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1、刚体力学刚体的转动惯量专题1.刚体的转动惯量的三要素刚体对某轴的转动惯量，是描述刚体在绕该轴的转动过程中转动惯性的物理量.有转动惯量的定义式I mr可看出，刚体的2i i转动惯量是与下列三个因素有关的.（1）与刚体的质量有关.例如半径相同的两个圆柱体，而它们的质量不同，显然，对于相应的转轴，质量大的转动惯量也较大.第 1 页 共 127 页刚体力学（2）在质量一定的情况下，与质量的分布有关.例如，质量相同、半径也相同的圆盘与圆环，二者的质量分布不同，圆环的质量集中分布在边缘，而圆盘的质量分布在整个圆面上，所以，圆环的转动惯量较大.（3）还与给定转轴的位置有关，即同一刚体对于不同的转轴，其转动惯
2、量的大小也是不等的.例如，同一细长杆，对通过其质心且垂直于杆的转轴和通过其一端且垂直于杆的转轴，二者的转动惯量不相同，且后者较大.这是由于转轴的位置不同，从而也就影响了转动惯量的大小.第 2 页 共 127 页刚体力学刚体的转动惯量的三要素：刚体的总质量、刚体的质量分布情况、转轴的位置.2.转动惯量的普遍公式转动惯量的普遍公式（1）转动惯量的定义式转动惯量的定义式I mr 12i i可知，对于形状规则、质量均匀分布的连续刚体，其对特殊轴的转动惯量的计算可借助于定积分.这是，可设想将刚体分成许多小线元、面元、体元.第 3 页 共 127 页刚体力学dm dxdm dSdm dV于是I r2dm
3、r2dxlI r2dm r2dSSI r2dm r2dVV一般说来，这是个三重的体积分，但对于有一定对称性的物体，积分的重数可以减少，甚至不需要积分.（2）刚体对某轴的转动惯量刚体对z轴的转动惯量Izr2 z2dm x2 y2dm 2a第 4 页 共 127 页刚体力学刚体对x轴的转动惯量Ixr2 x2dm y2 z2dm 2b刚体对y轴的转动惯量Iyr2 y2dm x2 z2dm 2c仿照刚体对某轴的转动惯量来定义刚体对于某点的转动惯量：刚体中各质点的质量各自与其至某（参考）点的距离的平方的乘积，所得总和称为刚体对该点的转动惯量.（3）刚体对某点的转动惯量刚体对坐标原点O的转动惯量可表示为第
4、 5 页 共 127 页刚体力学I由式 2、3，得Ox2 y2 z2dm 3 4IO1Ix Iy Iz2即，质点系（刚体）对于坐标原点的转动惯量（或极转动惯量），等于它对于三个坐标轴的转动惯量之和的一半.3.刚体的平行轴定理（许泰乃尔定理）I ICmd2 5第 6 页 共 127 页刚体力学即，刚体对于任何一轴的转动惯量，等于刚体对于通过它的质心并与该轴平行的转动惯量，加上刚体的质量与两轴间距离平方的乘积.注意：平行轴定理与刚体对质心轴的转动惯量紧密联系在一起，应用此定理的参考点是刚体对质心轴的转动惯量.根据平行轴定理，可得到如下关系：（1）刚体绕通过质心的轴的转动惯量小于绕另一平行轴的转动惯
5、量，二者之差为md.2（2）设有两条平行轴PP与QQ均不通过质心C.如果PP比QQ靠第 7 页 共 127 页刚体力学近C，则刚体绕PP轴的转动惯量小于绕QQ轴的转动惯量（如图7.52(a)所示）.QPC CC CQ P 图 7.52 平行轴定理的应用(a)在不同圆上；(b)同一圆上(a)(b)第 8 页 共 127 页刚体力学（3）如果有一簇与质心C的距离相等的平行轴，那么，刚体绕这些轴的转动惯量均相等（如图 7.52(b)所示）.4.刚体的垂直轴定理（正交轴定理、薄片定理）设想刚体为平面薄片，即厚度可以略去不计，因而刚体为平面图形.Iz Ix Iy 6即，平面图形对于图形内的两条正交轴的转
6、动惯量之和，等于这第 9 页 共 127 页刚体力学个图形对过二轴交点且垂直于图形平面的那条转轴的转动惯量.注意：正交轴定理对于有限厚度的板不成立.5.转动惯量的叠加原理转动惯量的叠加原理实际上，有些物体是由几种形状不同的刚体的组合.它对于某轴的转动惯量，可视为各部分对于同一转轴的转动惯量之和，因而，I I I I 7123即，由几个部分组成的刚体对某轴的转动惯量，等于各部分对同第 10 页 共 127 页刚体力学轴的转动惯量之和.此即转动惯量的叠加原理.叠加原理是根据加法的组合定则，把属于各部分的项分别相加，然后求和而得.同理，设有一物体挖去若干部分，则剩余部分的转动惯量，等于原物体的转动惯
