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1、三、数量乘法三、数量乘法一、加法一、加法二、乘法二、乘法四、转置四、转置 4.2 4.2 矩阵的运算矩阵的运算矩阵的运算矩阵的运算1定义定义设设 则矩阵则矩阵 称为称为矩阵矩阵A与与B的的和和，记作，记作 即即一、加法一、加法 4.2 4.2 矩阵的运算矩阵的运算矩阵的运算矩阵的运算说明说明例如例如只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算加法运算.4.2 4.2 矩阵的运算矩阵的运算矩阵的运算矩阵的运算(1)交换律交换律(2)结合律结合律(3)(4)定义定义2性质性质3减法减法 4.2 4.2 矩阵的运算矩阵的运算矩阵的运算矩阵的运算设设 则则 矩矩阵阵
2、其中其中 称为称为 与与 的的积积，记为，记为 1定义定义二、乘法二、乘法 4.2 4.2 矩阵的运算矩阵的运算矩阵的运算矩阵的运算 乘积乘积 有意义要求有意义要求 A 的列数的列数 的行数的行数.乘积乘积 中第中第 行第行第 列的元素由列的元素由 的第的第 行行乘乘 的第的第 列相应元素相加得到列相应元素相加得到注意注意如如不不存在存在.4.2 4.2 矩阵的运算矩阵的运算矩阵的运算矩阵的运算例例1 线性方程组线性方程组 令令则（则（1）可看成矩阵方程）可看成矩阵方程 4.2 4.2 矩阵的运算矩阵的运算矩阵的运算矩阵的运算而而 无意义无意义例例2例例3 4.2 4.2 矩阵的运算矩阵的运算
3、矩阵的运算矩阵的运算例例4 4.2 4.2 矩阵的运算矩阵的运算矩阵的运算矩阵的运算注意注意 未必未必 若若 ，称，称A与与B可交换可交换 一般地，一般地，即即 且且 时，有可能时，有可能 未必有未必有 或或 4.2 4.2 矩阵的运算矩阵的运算矩阵的运算矩阵的运算2矩阵乘法的运算规律矩阵乘法的运算规律(5)(结合律结合律)（分配律分配律)4.2 4.2 矩阵的运算矩阵的运算矩阵的运算矩阵的运算证证：1）设）设 令令其中其中 的第的第 i 行第行第 l 列元素为列元素为 的第的第 i 行第行第 l 列元素为列元素为 结合律得证结合律得证.4.2 4.2 矩阵的运算矩阵的运算矩阵的运算矩阵的运算
4、设设 为为 级方阵级方阵 定义定义称称 为为 的的 次幂次幂.3矩阵的方幂矩阵的方幂定义定义个个 4.2 4.2 矩阵的运算矩阵的运算矩阵的运算矩阵的运算(3)一般地一般地 ,性质性质 4.2 4.2 矩阵的运算矩阵的运算矩阵的运算矩阵的运算解解:例例5设设 求求 4.2 4.2 矩阵的运算矩阵的运算矩阵的运算矩阵的运算由此归纳出由此归纳出用数学归纳法证明之用数学归纳法证明之.当当 时，显然成立时，显然成立.假设假设 时成立，则时成立，则 时，时，4.2 4.2 矩阵的运算矩阵的运算矩阵的运算矩阵的运算故对于任意故对于任意 都有都有 4.2 4.2 矩阵的运算矩阵的运算矩阵的运算矩阵的运算称为
5、矩阵称为矩阵 A 与数与数 k 的数量乘积记作：的数量乘积记作：三、数量乘法三、数量乘法1定义定义设设 则矩阵则矩阵 即即 4.2 4.2 矩阵的运算矩阵的运算矩阵的运算矩阵的运算2性质性质注注:矩阵的加法与数量乘法合起来矩阵的加法与数量乘法合起来,统称为矩阵的统称为矩阵的 线性运算线性运算.4.2 4.2 矩阵的运算矩阵的运算矩阵的运算矩阵的运算(6)若若 A 为为 n 级方阵，级方阵，(数量矩阵与任意矩阵可交换数量矩阵与任意矩阵可交换)(数量矩阵加法与乘法可归结为数的加法与乘法数量矩阵加法与乘法可归结为数的加法与乘法)4.2 4.2 矩阵的运算矩阵的运算矩阵的运算矩阵的运算设设 的的转置矩
