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1、追击与相遇问题追击与相遇问题一、解题思路一、解题思路 讨论追击、相遇的问题，其实质就是分析讨论两物体在讨论追击、相遇的问题，其实质就是分析讨论两物体在相同时间内能否到达相同的空间位置相同时间内能否到达相同的空间位置的问题。的问题。1、两个关系：、两个关系：时间关系时间关系和和位移关系位移关系2、一个条件：、一个条件：两者速度相等两者速度相等 两者速度相等，往往是物体间能否追上，或两者距离最两者速度相等，往往是物体间能否追上，或两者距离最大、最小的临界条件，是分析判断的切入点。大、最小的临界条件，是分析判断的切入点。（1）追击）追击 甲一定能追上乙，甲一定能追上乙，v甲甲=v乙乙的的时刻为甲、乙
2、有时刻为甲、乙有最大距离最大距离的时刻的时刻 判断判断v甲甲=v乙乙的时刻的时刻甲乙的位甲乙的位置情况置情况若甲在乙前，则追上，并相遇两次若甲在乙前，则追上，并相遇两次若甲乙在同一处，则甲恰能追上乙若甲乙在同一处，则甲恰能追上乙若甲在乙后面，则甲追不上乙，此若甲在乙后面，则甲追不上乙，此时是相距最近的时候时是相距最近的时候情况同上情况同上 若涉及刹车问题，要先若涉及刹车问题，要先求停车时间，以作判别！求停车时间，以作判别！（2）相遇）相遇同向运动的两物体的追击即相遇同向运动的两物体的追击即相遇相向运动的物体，当各自位移大小之和等于开相向运动的物体，当各自位移大小之和等于开始时两物体的距离，即相
3、遇始时两物体的距离，即相遇（3）相撞）相撞两物体两物体“恰相撞恰相撞”或或“恰不相撞恰不相撞”的临界条件：的临界条件：两物体在同一位置时，速度恰相同两物体在同一位置时，速度恰相同若后面的速度大于前面的速度，则相撞。若后面的速度大于前面的速度，则相撞。3、解题方法、解题方法（1）画清行程草图，找出两物体间的位移关系）画清行程草图，找出两物体间的位移关系（2）仔细审题，挖掘临界条件，联立方程）仔细审题，挖掘临界条件，联立方程（3）利用二次函数求极值、图像法、相对运动知识求解）利用二次函数求极值、图像法、相对运动知识求解例例1.汽车正以汽车正以10m/s的速度在平直公路上做匀速直线运动的速度在平直公
4、路上做匀速直线运动,突然发现正前方突然发现正前方10m处有一辆自行车以处有一辆自行车以4m/s的速度同方向的速度同方向做匀速直线运动做匀速直线运动,汽车立即关闭油门汽车立即关闭油门,做加速度为做加速度为6m/s2的匀的匀减速运动减速运动,问：问：（1）汽车能否撞上自行车）汽车能否撞上自行车?若汽车不能撞上自行车，汽车若汽车不能撞上自行车，汽车与自行车间的最近距离为多少？与自行车间的最近距离为多少？（2）汽车减速时，他们间距离至少多大不相撞？）汽车减速时，他们间距离至少多大不相撞？汽车在关闭油门减速后的一段时间内，其速度大于自行车汽车在关闭油门减速后的一段时间内，其速度大于自行车速度，因此，汽车
5、和自行车之间的距离在不断的缩小，当速度，因此，汽车和自行车之间的距离在不断的缩小，当这距离缩小到零时，这距离缩小到零时，若汽车的速度减至与自行车相同若汽车的速度减至与自行车相同，则，则能满足汽车能满足汽车恰好恰好不碰上自行车不碰上自行车v汽汽=10m/sv自自=4m/s10m追上处a=-6m/s2分析：分析：画出运动的示意图如图所示画出运动的示意图如图所示二、例题分析二、例题分析解：解：（1）汽车速度减到汽车速度减到4m/s时运动的时间时运动的时间和发生的位移分别为和发生的位移分别为t=(v自自-v汽汽)/a=（4-10）/(-6）s=1sx汽汽=（v自自2-v汽汽2）/2a=(16-100)