7、量，减去挖去部分的转动惯量.例题例题 11 在质量为m，半径为R的匀质圆盘上挖出半径为r的两个圆孔，圆孔中心在半径R的中点，求剩余部分对过大圆盘中心且与盘面垂直的轴线的转动惯量.第 11 页 共 127 页刚体力学RrO1OrO2图 7.53 转动惯量的叠加原理的应用 解解 大圆盘对过圆盘中心O且与盘面垂直的轴线（以下简称O轴）的转动惯量为I12mR2.由于对称放置，两个小圆盘对O轴的转动惯量相等，设第 12 页 共 127 页刚体力学为I，圆盘质量的面密度=m，根据平行轴定理，有R21mr412222 RI rr r2mr222R42设挖去两个小圆盘后，剩余部分对O轴的转动惯量为I 1r41
8、21222r42I I 2I mR m2mr mR r 22R22R6.转动惯量的标度变换法转动惯量的标度变换法转动惯量的标度变换法是计算转动惯量的一种简便的方法.由于在几何上具有相似性的均匀物体，它们对相应转轴的转动惯第 13 页 共 127 页刚体力学量的表达式也具有相似性，在根据转动惯量的平行轴定理、叠加原理等，确定彼此关系，比较系数，从而获得物体对该轴的转动惯量.故这种方法可以不用积分即能求得某些特殊形状的物体的转动惯量.例题例题 22 求均匀立方体绕通过面心的中心轴的转动惯量I.C第 14 页 共 127 页刚体力学O Ol l图 7.54 标度变换法用于计算立方体对通过面心的中心轴
9、的转动惯量 解解 令立方体的总质量为m，边长为l，设均匀立方体绕通第 15 页 共 127 页O O刚体力学过面心的中心轴的转动惯量为IC kml2其中，系数k是无量纲的量.因为一切立方体在几何上都是相似的，它们应该具有同样的k.中心轴到棱边的距离为d 2l2根据平行轴定理，立方体绕棱边的转动惯量为212ID kml2ml k ml222现将立方体等分为 8 个小立方体，每个小立方体的质量为m，边8长为2l，绕棱边的转动惯量为第 16 页 共 127 页刚体力学1 m l 1 1IDk k ml228232228 个立方体绕棱边的转动惯量之和应等于大立方体绕中心轴的转动惯量，即IC8ID比较系
10、数，得k 1 1k 322于是，求得k 16所以，IC12ml6第 17 页 共 127 页刚体力学下面介绍利用定积分法计算质量均匀分布、图形具有对称性 的刚体对于一些特殊的转轴的转动惯量.匀质细杆匀质细杆 例题例题 33 质量为m、长为l的匀质细杆，绕其质心且垂直于杆的轴旋转，杆的转动惯量是多少？解解 设杆的线密度为，则m l.选择如图所示的坐标轴，杆的质心位于原点，取一个长度为dx、与质心的距离为x的微元，第 18 页 共 127 页刚体力学则lOOdxxx图 7.55 匀质细杆对质心轴的转动惯量dI x2dm x2dxIOl/2l/2x2dx 131l ml21212根据平行轴定理，杆对
11、通过其一端且垂直于杆的轴的转动惯量为第 19 页 共 127 页刚体力学111 l I IOmml2ml2ml2432122当然用定积分也可得相同的结果.l11I x2dx l3ml2033匀质正方形薄板 例题例题 44 求质量为m、边长为a的匀质正方形薄板对其边为轴的转动惯量.解解 匀质薄板可视为细长条的组合.根据叠加原理可得对第 20 页 共 127 页刚体力学一边的转动惯量.图 7.56y yaaO Odxx xI13m1xia23ma2第 21 页 共 127 页匀质正方形薄板对一边为轴的转动惯量刚体力学同理，可得1122或利用定积分，其中，ma2为面密度.对z轴的转动惯量对质心轴的转
12、动惯量Iy3mia 3maI a0 x2adx 11y3a43ma2Iz Ix I2y3ma22I2221212C Izm2a3ma 2ma 6ma第 22 页 共 127 页刚体力学对以对角线为轴的转动惯量Ix Iy1111ICma2ma222612当然，对z轴的转动惯量也可用二重积分计算得到.22I x ydxdy dyx dxdxy dy a ma3322aa2aa242z0000匀质矩形薄板 例题例题 55 求质量为m、长和宽分别为a和b的匀质矩形薄板对第 23 页 共 127 页刚体力学其边为轴的转动惯量.解解 方法同上，不难得到z zy yab图 7.57 匀质矩形薄板对一边为轴的
