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1、2023年数列6.1 数列的概念及简数列单表示法(教案) 响水二中高三数学（理）一轮复习教案 第六编 数列 主备人 张灵芝 总第26期 6.1 数列的概念及简单表示法 基础自测 1.下列对数列的理解有四种： 数列可以看成一个定义在N（或它的有限子集1，2，3，n）上的函数；数列的项数是有限的；数列若用图象表示，从图象上看都是一群孤立的点；数列的通项公式是惟一的.其中说法正确的是 （填序号）.答案 2.设an=-n+10n+11，则数列an从首项到第 项的和最大.答案 10或11 3.(2023安徽文，15)在数列an中,an=4n-52* ,a1+a2+an=an+bn,nN,其中a、b为常数
2、，则22*ab= .答案 -1 3n+1(n为奇数)，4.已知数列an的通项公式是an=则a2a3= .2n-2(n为偶数)，答案 20 5.（2023 北京理，6）已知数列an对任意的p,qN满足ap+q=ap+aq且a2=-6,那么a10= .答案 -30 *例题精讲 例1 写出下面各数列的一个通项公式： （1）3，5，7，9，； （2）（3）-1， 1371531，； 322481631313210172637，-，-，； （4），-1，-，-，； 111323456379（5）3，33，333，3 333，.解 （1）各项减去1后为正偶数，所以an=2n+1.（2）每一项的分子比分母少
3、1，而分母组成数列2，2，2，2，所以an= 1 23 42n-12n.（3）奇数项为负，偶数项为正，故通项公式中含因子（-1）n；各项绝对值的分母组成数列1，2，3，4，；而各项绝对值的分子组成的数列中，奇数项为1，偶数项为3，即奇数项为2-1，偶数项为2+1， 165 1-(n为正奇数)2+(-1)nn所以an=（-1）.也可写为an=.3n(n为正偶数)nn（4）偶数项为负，奇数项为正，故通项公式必含因子（-1）n，观察各项绝对值组成的数列，从第3项到第6项可见，分母分别由奇数7，9，11，13组成，而分子则是3+1，4+1，5+1，6+1，按照这样 22 2 2 +112+122+1n
4、2+1+1n的规律第 1、2两项可改写为，-，所以an=(-1).22+12+12n+1（5）将数列各项改写为2349999999999，分母都是3，而分子分别是 33331(10n-1).310-1,10-1,10-1,10-1,所以an=例2 已知数列的通项公式为an=n2n2+1.（1）0.98是不是它的项？ （2）判断此数列的增减性.解 （1）假设0.98是它的项，则存在正整数n,满足n=7时成立，0.98是它的项.（2）an+1-an=(n+1)2(n+1)+12n2n+12=0.98，n=0.98n+0.98. 22-n22n+1(n+1)+1(n+1)= 2n+1220.此数列为
5、递增数列. 1,求an.2例 3、已知数列an的前n项和Sn满足an+2SnSn-1=0 (n2),a1=解 当n2时，an=Sn-Sn-1,Sn-Sn-1+2SnSn-1=0，即 11-=2， SnSn-11111数列是公差为2的等差数列.又S1=a1=，=2，=2+（n-1）2=2n， S2SSn1nSn=1111当n2时，an=-2SnSn-1=-2=-， 2n2n2(n-1)2n(n-1)1(n=1)2an= 1-(n2)2n(n-1)巩固练习 1.根据下面各数列前几项的值，写出数列的一个通项公式： （1）2468101925， （2），2，8， 992315356322（3）5，55
6、，555，5 555，55 555， （4）5，0，-5，0，5，0，-5，0， 166 （5）1，3，7，15，31， 解（1）这是一个分数数列，其分子构成偶数数列，而分母可分解成13，35，57，79，911，每一项都是两个相邻奇数的乘积，经过组合，则所求数列的通项公式an= 2n. (2n-1)(2n+1)（2）数列的项，有的是分数，有的是整数，可将数列的各项都统一成分数再观察： 1491625n2，可得通项公式an=.222222n个n个n个67867856474855（3）联想99L9=10n-1,则an=55L5=(99L9)=(10n-1),即an= (10n-1). 999（4
7、）数列的各项都具有周期性，联想基本数列1，0，-1，0，则an=5sin2 3np.2（5）1=2-1，3=2-1，7=2-1，an=2n-1，故所求数列的通项公式为an=2n-1.2.已知函数f（x）=2x-2-x，数列an满足f（log2an）=-2n.（1）求数列an的通项公式；（2）求证：数列an是递减数列.（1）解 f（x）=2x-2x，f（log2an）=2log2an-2-log2an=-2n，即an- 1=-2n.ana2n-2n4n2+4+2nan-1=0.an=，又an0，an=n2+1-n.22(n+1)2+1-(n+1)an+1n2+1+n（2）证明 an0，且an=n
