自动化控制原理doc资料.ppt

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1、第4章第1页EXIT自动化控制原理第4章第2页EXIT4.1 根轨迹的基本概念根轨迹的基本概念 4.2 绘制根轨迹的基本规则绘制根轨迹的基本规则4.3 控制系统根轨迹的绘制控制系统根轨迹的绘制4.4 控制系统的根轨迹分析控制系统的根轨迹分析第4章第3页EXIT1948年年伊伊万万斯斯提提出出求求解解闭闭环环特特征征方方程程的的根根的的图图解解方方法法根轨迹法。根轨迹法。考考虑虑到到开开环环零零极极点点更更易易获获取取，在在开开环环零零、极极点点分分布布已已知知的的情情况况下下，可可绘绘制制闭闭环环极极点点随随系系统统参参数数变变化化（如如放大系数）而在放大系数）而在s平面上移动的轨迹（根轨迹）

2、。平面上移动的轨迹（根轨迹）。用途：用途：对系统的性能进行分析；对系统的性能进行分析；确定系统应有的结构、参数；确定系统应有的结构、参数；进行设计和综合。进行设计和综合。第4章第4页EXIT4 41 1 根轨迹的基本概念根轨迹的基本概念根轨迹的基本概念根轨迹的基本概念 第4章第5页EXIT一、根轨迹图一、根轨迹图1.定义：定义：根根平平面面：在在一一个个复复平平面面（s平平面面）上上标标出出开开环环零零、极极点点，并并根据此描述闭环极点的性质，这个复平面就称为根据此描述闭环极点的性质，这个复平面就称为根平面根平面。根根轨轨迹迹：指指系系统统开开环环传传递递函函数数中中某某一一参参数数（一一般般

3、为为Kg，根根轨轨迹增益迹增益）变化）变化时，闭环特征根在根平面上所走过的轨迹。时，闭环特征根在根平面上所走过的轨迹。第4章第6页EXIT2.用解析法绘制根轨迹（实例）用解析法绘制根轨迹（实例）例例4-1：系统开环传递函数为：系统开环传递函数为：1.1.时间常数表示法时间常数表示法主要用于主要用于频率分析频率分析中；中；2.2.零极点表示法零极点表示法主要用于主要用于根轨迹分析根轨迹分析中。中。第4章第7页EXIT开环有两个极点：开环有两个极点：p1=0，p2=1开环没有零点。开环没有零点。可见，可见，当当Kg 变化，两个闭环极点也随之连续变化。变化，两个闭环极点也随之连续变化。当当Kg 从从

4、0变变化化时时，直直接接描描点点作作出出两两个个闭闭环环极极点点的的变变化轨迹。化轨迹。闭环特征方程为：闭环特征方程为：D(s)=s2+s+Kg=0解得解得闭环特征根（亦即闭环极点）闭环特征根（亦即闭环极点）第4章第8页EXIT（2）当当0Kg0.25时时，s1、s2均均为为负负实实数数，且且位位于负实轴的（于负实轴的（1，0）一段上。一段上。（1）当当 Kg=0时时，s1=0、s2=1，此此时时闭闭环环极极点就是开环极点。点就是开环极点。（5）当当Kg时时，s1=0.5+j、s2=0.5j，此时，此时s1、s2将趋于无限远处。将趋于无限远处。（3）当当Kg=0.25时时，s1=s2=0.5，

5、两两个个负负实实数数闭环极点重合在一起。闭环极点重合在一起。（4）当当0.25Kg时时，s1,2=0.5 ，两两个个闭闭环环极极点点变变为为一一对对共共轭轭复复数数极极点点。s1、s2的的实实部部不不随随Kg变变化化，其其位位于于过过（1，0）点点且且平平行行于于虚虚轴的直线上。轴的直线上。第4章第9页EXIT（1）根根轨轨迹迹增增益益Kg从从0时时，根根轨轨迹迹均均在在s平平面面左左半半部部，在在所所有有的的Kg值下系统都是稳定的。值下系统都是稳定的。（2）当当0Kg0.25时时，闭闭环环特特征征根根为为共共轭轭复复根根，系系统统呈呈欠欠阻阻尼尼状状态态，其其阶阶跃跃响响应应为衰减的振荡过程

6、。为衰减的振荡过程。（5）有有一一个个为为0的的开开环环极极点点，系系统统为为型型系系统统，其其阶阶跃跃作作用用下下的的稳稳态态误误差差ess为为零。零。可根据根轨迹形状评价系统的动态性能和稳态性能：可根据根轨迹形状评价系统的动态性能和稳态性能：第4章第11页EXIT 由由上上述述分分析析过过程程可可知知，系系统统的的根根轨轨迹迹分分析析的的意意义义在在于于：由由较较易易获获取取的的开开环环零零极极点点分分布布分分析析闭闭环环极极点点的的性性质质，从从而而，对系统的动态性能和稳态性能进行分析。对系统的动态性能和稳态性能进行分析。但但是是，试试探探法法不不是是绘绘制制根根轨轨迹迹的的最最合合适适