13、转动惯量第 24 页 共 127 页O Ox x刚体力学11Ixmb2,Iyma233由垂直轴定理，可以进一步求得矩形薄板对通过顶点且垂直于板平面的轴的转动惯量（如图 7.57）为1Iz Ix Iyma2b23当然，对z轴的转动惯量也可用二重积分计算得到.11I x ydxdy dyx dxdxy dy a bma b3322ba2ab24422z0000矩形薄板对通过质心且垂直于板平面的轴的转动惯量为第 25 页 共 127 页刚体力学a2b2122I ma bm321 ma2b2122图 7.58b/2b/2aO1OO2ab/2b/2第 26 页 共 127 页匀质矩形薄板对过中心且垂直于
14、板面的轴的转动惯量另解：从量纲上考虑，所求的转动惯量可表示为I c ma2c mabc mb2O123其中，cii 1,2,3为待定系数.将a和b转置后，I2O c1mb c2mbac3ma2但IO不会因为a和b转置而发生变化，比较系数，有c1 c2则IO c1ma2b2c2mba利用匀质矩形板可等分为两个小匀质矩形板的特点，如图第 27 页 共 127 页刚体力学7.54刚体力学所示，有I I2 m2b m b ca ca比较系数，有得，因而，O1O2122222Imb2mb2OIO124IO2242 2IbO1m4 ca bb22b21m2c2mam24c141116 c1,2c2 c2c
15、1112,c2 0第 28 页 共 127 页刚体力学IO1ma2b212匀质长方体 例题例题 66 求质量为m、长、宽和高分别为a、体对其棱边为轴的转动惯量.第 29 页 共 127 页b和c的匀质长方刚体力学z zPOay ycx xb图 7.59 匀质长方体对其棱边为轴的转动惯量 解解 由叠加原理，不难得到第 30 页 共 127 页P刚体力学以棱边c为轴的转动惯量11Izmia2b2ma2b233同理可得，以棱边a为轴的转动惯量11Ixmib2c2mb2c233以棱边b为轴的转动惯量11Iymia2c2ma2c233当然，对z轴的转动惯量也可用三重积分计算得到.第 31 页 共 127
16、 页刚体力学Izx2 y2dxdydzdzdyx2dxdzdxy2dy000000cbacab11a3bcab3c3311ma2mb2331ma2b23对x轴的转动惯量也可用三重积分计算得到.Ixy2 z2dxdydzdxdzy dy dxdyz2dz000000acb2abc1mb2c23对x轴的转动惯量也可用三重积分计算得到.Iyx2 z2dxdydzdzdyx2dxdxdyz2dz000000cbaabc1ma2c23第 32 页 共 127 页刚体力学根据平行轴定理，对通过长方体面心为轴的转动惯量IPPa2b2 Izm2111 ma2b2ma2b2ma2b234122如果将上述长方体换
17、成边长为a的立方体，则绕其棱边的转动惯量均相等，且I 22ma3对通过正方体面心为轴的转动惯量IPP1ma26第 33 页 共 127 页余此类推.对于特殊刚体，线线（线段）面面（矩形）体体（长方体）刚体力学第 34 页 共 127 页刚体力学匀质细圆环 例题例题 77 求质量为m、半径为R的匀质细圆环对通过中心并与环面垂直的轴的转动惯量.第 35 页 共 127 页刚体力学RO图 7.60 匀质细圆环对通过中心并与环面垂直的轴的转动惯量 解解 细圆环的质量可以认为全部分布在半径为R的圆周上，即在距离中心小于或大于R的各处，质量均为零，所以转动惯量为IzmiR2 R2mi mR2第 36 页
18、共 127 页刚体力学或IzR2dm mR2又由垂直轴定理，可以得到其对直径为转轴的转动惯量为ID1mR22再利用平行轴定理，可得细圆环对其任意切线为转轴的转动惯量为It13mR2mR2mR222.第 37 页 共 127 页刚体力学O2dOx xR图 7.61 匀质细圆环对任意切线为轴的转动惯量m 2 RO1其中，为细圆环的线密度，则dm Rd细圆环对切线的转动惯量第 38 页 共 127 页刚体力学I 20RRcosRd202R312coscosd2R32+3R33mR22匀质中空薄圆盘 例题例题 88 求质量为m、内半径为R、外半径为R的匀质中空薄12圆盘对通过中心并与盘面垂直的轴的转动
19、惯量.第 39 页 共 127 页7.62 解解 刚体力学drrOR1R2匀质中空薄圆盘对通过中心并与盘面垂直的轴的转动惯量第 40 页 共 127 页图匀质中空薄圆盘可视为无限多个同心的细圆环的组合，刚体力学所以，根据叠加原理可以得到该中空薄圆盘对通过中心且垂直于盘面的转轴的转动惯量.中空薄圆盘的质量为m R R2221其中，为中空薄圆盘的面密度，则dm 2rdr中空薄圆盘对通过中心且垂直于盘面的转轴的转动惯量IOr22rdrR1R2 2r3drR1R214R2 R142122R2 R12R2 R12212mR2 R122第 41 页 共 127 页刚体力学当然，中空薄圆盘对通过中心且垂直于