6、/(-12)=7m这段时间内自行车发生的位移这段时间内自行车发生的位移x自自=v自自t=4m因为因为x0+x自自x汽汽所以，汽车不能撞上自行车。所以，汽车不能撞上自行车。汽车与自行车间的最近距离为汽车与自行车间的最近距离为x=x0+x自自x汽汽=（10+47）m=7m（2）要使汽车与自行车不相撞）要使汽车与自行车不相撞则汽车减速时它们之间的距离至少为则汽车减速时它们之间的距离至少为x=x汽汽x自自=（7-4）m=3m例例2、一一车车从从静静止止开开始始以以1m/s2的的加加速速度度前前进进，车车后后相相距距x0为为25m处处，某某人人同同时时开开始始以以6m/s的的速速度度匀匀速速追追车车，能
7、能否否追追上上？如如追追不不上，求人、车间的最小距离。上，求人、车间的最小距离。解析：解析：依题意，人与车运动的依题意，人与车运动的时间相等时间相等，设为，设为t,当人追上车时，两者之间的当人追上车时，两者之间的位移关系位移关系为：为：x车车+x0=x人人即：at22+x0=v人t由此方程求解t，若有解，则可追上；若无解，则不能追上。代入数据并整理得：t212t+50=0=b24ac=1224501=560所以，人追不上车。x0v=6m/sa=1m/s2在在刚刚开开始始追追车车时时，由由于于人人的的速速度度大大于于车车的的速速度度，因因此此人人车车间间的的距距离离逐逐渐渐减减小小；当当车车速速
8、大大于于人人的的速速度度时时，人人车车间间的的距距离离逐逐渐增大。因此，渐增大。因此，当人车速度相等时，两者间距离最小。当人车速度相等时，两者间距离最小。at=v人人t=6s在这段时间里，人、车的位移分别为：在这段时间里，人、车的位移分别为：x人人=v人人t=66=36mx车车=at2/2=162/2=18m x=x0+x车车x人人=25+1836=7m例例3 3：一辆汽车在十字路口等候绿灯，当绿灯亮时汽车以：一辆汽车在十字路口等候绿灯，当绿灯亮时汽车以3m/s3m/s2 2的加速度开始加速行驶，恰在这时一辆自行车以的加速度开始加速行驶，恰在这时一辆自行车以6m/s6m/s的速度的速度匀速驶来
9、，从后边超过汽车。试求：汽车从路口开动后，在匀速驶来，从后边超过汽车。试求：汽车从路口开动后，在追上自行车之前经过多长时间两车相距最远？此时距离是多追上自行车之前经过多长时间两车相距最远？此时距离是多少？少？x汽汽x自自x方法一：公式法方法一：公式法 当汽车的速度与自行车的速度当汽车的速度与自行车的速度相等时，两车之间的距离最大。设相等时，两车之间的距离最大。设经时间经时间t t两车之间的距离最大。则两车之间的距离最大。则x汽汽x自自x 那么，汽车经过多少时间能追上自行车那么，汽车经过多少时间能追上自行车?此时汽车的速度此时汽车的速度是多大是多大?汽车运动的位移又是多大？汽车运动的位移又是多大
10、？方法二：图象法方法二：图象法解：画出自行车和汽车的速度解：画出自行车和汽车的速度-时间图线，自行车的位移时间图线，自行车的位移x自自等于等于其图线与时间轴围成的矩形的面积，而汽车的位移其图线与时间轴围成的矩形的面积，而汽车的位移x汽汽则等于其则等于其图线与时间轴围成的三角形的面积。两车之间的距离则等于图图线与时间轴围成的三角形的面积。两车之间的距离则等于图中矩形的面积与三角形面积的差，不难看出，中矩形的面积与三角形面积的差，不难看出，当当t=t0时矩形与三时矩形与三角形的面积之差最大角形的面积之差最大。v/ms-1自自行行车车汽车汽车t/so6t0V-t图像的斜率表示物体的加速度图像的斜率表