7、方方法法，而而且且也也太太费费时时间间。对对于于高高阶阶系系统统，用用这这种种解解析析的的方方法法绘绘制制出出系系统统的的根根轨轨迹迹图图是是很很麻麻烦烦的的。实实际际上上，闭闭环环系系统统的的特特征征根根的的轨轨迹迹都都是是根根据据开开环环传传递递函函数数与与闭闭环环特特征征根根的的关关系系，以以及及已已知知的的开开环环极极点点和和零零点点在在根根平平面面上上的的分分布布，按按照照一一定定的的规规则则用用图解的方法绘制出来的。图解的方法绘制出来的。第4章第12页EXIT二、二、根轨迹方程根轨迹方程 绘制根轨迹的实质，在于由开环零极点在绘制根轨迹的实质，在于由开环零极点在s平面寻找闭环特征根的

8、位置平面寻找闭环特征根的位置。闭环传递函数为闭环传递函数为闭环特征方程为闭环特征方程为 即即 m个开环零点个开环零点 n个开环极点个开环极点 Kg：根轨迹增益：根轨迹增益 在在s平平面面上上凡凡是是满满足足上上式式的的任任意意一一个个点点s1、s2、s，都都是是闭闭环环特特征征根根，即即闭闭环环极极点点。对应于对应于Kg 从从0。G(s)H(s)（根轨迹方程）（根轨迹方程）（根轨迹方程）（根轨迹方程）第4章第13页EXIT三、根根轨轨迹的幅迹的幅值值条件条件方程方程和相角条件和相角条件方程方程为复数，故根轨迹方程是一个向量方程。为复数，故根轨迹方程是一个向量方程。相角条件：相角条件：幅值条件：

9、幅值条件：第4章第14页EXIT 相相角角条条件件方方程程和和Kg无无关关，s平平面面上上任任意意一一点点，只只要要满满足足相相角角条条件件方方程程，则则必必定定同同时时满满足足幅幅值值条条件件，该该点点必必定定在在根根轨轨迹迹上上，即即对对应应不不同同的的Kg时时的的闭闭环环极极点点，相相角角条条件件是是决决定定闭闭环环系系统统根根轨轨迹迹的的充充分分必必要要条条件件。（实实、虚虚轴轴选选用用相相同同的的比例尺刻度）比例尺刻度）第4章第15页EXIT四、四、幅幅值值条件和相角条件条件和相角条件应用应用 为从一个开环零点指向为从一个开环零点指向s的向量的向量为从一个开环极点指向为从一个开环极点

10、指向s的向量的向量向量的模为长度，即向量的模为长度，即s平面上两点之间的距离；平面上两点之间的距离；相角为此向量指向方向与实轴之间的夹角，相角为此向量指向方向与实轴之间的夹角，逆时针为正，顺时针为负；逆时针为正，顺时针为负；1.可以直接计算可以直接计算 ；2.在图上直接测量在图上直接测量s为试探点为试探点第4章第16页EXIT解：解：不符合相角条件，不符合相角条件，s1不在根轨迹上。不在根轨迹上。满足相角条件，满足相角条件，s2在根轨迹上。在根轨迹上。1.用相角条件求根轨迹（试探法）用相角条件求根轨迹（试探法）例例：已已知知系系统统的的开开环环传传递递函函数数如如下下，试试判判断断 是是否否在

11、根轨迹上。在根轨迹上。第4章第17页EXIT2.用幅值条件确定用幅值条件确定Kg的值的值解：解：例：求上例中根轨迹上例：求上例中根轨迹上 点对应的点对应的Kg。也可以用直尺测量向量的长度。也可以用直尺测量向量的长度。第4章第18页EXIT小结：小结：相角条件相角条件 判断是否闭环极点（根）判断是否闭环极点（根）幅值条件幅值条件 确定对应的根轨迹增益确定对应的根轨迹增益图解法：注意坐标、比例图解法：注意坐标、比例 但但是是控控制制系系统统的的根根轨轨迹迹图图不不能能遍遍历历s平平面面上上所所有有的的点点来来绘绘制制。因因为为在在满满足足根根轨轨迹迹条条件件方方程程的的基基础础上上，根根轨轨迹迹的

