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1、Word 文档下载后（可任意编辑）安徽省亳州市利辛县第一高级职业中学安徽省亳州市利辛县第一高级职业中学 20212021 年高三数学理测年高三数学理测试题含解析试题含解析一、一、选择题：本大题共选择题：本大题共 1010 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 5050 分。在每小题给出的四个选项中，只有分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的是一个符合题目要求的1.已知，则（A）（B）（C）（D）参考答案：参考答案：D2.已知球的直径 SC=4，A，B 是该球球面上的两点，AB=2ASC=BSC=45则棱锥 SABC的体积为ABCD参考答案：参考答案：C略3.已知全集，
2、则（）ABCD参考答案：参考答案：B，所以，所以，选 B.4.已知四棱锥 P-ABCD 的侧棱长与底面边长都相等，点是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（）A.B.C.D.参考答案：参考答案：C略5.如图，设 F 是图中边长为 1 的正方形区域，E 是分别以 B，D 为圆心，1 为半径的圆的公共部分，向 F 中随机投一点，则该点落入 E 中的概率为（）A BC D参考答案：参考答案：D6.已知，则A B C D参考答案：参考答案：B7.已知向量 i 与 j 不共线,且，若 A、B、D三点共线，则实数m、n应该满足的条件是(A)m+n=m+n=1(B)m+n=-1(C)mn=1 1(D)mn=
3、-1(D)mn=-1参考答案：参考答案：C8.下列命题错误的是（）Word 文档下载后（可任意编辑）A.不在同一直线上的三点确定一个平面B.两两相交且不共点的三条直线确定一个平面C.如果两个平面垂直，那么其中一个平面内的直线一定垂直于另一个平面D.如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线一定平行于另一个平面参考答案：参考答案：C如果两个平面垂直，那么其中一个平面内的直线不一定垂直于另一个平面，可能相交或平行于另一个平面，故命题错误.试题立意：本小题考查空间直线和平面的位置关系，直线与平面垂直的判定与性质定理等基础知识；意在考查学生空间想象能力.9.中,、C 对应边分别为、.若,且此三角形有两
4、解,则的取值范围为()A.B.C.D.参考答案：参考答案：A10.在区间上随机地取两个数 x、y,则事件“”发生的概率为A.B.C.D.参考答案：参考答案：D二、二、填空题填空题:本大题共本大题共 7 7 小题小题,每小题每小题 4 4 分分,共共 2828分分11.甲、乙两人同时参加一次数学测试，共10 道选择题，每题均有四个选项，答对得3 分，答错或不答得 0 分，甲和乙都解答了所有试题，经比较，他们只有2 道题的选项不同，如果甲乙的最终得分的和为 54 分，那么乙的所有可能的得分值组成的集合为参考答案：参考答案：24，27，30【考点】计数原理的应用；集合的表示法【分析】以甲全对，乙全对
5、，甲乙各错一道，进行分析即可求出答案【解答】解：若甲全对，则乙的得分为54310=24，则此时乙做对了 8 道题，则甲乙恰有 2 道题的选项不同，若乙全对，则甲的得分为 54310=24，则此时甲做对了 8 道题，则甲乙恰有 2 道题的选项不同，若甲做错了一道，则乙的得分为 5439=27，则此时乙做对了 9 道题，即甲乙错的题目不是同一道题，故乙的得分为24，27，30，故答案为24，27，3012.九章算术“竹九节”问题：现有 1根 9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共 3升，下面 3节的容积共 4升，则第五节的容积为.参考答案：参考答案：13.已知函数 f（x）=3
6、x的反函数是 f1（x）且 f1（18）=a+2，则 3a=参考答案：参考答案：2【考点】反函数【分析】由已知中函数 f（x）=3x的反函数是 f1（x）且 f1（18）=a+2，我们可得 f（a+2）=3a+2=18，进而根据指数函数的运算性质得到3a的值【解答】解：函数 f（x）=3x的反函数是 f1（x）Word 文档下载后（可任意编辑）又f1（18）=a+2，f（a+2）=3a+2=18即 3a?32=183a=2故答案为：214.定义在上的函数满足：（c,为正常数）；当时，.若函数的所有极大值点均在同一条直线上，则c=_参考答案：参考答案：1或者 215.已知抛物线，过点任作一条直线
7、和抛物线交于、两点，设点，连接，并延长，分别和抛物线交于点和，则直线过定点参考答案：参考答案：16.已知函数的单调递增区间为参考答案：参考答案：17.若函数是1,2上的单调函数，则实数a的取值范围为_参考答案：参考答案：略三、三、解答题：本大题共解答题：本大题共 5 5 小题，共小题，共 7272 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数 f（x）=lnx，g（x）=f（x）+ax23x，函数 g（x）的图象在点（1，g（1）处的切线平行于 x 轴（）求 a 的值；（）求函数 g（x）的极小值；（III）设斜率为 k 的直线与函数 f（