6、阵转置矩阵是指矩阵是指矩阵记作记作 或或 四、转置四、转置1定义定义 4.2 4.2 矩阵的运算矩阵的运算矩阵的运算矩阵的运算2性质性质(5)若若 为方阵，则为方阵，则 4.2 4.2 矩阵的运算矩阵的运算矩阵的运算矩阵的运算（3）证：）证：设设 中中 的元素为的元素为 从而从而 中中 的元素为的元素为 中的中的 元素为元素为 又的第又的第 i 行元素为行元素为的第的第 j 列元素为列元素为 4.2 4.2 矩阵的运算矩阵的运算矩阵的运算矩阵的运算设设 n 级方阵级方阵(1)若若 满足满足 即即3对称矩阵反对称矩阵对称矩阵反对称矩阵定义定义则称则称 A 为为对称矩阵对称矩阵；(2)若若 满足满
7、足 即即则称则称 A 为为反对称矩阵反对称矩阵.4.2 4.2 矩阵的运算矩阵的运算矩阵的运算矩阵的运算性质性质(2)对称，对称，对称对称；反对称，反对称，反对称反对称(1)对称对称 对称对称;反对称反对称 反对称反对称(3)奇数级反对称矩阵的行列式等于零奇数级反对称矩阵的行列式等于零为奇数时，为奇数时，4.2 4.2 矩阵的运算矩阵的运算矩阵的运算矩阵的运算i)对称，积对称，积 对称吗对称吗?想一想想一想ii)反反对称，积对称，积 反对称吗反对称吗?皆为皆为 n 级对称矩阵，证明：级对称矩阵，证明：例例7 已知已知皆为皆为 n 级对称矩阵，级对称矩阵，对称对称证：证：若若AB对称，则有对称，
8、则有反过来，若反过来，若AB=BA，则有，则有所以所以 AB 对称对称.4.2 4.2 矩阵的运算矩阵的运算矩阵的运算矩阵的运算4.可换矩阵可换矩阵如果对于矩阵A,B满足AB=BA,则称B与A可交换。5.幂等矩阵幂等矩阵如果n阶方阵A满足A2=A,则称A为n阶幂等方阵。性质：设A,B都是n阶幂等方阵，则 （A+B)是幂等方阵当且仅当AB=-BA.4.2 4.2 矩阵的运算矩阵的运算矩阵的运算矩阵的运算如果n阶方阵A满足A2=E,则称A为n阶对合矩阵。性质：1)设A是n阶方阵，则A是对合矩阵当 且仅当（E-A)(E+A)=0.2)设A,B都是对合矩阵，则AB是对合 矩阵当且仅当AB=BA.6.对
9、合矩阵对合矩阵 4.2 4.2 矩阵的运算矩阵的运算矩阵的运算矩阵的运算例例8 设设 A 为为 n 级级实对称矩阵，且实对称矩阵，且 ，证明：证明：证：证：设设 4.2 4.2 矩阵的运算矩阵的运算矩阵的运算矩阵的运算又又 皆为实数皆为实数 4.2 4.2 矩阵的运算矩阵的运算矩阵的运算矩阵的运算练习练习E 为为 n 单位单位矩阵矩阵,证明证明:1 设列矩阵设列矩阵 满足满足 H 是对称矩阵，且是对称矩阵，且 2 已知已知 求求 4.2 4.2 矩阵的运算矩阵的运算矩阵的运算矩阵的运算1 证证:4.2 4.2 矩阵的运算矩阵的运算矩阵的运算矩阵的运算2 解解:4.2 4.2 矩阵的运算矩阵的运算矩阵的运算矩阵的运算附附:共轭矩阵共轭矩阵定义定义当当 为复矩阵时，用为复矩阵时，用 表示表示 的共轭的共轭复数复数,记，记，称为称为 的的共轭矩阵共轭矩阵.运算性质运算性质（设设 为复矩阵，为复矩阵，为复数）为复数）