11、示物体的加速度当当t=2s时两车的距离最大时两车的距离最大 动态分析随着时间的推移动态分析随着时间的推移,矩矩形面积形面积(自行车的位移自行车的位移)与三角形面与三角形面积积(汽车的位移汽车的位移)的差的变化规律的差的变化规律方法三：二次函数极值法方法三：二次函数极值法 设经过时间设经过时间t汽车和自行汽车和自行车之间的距离车之间的距离x，则，则x汽汽x自自x 那么，汽车经过多少时间能追上自行车那么，汽车经过多少时间能追上自行车?此时汽车的速度是多此时汽车的速度是多大大?汽车运动的位移又是多大？汽车运动的位移又是多大？方法四：相对运动法方法四：相对运动法选自行车为参照物选自行车为参照物，则从开
12、始运动到两车相距最远这段过程中，则从开始运动到两车相距最远这段过程中，以汽车相对地面的运动方向为正方向，汽车相对此参照物的各个以汽车相对地面的运动方向为正方向，汽车相对此参照物的各个物理量的分别为：物理量的分别为：v0=-6m/s，a=3m/s2，vt=0 对汽车由公式对汽车由公式 问：问：xm=-6m中负号表示什么意思？中负号表示什么意思？以自行车为以自行车为参照物参照物,公式中的公式中的各个量都应是相各个量都应是相对于自行车的物对于自行车的物理量理量.注意物理量注意物理量的正负号的正负号.表示汽车相对于自行车是向后运动的表示汽车相对于自行车是向后运动的,其相对于自行车其相对于自行车的位移为
13、向后的位移为向后6m.例例4：A火车以火车以v1=20m/s速度匀速行驶，司机发现前方速度匀速行驶，司机发现前方同轨道上相距同轨道上相距100m处有另一列火车处有另一列火车B正以正以v2=10m/s速度速度匀速行驶，匀速行驶，A车立即做加速度大小为车立即做加速度大小为a的匀减速直线运的匀减速直线运动。要使两车不相撞，动。要使两车不相撞，a应满足什么条件？应满足什么条件？方法一：公式法方法一：公式法两车恰不相撞的条件是两车速度相同时相遇。两车恰不相撞的条件是两车速度相同时相遇。由由A A、B B 速度关系速度关系：由由A A、B B位移关系位移关系：方法二：图象法方法二：图象法v/ms-1B B
14、A At/so10t020方法三：二次函数极值法方法三：二次函数极值法 代入数据得代入数据得 若两车不相撞，其位移关系应为若两车不相撞，其位移关系应为其图像其图像(抛物线抛物线)的顶点纵坐的顶点纵坐标必为正值标必为正值,故有故有或列方程或列方程 代入数据得代入数据得 不相撞不相撞 0方法四：相对运动法方法四：相对运动法 以以B车为参照物，车为参照物，A车的初速度为车的初速度为v0=10m/s，以加，以加速度大小速度大小a减速，行驶减速，行驶x=100m后后“停下停下”，末速度为，末速度为vt=0 以以B B为参照物为参照物,公式中的各个量都应是相对于公式中的各个量都应是相对于B B的的物理量物