20、盘面的转轴的转动惯量也可用二重积分计算得到.IOr2rdrddr3dr 2r3dr 0R1R12R2R212mR2 R122匀质薄圆盘 例题例题 99 求质量为m、半径为R的匀质薄圆盘对通过中心并与环面垂直的轴的转动惯量.第 42 页 共 127 页刚体力学drrOR图 7.63 匀质薄圆盘对通过中心并与环面垂直的轴的转动惯量 解解 匀质薄圆盘可视为无限多个同心的细圆环的组合，所以，根据叠加原理可以得到该厚圆环对通过中心且垂直于环面的第 43 页 共 127 页刚体力学转轴的转动惯量.薄圆盘的质量为m R2其中，为薄圆盘的面密度，则薄圆盘对通过中心且垂直于盘面的转轴的转动惯量dm 2rdrIO
21、r2rdr 2r3dr 00R2R11R4mR222当然，薄圆盘对通过中心且垂直于盘面的转轴的转动惯量也可用二重积分计算得到.IOrrdrddr dr 2r3dr 00022R3R1mR22第 44 页 共 127 页刚体力学可见，薄圆盘是中空圆盘的特例.同样，根据垂直轴定理，得其对直径为转轴的转动惯量为ID1mR24再利用平行轴定理，可得其对切线为转轴的转动惯量为It15mR2mR2mR244匀质薄壁圆筒 例题例题 1010 求质量为m、半径为R的匀质薄壁圆筒对中心轴线第 45 页 共 127 页刚体力学的转动惯量.解解 匀质薄壁圆筒可视为半径相同，圆心在同一条直线上且各个环面均垂直于该直线
22、的一系列细圆环的组合.根据叠加原理，由圆环对该直线的转动惯量较易求出此圆筒对该直线为转轴的转动惯量IOmiR2 mR2第 46 页 共 127 页刚体力学LRO图 7.64 匀质薄壁圆筒对中心轴线的转动惯量当然，也可定积分法求解.匀质中空圆柱体 例题例题 1111 求质量为m、内半径为R、外半径为R的匀质中空圆12第 47 页 共 127 页刚体力学柱体对中心轴线的转动惯量.R1O OR2L图 7.65 匀质中空圆柱体对中心轴线的转动惯量 解解 匀质中空圆柱体可视圆心在同一条直线上且环面均垂第 48 页 共 127 页刚体力学直于该直线的一系列中空圆盘的组合.根据叠加原理，由中空圆盘对该直线的
23、转动惯量较易求出此中空圆柱体对该直线为转轴的转动惯量22IOmiR2 R12 mR2 R12当然，也可定积分法求解.2m R2 R12L其中，为体密度.dm 2rLdr第 49 页 共 127 页刚体力学IOr22rLdrR1R2 2Lr3drR1R214LR2R142122LR2 R12R2 R12212mR2 R122匀质实心圆柱体 例题例题 1212 求质量为m、半径为R的匀质实心圆柱体对中心轴线的转动惯量.第 50 页 共 127 页刚体力学O ORL图 7.66 匀质实心圆柱体对中心轴线的转动惯量 解解 匀质实心圆柱体可视圆心在同一条直线上且圆面均垂直于该直线的一系列薄圆盘的组合.根
24、据叠加原理，由薄圆盘对第 51 页 共 127 页刚体力学该直线的转动惯量较易求出此圆柱体对该直线为转轴的转动惯量当然，也可定积分法求解其中，当然，实心圆柱体对中心轴线的转动惯量可用三重积分计算得I1m212O2iR 2mR.m R2L为体密度.dm 2rLdrIR2Or2rLdr 2LRr3d100r LR4R41222 R412mR第 52 页 共 127 页刚体力学到.IOr2rdrddz ddzr3dr 2Lr3dr 00002LRR1mR22可见，厚圆筒是实心圆柱体的特例.同样，根据垂直轴定理，得其对直径为转轴的转动惯量为ID1mR24匀质实心圆柱体 例题例题 1212 求质量为m、
25、半径为R的匀质实心圆柱体对中心直第 53 页 共 127 页刚体力学径为轴的转动惯量.第 54 页 共 127 页刚体力学Oz zLORy yO(a)x x(b)图 7.67 匀质实心圆柱体对中心直径的转动惯量 解解 设匀质实心圆柱体由x z2Ly 围成.与y L、22m R L2 R22其中，为体密度.第 55 页 共 127 页刚体力学dm dV drddy绕z轴的转动惯量为同理可得，绕IzVx2 y2dV2dRL/200rdrL/2r2cos2 y2dy2cos2dR2RL/20r3L/20drL/2dy0d0rdrL/2y2dyR4R22 L34L22 3 81R4L1R2L34121