12、的图图是是有有一一些些规规律律的的。依依据据绘绘制制轨轨迹迹图图的的一一些些基基本本法法则则，就就可可以以绘绘制出控制系统的根轨迹草图。制出控制系统的根轨迹草图。第4章第19页EXIT4 42 2 绘制根轨迹的基本规则绘制根轨迹的基本规则绘制根轨迹的基本规则绘制根轨迹的基本规则 由开环零、极点由开环零、极点由开环零、极点由开环零、极点当当当当K Kg g为可变参数时，闭环极为可变参数时，闭环极为可变参数时，闭环极为可变参数时，闭环极点的变化轨迹。点的变化轨迹。点的变化轨迹。点的变化轨迹。第4章第20页EXIT是是Kg或其它参数的连续函数。或其它参数的连续函数。当当Kg从从0+连连续续变变化化时

13、时，闭闭环环极极点点连连续续变变化化，即即根根轨迹是连续变化的曲线或直线轨迹是连续变化的曲线或直线。二、对称性二、对称性 线线性性系系统统特特征征方方程程系系数数均均为为实实数数，闭闭环环极极点点均均为为实实数或共轭复数（包括一对纯虚根），数或共轭复数（包括一对纯虚根），根轨迹对称于实轴。根轨迹对称于实轴。一、连续性一、连续性第4章第21页EXIT三、根轨迹的分支数三、根轨迹的分支数 开开环环传传递递函函数数为为n阶阶，故故开开环环极极点点和和闭闭环环极极点点数数目目都都为为n个个，当当Kg从从0+变变化化时时，n个个根根在在s平平面面上上连连续续形形成成n条条根根轨迹。轨迹。一条根轨迹对应一

14、个闭环极点随一条根轨迹对应一个闭环极点随Kg的连续变化轨迹。的连续变化轨迹。根轨迹的分支数根轨迹的分支数=系统的阶数系统的阶数n第4章第22页EXIT四、四、根轨迹的起点和终点根轨迹的起点和终点由幅值条件有：由幅值条件有：1.起点起点：Kg=0，等式右边等式右边，仅当，仅当成立，成立，n条根轨迹起始于系统的条根轨迹起始于系统的n个开环极点。个开环极点。第4章第23页EXIT另另外外nm条条根根轨轨迹迹终终止止于于处处（，相相角角可可为为任任意意方方向）。向）。结论：结论：根根轨轨迹迹以以n个个开开环环极极点点为为起起点点；以以m个个开开环环零零点点为终点，另外为终点，另外nm条根轨迹终止于无穷

15、远处。条根轨迹终止于无穷远处。2.终点终点：Kg ，等式右边等式右边=0当当由于由于nm时，只有时，只有s 处处成立，成立，m条根轨迹终止于条根轨迹终止于m 个开环零点处；个开环零点处；第4章第24页EXIT五、根轨迹的渐近线五、根轨迹的渐近线 若若nm，当当Kg从从0+时时，有有(nm)条条根根轨轨迹迹分分支支沿沿着着实实轴轴正正方方向夹角向夹角，截距为，截距为 的一组渐近线趋向无穷远处。的一组渐近线趋向无穷远处。与实轴交点的坐标：与实轴交点的坐标：仅仅当当s足足够够大大时时，根根轨轨迹迹才才向向渐渐近近线线逐逐渐渐逼近，逼近，Kg，根轨迹才与渐近线重合。，根轨迹才与渐近线重合。一般直接取一

16、般直接取180。第4章第25页EXIT例例：已已知知控控制制系系统统的的开开环环传传递递函函数数如如下下，确确定定s平平面面上上根根轨迹的渐近线方向。轨迹的渐近线方向。解：开环极点：解：开环极点：开环零点：开环零点：3条趋于无穷远处条趋于无穷远处夹角夹角截距截距第4章第26页EXIT-2-10例：例：第4章第27页EXIT六、六、实轴上的根轨迹实轴上的根轨迹 、两两向向量量对对称称于于实实轴轴，引引起起的的相相角角大大小小相相等、方向相反；等、方向相反；开开环环复复平平面面上上的的开开环环零零、极极点点，由由于于是是共共轭轭复复数数对对，对对实实轴轴上上任任一一点点s1的的相相角角影影响响为为

17、0 0，对对于于实实轴轴上上根根轨轨迹迹的的判别来说不影响幅角条件。判别来说不影响幅角条件。判断判断 s1是否落在根轨迹上，共轭零、极点不考虑。是否落在根轨迹上，共轭零、极点不考虑。、两两向向量量也也对对称称于于实实轴轴，引引起起的的相相角角大大小小相相等、方向相反。等、方向相反。第4章第28页EXIT位位于于s1左左边边的的实实数数零零、极极点点：、向向量量引引起起的的相角为相角为0位位于于s1右右边边的的实实数数零零、极极点点：每个零、极点提供每个零、极点提供180相角。相角。结结论论：s1右右边边的的实实数数零零、极极点点（开开环环）个个数的总和为奇数，则数的总和为奇数，则s1位于根轨迹

