学思想：转化思想转化思想3、边长为、边长为2的等边三角形的等边三角形ABC中，点中，点D、E是是AB、AC的中点，在的中点，在BE上找一点上找一点P,使使ADP的最小周长是的最小周长是_。DP注：充分利用注：充分利用等边等边三角形三角形的对称轴是的对称轴是中线（高线、角平中线（高线、角平分线）所在直线这分线）所在直线这一特性。一特性。ABCMN1、D、E是是ABC边边AB、AC上的定点，在上的定点，在BC上上求一点求一点M，使，使DEM的的周长最短周长最短.1、如下图，为了做好国庆期间的交通安全工作，某交警执勤小队从A处出发，先到公路l1
10、上设卡检查，再到公路l2上设卡检查，最后再到达B地执行任务，他们如何走才能使其总路程最短.B.A问题二（造桥选址问题）如图问题二（造桥选址问题）如图13.4-6,A和和B两地在一条两地在一条河的两岸河的两岸,现要在河上造一座桥现要在河上造一座桥MN.桥造在何处可使从桥造在何处可使从A到到B的路径的路径AMNB最短最短?（假定河的两岸是平行的直（假定河的两岸是平行的直线线,桥要与河垂直桥要与河垂直.)将实际问题中将实际问题中A，B两地与两地与笔直的河笔直的河L抽象成点抽象成点A.点点B和和直线直线a,b如图如图8A A B B b bM M N N 图图8 8A A B B b bM M N N A A 图图1111 将将A点往直线点往直线a的垂直方向平移的垂直方向平移MN个单位后到个单位后到A，连结，连结A,B,与直线与直线b相交的一点为相交的一点为N点点,再过再过N点点作作NM a,与直线与直线a的交点为的交点为M.即即MN为所求为所求AM+MN+NB最短的位置（如图）最短的位置（如图）.a作图过程：作图过程：