26、mR21mL2412x轴的转动惯量为第 56 页 共 127 页刚体力学Ixy2 z2dVVdrdr00202RL/2L/2Rr2cos2 y2dyL/2L/2sin2dr3dr0dydrdr002RL/2L/2y2dyR4R22 L3L242 3 811R4LR2L341211mR2mL2412匀质实心圆柱体 例题例题 1313 求质量为m、半径为R的匀质实心圆柱体对端面直径为轴的转动惯量.第 57 页 共 127 页刚体力学OLz zROx x(a)(b)y yO图 7.68 匀质实心圆柱体对端面直径的转动惯量第 58 页 共 127 页刚体力学 解解 设匀质实心圆柱体由x z2与y 0、
27、y L围成.2 R2其中，为体密度.绕z轴的转动惯量为m r2Ldm dV drddyIzVx2 y2dV2dRrdrL0r2cos2 y200dy2cos2dRr3drLd2RL000y 0d0rdr0y2dyR4L2R2L342 31R4L1R2L3431mR21mL243第 59 页 共 127 页刚体力学同理可得，绕x轴的转动惯量为当然，利用平行轴定理也可得到相同的结果I2xVy2 zdV2dRrdrL000r2sin2 y2dy2cos2dRr3drLdy 2dRrdrL000000y2dyR4R24L2L32 31R4L13R2L34114mR23mL2.第 60 页 共 127
28、页刚体力学圆环细圆环中空薄圆盘薄圆盘薄圆筒中空圆柱体实心圆柱体匀质球壳 例题例题 1414 求质量为m、半径为R的匀质球壳对球心的转动惯量、对任意直径和切线的转动惯量.第 61 页 共 127 页刚体力学z zO2RO Oy y图 7.69 匀质球壳对球心、对任意直径和切线为轴的转动惯量 解解 因为在距离球心大于或小于R处，质量均为零，而质量第 62 页 共 127 页x xO1m均匀分布于球壳上.m 4R2.解法一：根据刚体对坐标原点的转动惯量的定义式，有I mR2 R2imi mR2O或IOR2dm mR2当然，极转动惯量也可用二重积分计算得到.I R2R2sinddR42dO00sind
29、 4R4 mR2第 63 页 共 127 页刚体力学根据关系式IO12Ix Iy Iz对于匀质球壳，球心为坐标原点.根据对称性，可知Ix Iy Iz则Ix Iy Iz23mR2即为球壳对任意直径的转动惯量.第 64 页 共 127 页刚体力学刚体力学解法二：当然，I、I和I也可利用二重积分计算得到.xyzI2zRsinR2sinddR420d0sin3dR422322mR23I Rsinsin2Rcos2xR2sinddR4220sin2d0sin3dR40d0cos2sindR422R423232mR23第 65 页 共 127 页刚体力学22IyRsincosRcosR2sinddR42c
30、os2dsin3dR42000d0cos2sindR42223R4232mR23解法三：球壳可视为一系列薄圆环的组合.dI r2dm r2xdS其中，r表示薄圆环的半径，dm为薄圆环的元质量，面元.而第 66 页 共 127 页dS为薄圆环的刚体力学r RcosdS 2rRd 2R2cosd82Ix2R4cos3dR4mR2033根据平行轴定理，可得球壳对任意切线为轴的转动惯量It25mR2mR2mR233若将该球壳切除一半，求剩余部分（球冠）对任一直径的转动惯量.第 67 页 共 127 页刚体力学根据刚体对坐标原点的转动惯量的定义式，有IOmiR2 R2mi1mR22或IOR2dm 1mR
31、22当然，极转动惯量也可用二重积分计算得到.IOR2R2sinddR4d02 20sind 2R41mR22第 68 页 共 127 页刚体力学显然，I、I和I可利用二重积分计算得到.xyzIzRsinR2sinddR4d02 202sin3d2R 231mR23422IxRsinsinRcosR2sinddR4sin2d042 20sin3dR4d02 20cos2sind21R R42331mR2322IyRsincosRcosR2sinddR4cos2d042 20sin3dR4d02 20cos2sind21R R42331mR23第 69 页 共 127 页刚体力学将该球壳部分切除，