8、+1-n,=1. an22n+1-n(n+1)+1+(n+1)an+1an.即an为递减数列.3.已知在正项数列an中，Sn表示前n项和且2Sn=an+1，求an.解 2Sn=an+1,Sn=当n2时，an=Sn-Sn-1=112(a2n+2an+1),Sn-1=(an-1+2an-1+1), 4412（a2，整理可得：（an+an-1）（an-an-1-2）=0， n-an-1）+2（an-an-1）4an0，an-an-1=2，当n=1时，a1=1,an是以1为首项，2为公差的等差数列.an=2n-1 (nN).*回顾总结 知识 方法 167 思想 课后练习 一、填空题 1.数列1，2，2
9、，3，3，3，4，4，4，4，5，的第100项是 .答案 14 2.数列an中，a1=1,对于所有的n2，nN都有a1a2a3an=n，则a3+a5= .答案 61 1681524，-，的一个通项公式是 .957n(n+2) 2n+1* 23.数列-1,答案 an=(-1)n4.下图是用同样规格的黑、白两色正方形瓷砖铺设的若干图案，则按此规律第n个图案中需用黑色瓷砖 块.（用含n的代数式表示） 答案 4n+8 5.已知数列an的前n项和Sn=n-9n，第k项满足5ak8，则k= .答案 8 6.若数列an的通项公式an=21(n+1)2，记f（n）=2(1-a1)(1-a2)(1-an)，试通
10、过计算f(1),f(2),f(3)的值，推测出f(n)= (用含n的代数式表示）.答案 n+2 n+112a0a,n,n327.（2023沈阳模拟）数列an满足an+1=，a1=，则数列的第2 008项为 . 52a-1,1a1,nn2答案 4 58.已知数列an中,a1=1,(n+1)an=nan+1,则数列an的一个通项公式an= . 168 答案 n 二、解答题 9.已知数列an的前n项和为Sn，满足log2(1+Sn)=n+1,求数列的通项公式.解：Sn满足log2(1+Sn)=n+1,1+Sn=2n,Sn=2n-1.a1=3,an=Sn-Sn-1=(2n-1)-(2n-1)=2n (
11、n2), 3an的通项公式为an=n2(n=1),(n2).+ 1+1 +1 10.已知数列an中，a1=1,前n项和为Sn，对任意的n2,3Sn-4,an,2- 3Sn-1总成等差数列.2（1）求a 2、a 3、a4的值；（2）求通项公式an.解 （1）当n2时，3Sn-4,an,2-由a1=1,得a2=3(1+a2)-4,a2=111，a3=-，a4=.2483Sn-13成等差数列，2an=3Sn-4+2-Sn-1，an=3Sn-4（n2）.22111111,a3=31+a3-4,a3=-,a4=31+-+a4-4,a4=.248224a2= 3Sn=an+4a1（2）当n2时，an=3S
12、n-4,3Sn=an+4,可得:3an+1=an+1-an,n+1=-， 2an3Sn+1=an+1+4a2，a3，an成等比数列，an=a2qn= -2 11-22n-21=-2n-11，an=1n-1-2(n=1)(n2).11.在数列an中，a1=11*，an=1-(n2,nN)，数列an的前n项和为Sn.2an-1（1）求证：an+3=an;(2）求a2 008.（1）证明 an+3=1-1an+2=1-1-11an+1=1-1-111-1an=1-111-an-1an =1-11=1-anan-1-an1-an-1an-1=1- 1=1-(1-an)=an.an+3=an.-1an-
13、1（2）解 由（1）知数列an的周期T=3， a1=2 111，a2=-1，a3=2.又a2 008=a3669+1=a1=.a2 008=.22212.已知二次函数f(x)=x-ax+a (xR)同时满足：不等式f(x)0的解集有且只有一个元素；在定义 169 域内存在0x1x2,使得不等式f(x1)f(x2)成立.设数列an的前n项和Sn=f（n）.（1）求函数f(x)的表达式；（2）求数列an的通项公式.解（1）f（x）0的解集有且只有一个元素，=a-4a=0a=0或a=4， 当a=4时，函数f(x)=x-4x+4在（0，2）上递减，故存在0x1x2,使得不等式f(x1)f(x2)成立，
14、 当a=0时，函数f(x)=x在（0,+）上递增，故不存在0x1x2,使得不等式f(x1)f(x2)成立， 综上，得a=4,f(x)=x-4x+4.（2）由（1）可知Sn=n-4n+4， 当n=1时，a1=S1=1, 当n2时，an=Sn-Sn-1=(n-4n+4)-(n-1)-4(n-1)+4=2n-5, 2 22222 21an=2n-5 (n=1).(n2) 170 数列6.1 数列的概念及简数列单表示法(教案) 数列6.1 数列的概念及简数列单表示法(学案) 数列的概念与简单表示法 教案（优秀） 2.1数列的概念与简单表示法教案 基础夯实：数列的概念与简单表示法 数列、数列的通项公式教案 数列的概念教学设计 等差数列的概念及通项公式 等比数列的概念(教案) 等比数列的概念教案