15、理量.注意物理量的正负号注意物理量的正负号.例例5：某人骑自行车，：某人骑自行车，v1=4m/s，某时刻在他前面，某时刻在他前面7m处有一辆以处有一辆以v2=10m/s行驶的汽车开始关闭发动机，行驶的汽车开始关闭发动机，a=2m/s2，问此人多长时间追上汽车，问此人多长时间追上汽车（）A、6s B、7s C、8s D、9sC注意注意“刹车刹车”运动的单向性！运动的单向性！例例6：两辆完全相同的汽车，沿水平直路一前一后：两辆完全相同的汽车，沿水平直路一前一后匀速行驶，速度均为，若前车突然以恒定加速度刹匀速行驶，速度均为，若前车突然以恒定加速度刹车，在它刚停止时，后车以前车刹车时的加速度开车，在它
16、刚停止时，后车以前车刹车时的加速度开始刹车，已知前车在刹车过程中行驶距离始刹车，已知前车在刹车过程中行驶距离S，在上，在上述过程中要使两车不相撞，则两车在匀速运动时，述过程中要使两车不相撞，则两车在匀速运动时，保持的距离至少应为：保持的距离至少应为：A.SB.2SC.3SD.4S B例例7.7.在在平平直直公公路路上上有有两两辆辆汽汽车车A、B平平行行同同向向行行驶驶，A车车以以vA=4m/s 的的速速度度做做匀匀速速直直线线运运动动，B车车以以vB=10m/s的的速速度度做做匀匀速速直直线线运运动动，当当B车车行行驶驶到到A车车前前x=7m处处时时关关闭闭发发动动机机以以2m/s2的的加加速
17、速度度做做匀匀减减速速直直线线运运动动，则则从从此此时时开开始始A车车经经多多长长时时间间可可追追上上B车车？分析：分析：画出运动的示意图如图所示：画出运动的示意图如图所示：vA=4m/svB=10m/s7m追上处追上处a=-2m/s2A A车追上车追上B B车可能有两种不同情况：车可能有两种不同情况：B B车停止前被追及和车停止前被追及和B B车停止后被追及。车停止后被追及。究竟是哪一种情况，应根据解答结果，由实际情况究竟是哪一种情况，应根据解答结果，由实际情况判断。判断。解答：解答：设经时间设经时间t追上。依题意：追上。依题意：vBt+at2/2+x=vAt10t-t2+7=4tt=7st
18、=-1s(舍去舍去)B车刹车的时间车刹车的时间t=vB/a=5s显然，显然，B车停止后车停止后A再追上再追上B。B车刹车的位移车刹车的位移xB=vB2/2a=102/4=25mA车的总位移车的总位移xA=xB+x=32m t=xA/vA=32/4=8s思考：思考：若将题中的若将题中的7m改为改为3m，结果如何？，结果如何？答：答：甲车停止前被追及甲车停止前被追及分析追及和相遇问题时要注意：分析追及和相遇问题时要注意：1.1.一定要抓住一个条件两个关系一定要抓住一个条件两个关系（1 1）一个条件是两个物体）一个条件是两个物体速度相等速度相等时满足的临界条件，时满足的临界条件，如两个物体的距离是最
19、大还是最小，是否恰好追上等。如两个物体的距离是最大还是最小，是否恰好追上等。（2 2）两个关系是）两个关系是时间时间关系和关系和位移位移关系关系时间关系指两物体是同时运动还是一前一后时间关系指两物体是同时运动还是一前一后位移关系指两物体同地运动还是一前一后，位移关系指两物体同地运动还是一前一后，通过画运通过画运动示意图找两物体间的位移关系是解题的关键。动示意图找两物体间的位移关系是解题的关键。2.2.若被追赶的物体做若被追赶的物体做匀减速运动匀减速运动，一定要注意，一定要注意，追上追上前该物体是否停止运动前该物体是否停止运动。3.3.仔细审题，注意抓住题目中的关键字眼，充分挖掘仔细审题，注意抓住题目中的关键字眼，充分挖掘题目中隐含条件，如题目中隐含条件，如“刚好刚好”、“恰巧恰巧”、“最多最多”、“至少至少”等，往往对应一个临界状态，满足相应的等，往往对应一个临界状态，满足相应的临界条件。临界条件。