32、若剩余部分（球冠）的高度为直径的 1/4，求其对任一直径的转动惯量.此时在球坐标系中的极角.3极转动惯量可用二重积分计算得到.IOR2R2sinddR4d02 30sind 2R411mR224Ix、I和I可利用二重积分计算得到.yz第 70 页 共 127 页刚体力学IzRsinR2sinddR422dsin3d 300R42524548mR2I22xRsinsinRcosR2sinddR422 334220sind0sindR0d 30cossindR45724R422419mR296Icos2Rcos2yRsinR2sinddR422 33430cosd0sindR20d0cos2sin
33、dR45724R422419mR296第 71 页 共 127 页这里已利用积分刚体力学 30sin3d 305123sincossindcoscos2430 3将该球壳部分切除，若剩余部分为原来的1/8，求其对任一直径的转动惯量.极转动惯量可用二重积分计算得到.IOR2R2sinddR4 20 2d01sindR41mR228Ix、I和I可利用二重积分计算得到.yz第 72 页 共 127 页刚体力学IzRsinR2sinddR42 20d 20sin3d 2R 2 31mR212422IxRsinsinRcosR2sinddR4 20sind2 20sindR34 20d 20cos2si
34、nd 2 1R R44 32 31mR212422IyRsincosRcosR2sinddR4 20cosd2 20sindR34 20d 20cos2sind 2 1R R44 32 31mR2124第 73 页 共 127 页刚体力学匀质实心球体 例题例题 1515 求质量为m、半径为R的匀质实心球体对球心的转动惯量、对任意直径的转动惯量.z zO2RO Oy y图 7.70 匀质球体对球心、对任意直径和切线为轴的转动惯第 74 页 共 127 页x xO1刚体力学量 解解 解法一：球体可视为球壳的组合，4m R33其中，为体密度.根据刚体对坐标原点的转动惯量的定义式，有IOr4r dr
35、4r4dr 00R22R43R5mR255第 75 页 共 127 页刚体力学当然，极转动惯量也可利用三重积分计算得到.2RR3IOr2r2sindrdddsindr4dr 4r4dr mR200005根据关系式IO1Ix Iy Iz2对于匀质球体，球心为坐标原点.根据对称性，可知I I Ixyz则Ix Iy Iz2mR25第 76 页 共 127 页刚体力学即为球体对任意直径的转动惯量.当然，I、I和I也可利用三重积分计算得到.xyzI2zrsinr2sindrdd2dsin3dR00r40dr22R53252mR25Irsinsin2rcos2xr2sindrdd2sin2dsin3dRr
36、4dr 2dcos2R00000sind0r4dr2R532522 R53522R53252mR25第 77 页 共 127 页刚体力学22Iyrsincosrcosr2sindrddcos2dsin3dr4dr dcos2sindr4dr0000002R2R2R52 R52235352R522352mR25解法二：球体可视为球壳的组合，根据叠加原理，也可较易求得其对直径的转动惯量为R2R2882IDr2dm r24r2dr r4dr R5mR203033155第 78 页 共 127 页刚体力学解法三：球体可视为一系列薄圆盘的组合.111dI r dm r r dx R xdx2222222
37、22x其中，r表示薄圆盘的半径，dm为薄圆盘的元质量，dV为薄圆环的体元，x为薄圆盘到质心轴的距离，dx为薄圆环的厚度.182I R xdx R xdx R mR2155R222R22252xR0根据平行轴定理，可得球体对任意切线为轴的转动惯量It27mR2mR2mR255第 79 页 共 127 页刚体力学若将该球体切除一半，求剩余部分对任一直径的转动惯量.根据刚体转动惯量的叠加原理，有IO3mR210当然，极转动惯量也可用三重积分计算得到.IOrr sindrddd0222 20sindr dr 2r4dr 00R4R3mR210第 80 页 共 127 页刚体力学显然，I、I和I也可利用