8、x）的图象交于两 A（x1，y1），B（x2，y2），（x1x2），证明：k参考答案：参考答案：【考点】6D：利用导数研究函数的极值；6B：利用导数研究函数的单调性【分析】（）求出函数 g（x）的导数，根据切线方程求出 a 的值即可；（）求出 g（x）的导数，得到函数 g（x）的导数，从而求出函数 g（x）的极小值即可；（）法一：表示出 k，问题转化为即证，令（t1），即证（t1），令 k（t）=lntt+1（t1），根据函数的单调性证明即可；法二：依题意得，令 h（x）=lnxkx，根据函数的单调性证明即可【解答】解：（）依题意得 g（x）=lnx+ax23x，则由函数 g（x）的图象在点（
9、1，g（1）处的切线平行于 x 轴得：g（1）=1+2a3=0a=1（4 分）（）由（）得=函数 g（x）的定义域为（0，+），令 g（x）=0 得或 x=1函数 g（x）在上单调递增，在单调递减；在（1，+）上单调递增，故函数 g（x）的极小值为 g（1）=2（8 分）（III）证法一：依题意得，要证，即证因 x2x10，即证令（t1），即证（t1）（9 分）Word 文档下载后（可任意编辑）令 k（t）=lntt+1（t1）则k（t）在（1，+）上单调递减，（10 分）k（t）k（1）=0 即 lntt+10，lntt1令（t1）则0h（t）在（1，+）上单调递增，（11 分）h（t）h（
10、1）=0，即（t1）综得（t1），即（12 分）证法二：依题意得，令 h（x）=lnxkx，则，由 h（x）=0 得，当时，h（x）0，当时，h（x）0，h（x）在单调递增，在单调递减，又 h（x1）=h（x2），即（12 分）【点评】本题考查了函数的单调性问题、考查导数的应用以及分类讨论思想，考查不等式的证明，是一道综合题19.过抛物线 y2=2px（p 为不等于 2 的素数）的焦点 F，作与 x 轴不垂直的直线 l 交抛物线于 M、N 两点，线段 MN 的垂直平分线交 MN 于点 P，交 x 轴于点 Q（1）求 PQ 的中点 R 的轨迹 L 的方程；（2）证明：轨迹 L 上有无穷多个整点，
11、但 L 上任意整点到原点的距离均不是整数参考答案：参考答案：【考点】J3：轨迹方程【分析】（1）由抛物线方程求出焦点坐标，再由题意设出直线l 的方程为 y=k（x）（k0），联立直线方程和抛物线方程，化为关于x 的一元二次方程，利用根与系数关系得到P 点坐标，结合PQl，求得 PQ 的方程，再设 R 的坐标为（x，y），再由中点坐标公式求得 PQ 的中点 R 的轨迹 L 的方程；（2）直接得到对任意非零整数 t，点（p（4t2+1），pt）都是 l 上的整点，说明 l 上有无穷多个整点再反设 l 上由一个整点（x，y）到原点的距离为正数 m，不妨设 x0，y0，m0，然后结合 p 是奇素数、点
12、在抛物线上及整点（x，y）到原点的距离为正数 m，逐渐推出矛盾，说明 l 上任意整点到原点的距离均不是整数【解答】（1）解：y2=2px 的焦点 F（），设直线 l 的方程为 y=k（x）（k0），由，得，设 M，N 的横坐标为 x1，x2，则，得，由 PQl，得 PQ 的斜率为，故 PQ 的方程为，代入 yQ=0，得，设 R 的坐标为（x，y），则，整理得：p（xp）=，PQ 的中点 R 的轨迹 L 的方程为 4y2=p（xp）（y0）；（2）证明：显然对任意非零整数 t，点（p（4t2+1），pt）都是 l 上的整点，故 l 上有无穷多个整点反设 l 上由一个整点（x，y）到原点的距离为正
13、数 m，不妨设 x0，y0，m0，则，p 是奇素数，于是 y 整除 p，由可推出 x 整除 p，再由可推出 m 整除 p，令 x=px1，y=py1，m=pm1，则有，Word 文档下载后（可任意编辑）由，得：，于是，即（8x1+1+8m1）（8x1+18m1）=17，则 8x1+1+8m1=17，8x1+18m1=1，得 x1=m1=1，故 y1=0，有 y=py1=0，与 l 上的点满足 y0 矛盾轨迹 l 上有无穷多个整点，但 l 上任意整点到原点的距离均不是整数20.在中，内角的对边分别为，设平面向量，且（）求；（）若，求中边上的高.参考答案：参考答案：（1）因为，所以，即，即，根据正
14、弦定理得，所以，所以；（2）由余弦定理，又，所以，根据的面积，即，解得，所以中边上的高21.选修 44：坐标系与参数方程已知曲线的极坐标方程是，以极点为原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线 的参数方程.（1）写出直线 的普通方程与曲线的直角坐标方程；（2）设曲线经过伸缩变换得到曲线，设曲线上任一点为，求的最小值.参考答案：参考答案：（）4分（）曲线7分令9分最小值10分略22.已知函数 f（x）=alnxbx2图象上一点 P（2，f（2）处的切线方程为 y=3x+21n2+2（I）求 a，b的值；（）若方程 f（x）+m=0在，e内有两个不等实根，求 m 的取值范围（e为自然对数的底数）；（）令 g（x）=f（x）kx，若 g（x）的图象与 x 轴交于 A（x1，0），B（x2，0）（其中 x1x2），AB的中点为 C（xO，0），求证：g（x）在 xO处的导数 g（xO）0Word 文档下载后（可任意编辑）参考答案：参考答案：略