38、三重积分计算得到.xyzIzrsinr2sindrddd02 202sindr4dr03R2 R52351mR2522Ixrsinsinrcosr2sindrddsind022 20sindr dr d003R42 20cossindr4dr02R2 R52 R535352 R52351mR25第 81 页 共 127 页刚体力学22Iyrsincosrcosr2sindrddcos2d02 20sin3dr4dr d00R2 20cos2sindr4dr0R2 R51 R5235352 R52351mR25将该球壳部分切除，若剩余部分的高度为直径的1/4，求其对任一直径的转动惯量.此时在球坐
39、标系中的极角.3第 82 页 共 127 页刚体力学极转动惯量可用三重积分计算得到.IOr2r2sindrdddsindr4dr r4dr 00002 3RR3mR220Ix、I和I可利用三重积分计算得到.yzIzrsinr2sindrddd02 302sin3dr4dr0R5R522451mR21622Ixrsinsinrcosr2sindrddsin2d02 30sin3dr4dr d00R2 30cos2sindr4dr0R5R57R5224524557mR2480第 83 页 共 127 页刚体力学22Iyrsincosrcosr2sindrddcosdsindr dr d000022
40、 33R42 30cossindr4dr02R5R57R5224524557mR2480将该球体部分切除，若剩余部分为原来的1/8，求其对任一直径的转动惯量.极转动惯量可用三重积分计算得到.IOr2r2sindrdd 20 2d0sindr4dr 0RR43r dr mR22040Ix、I和I可利用三重积分计算得到.yz第 84 页 共 127 页刚体力学Izrsinr2sindrdd 202d 20sin3dr4dr0R 2 R52 351mR22022Ixrsinsinrcosr2sindrdd 20sind2 20sindr dr 03R4 20d 20cossindr4dr02R 2
41、R5 1 R54 352 351mR22022Iyrsincosrcosr2sindrdd 20cos2d 20sin3dr4dr 0R 20d 20cos2sindr4dr0R 2 R5 1 R54 352 351mR220第 85 页 共 127 页刚体力学匀质中空球体 例题例题 1616 求质量为m、内半径为R、外半径为R的匀质中空球12体对球心的转动惯量、对任意直径的转动惯量.第 86 页 共 127 页刚体力学z zO2R1R2O Oy y图 7.71 匀质中空球体对球心、对任意直径和切线为轴的转动惯量 解解 中空球体可视为球壳的组合，第 87 页 共 127 页x xO1刚体力学4
42、3m R2 R133其中，为体密度.根据刚体对坐标原点的转动惯量的定义式，有IOr4r dr 4R1R222R2R15R1543R255r dr R2R1m355R2R134当然，极转动惯量也可利用三重积分计算得到.IOrr sindrdddsindr dr 400R1222R24R2R15R153R2r dr m35R2R134根据关系式IO1Ix Iy Iz2第 88 页 共 127 页刚体力学对于匀质球体，球心为坐标原点.根据对称性，可知I I Ixyz则5R152R2Ix Iy Izm35R2R13即为球壳对任意直径的转动惯量.当然，I、I和I也可利用三重积分计算得到.xyzIzrsi
43、nr2sindrdddsin3dr4dr00R15R2R15222355R152R2m35R2R132R22第 89 页 共 127 页刚体力学Isinsin2rcos2xrr2sindrdd2sin2R22R20d0sin3dRr4dr dcos2sindr4dr100R12R5R52 R55212 R13252352R52 R521325525mR2 R51R32 R31I2rcos2yrsincosr2sindrdd2R22R20cos2d0sin3dRr4dr dcos2sind100Rr4dr1R55522 R321522 R R521352R52 R52132525 R515mR2
44、R332 R1第 90 页 共 127 页另解：刚体力学中空球体可视为球壳的组合，根据叠加原理，也可较易求得其对直径的转动惯量为5R22R2R1522882R222455IDr dm r4r dr r dr R2R1m3RR11333155R2R13薄球壳中空球体实心球体第 91 页 共 127 页刚体力学第 92 页 共 127 页刚体力学练习练习：1 求质量为m、边长为a的匀质等边三角形ABD对过顶点A且垂直于板面的轴的转动惯量.y yDy yDdyyCC图 7.72 等边三角形对过顶点且垂直于板面为轴的转动惯量AOBx xAOx dxBx x第 93 页 共 127 页刚体力学 解m 4
45、3a2对x轴的转动惯量，对y轴的转动惯量，错误的做法：3I2x2a0ya2ycot 60dya33a32 3134342a2a 3 338a336916a4132ma28ma218ma2aIy2x2332 a 312a22a xcot 30dx a2326ma第 94 页 共 127 页刚体力学正确的做法：a根据垂直轴定理，有I0233yaxx222a xcot 30d0 x2a xcot 30dx2a 2230 x2xcot 302adx323a13a 21 a 2 3423a4332a4241ma218ma261ma224Iz Ix Iy16ma2I Im OC2,I2zCA ICm AC
46、Im AO21 a 25A Iz6ma2m212ma2第 95 页 共 127 页刚体力学若直接计算对经过顶点A且垂直于三角形平面的轴的转动惯量，取窄条后，则窄条上各点到轴的距离并非处处相等，故此法不可行！2 求质量为m、底面为边长a的等边三角形、高L的匀质正三棱柱对以其高为轴的转动惯量.解 正三棱柱可视为由无限多个正三角形的组合，根据第 1题的结论，利用转动惯量的叠加原理，有第 96 页 共 127 页刚体力学IA555mia2a2mima21212123 求质量为m、边长为a且一个顶角为60匀质棱形对过顶点且垂直于板面的轴的转动惯量.DEOB图 7.73 一个顶角为60的棱形对过顶点且垂直
47、于板面为轴的A第 97 页 共 127 页刚体力学转动惯量 解解 根据第 1 题结论，利用转动惯量的叠加原理，有17 a 1IA ID 2Izmma2ma2ma2412232231232132IB IE 2Izm2a3ma 4ma 12ma4 求质量为m、底面为边长a且一个顶角为60匀质棱形、高L的匀质正四棱柱对以其高为轴的转动惯量.解解 该正四棱柱可视为由无限多个棱形的组合，根据第 3 题第 98 页 共 127 页刚体力学的结论，利用转动惯量的叠加原理，有5 求质量为M、边长为的轴的转动惯量.I I722AD12mia 712maI I13m a213ma2BE12i12a匀质正六边形对过
48、顶点且垂直于板面第 99 页 共 127 页刚体力学FEGD图 7.74 正六边形对过顶点且垂直于板面为轴的转动惯量AB解 根据第 1 题结论，利用转动惯量的叠加原理，有517I I I I I Ima 6 Ma Ma1212222ABDEFG其中，M 6m.第 100 页 共 127 页刚体力学6 求质量为M、底面为边长a的正六边形、高L的匀质正六棱柱对以其高为轴的转动惯量.解 该正六棱柱可视为由无限多个正六边形的组合，根据第5 题的结论，利用转动惯量的叠加原理，有1717I I I I I Ima Ma21222ABDEFGi第 101 页 共 127 页刚体力学表 7.2 一些简单几何图
49、形的转动惯量刚体转轴的位置转动惯量1ml122细杆m,l通过中心且垂直于杆通过杆端且垂直于杆12ml3通过中心且mR2第 102 页 共 127 页刚体力学刚体转轴的位置转动惯量细圆环m,R中空圆盘m,R1,R2与环面垂直沿直径沿切线通过中心且与环面垂直沿直径第 103 页 共 127 页1mR223mR2212mR12 R2212mR12 R24刚体力学刚体转轴的位置转动惯量1mR22薄圆盘m,R薄壁中空圆筒通过中心且与盘面垂直沿直径沿切线通过中心轴沿直径1mR245mR24mR21mR22第 104 页 共 127 页刚体力学刚体m,R转轴的位置转动惯量通过中心轴沿直径12mR12 R22
50、12mR12 R24中空圆柱体m,R,R12通过中心轴沿直径1mR221mR24第 105 页 共 127 页刚体力学刚体转轴的位置转动惯量11mR2mL241211mR2mL243中实圆柱体m,R,L球壳m,R沿中心直径沿端面直径沿直径沿切线2mR235mR23第 106 页 共 127 页刚体力学刚体转轴的位置转动惯量中空球体m,R1,R2沿直径5R152R2m35R2R13沿直径沿切线2mR257mR25球体m,R第 107 页 共 127 页刚体力学第七章习题选讲7.1.4 半径为 0.1 m 的圆盘在铅直平面内转动，在圆盘平面内建立Oxy坐标系，原点在轴上，x和y轴沿水平和铅直向上的