18、上。位于根轨迹上。判判断断 s1是是否否落落在在根根轨轨迹迹上上，位位于于s1左左边边的的零零、极极点点不不考虑。考虑。第4章第29页EXIT-2-10第4章第30页EXIT七、七、根轨迹的分离点和会合点根轨迹的分离点和会合点 若若两两条条根根轨轨迹迹在在复复平平面面上上的的某某一一点点相相遇遇后后又又分分开开，称称该该点点为为根根轨轨迹迹的的分分离离点点或或会会合合点点。此此点点对对应应于于二二重重根根（实实根根和和共共轭轭复复数数根根）。一一般般多多出出现现在实轴上。在实轴上。1.分析：如图，分析：如图，为实轴上的根轨迹。为实轴上的根轨迹。两两条条根根轨轨迹迹分分别别由由-p1和和-p1出

19、出发发，随随Kg的的增增大大，会会合合于于a点点继继而而又又分分开开，离离开开实实轴轴，进进入入复复平平面面，再再回回到到实实轴轴，会会合于合于b点再离开，一条终止于点再离开，一条终止于-z z1，另一趋于负无穷远处。，另一趋于负无穷远处。0j-p2-p1-z1ab第4章第31页EXIT2.2.规律：规律：若若实实轴轴上上两两相相邻邻开开环环极极点点之之间间存存在在根根轨轨迹迹，之之间间必必有有分离点；分离点；若若实实轴轴上上相相邻邻开开环环零零点点（一一个个可可视视为为无无穷穷远远）之之间间存存在根轨迹，之间必有会合点；在根轨迹，之间必有会合点；若若实实轴轴上上开开环环零零点点与与极极点点之

20、之间间存存在在根根轨轨迹迹，则则其其间间可可能既有分离点也有会合点，也可能都没有。能既有分离点也有会合点，也可能都没有。第4章第32页EXIT3.3.求分离角（会合角）求分离角（会合角）在分离点（会合点）上，根轨迹切线与正实轴的夹角，在分离点（会合点）上，根轨迹切线与正实轴的夹角，k为相分离的根轨迹分支数。为相分离的根轨迹分支数。第4章第33页EXIT4.分离点的求取分离点的求取 重根法重根法 特征方程：特征方程：A(s)=0 具有重根，则：具有重根，则：消消Kg得：得：特征方程：特征方程：s 分离点分离点第4章第34页EXIT 极值法极值法 牛顿余数定理的使用（二阶以上）牛顿余数定理的使用（

21、二阶以上）第4章第35页EXIT例例：已已知知控控制制系系统统的的开开环环传传递递函函数数如如下下，试试求求根根轨轨迹迹在在实轴上的分离点。实轴上的分离点。解：解：（用重根法）（用重根法）第4章第36页EXIT判断：判断：开环极点有三个开环极点有三个 在实轴上在实轴上 为根轨迹为根轨迹，则则 s1满足，为分离点。满足，为分离点。-2-10-0.423第4章第37页EXIT七、根轨迹的出射角和入射角七、根轨迹的出射角和入射角出射角：始于开环极点的根轨迹在起点的切线与正实轴的夹角出射角：始于开环极点的根轨迹在起点的切线与正实轴的夹角入射角：止于开环零点的根轨迹在终点的切线与正实轴的夹角入射角：止于

22、开环零点的根轨迹在终点的切线与正实轴的夹角 ：由其它各开环零点指向：由其它各开环零点指向 的向量的幅角的向量的幅角 ：由其它各开环极点指向：由其它各开环极点指向 的向量的幅角的向量的幅角入射角：入射角：出射角：出射角：第4章第38页EXIT说明：说明：则则 趋趋于于 ，而而 、和和 也也分分别别趋趋于于各各开开环环零零点点和和极极点点相相对对于于 点点的的向向量量的的相角相角 、和和 。这时。这时 当当 点趋于点趋于 时，时，即为根轨迹离开即为根轨迹离开 点的出射角，点的出射角，在在 离开的根轨迹上取一点离开的根轨迹上取一点 ，应满足相角条件，即应满足相角条件，即 第4章第39页EXIT九、九

23、、根轨迹与虚轴的交点根轨迹与虚轴的交点 随随着着Kg，根根轨轨迹迹可可能能由由s左左半半平平面面右右半半平平面面，系系统统会会从从稳稳定定不不稳稳定定，根根轨轨迹迹与与虚虚轴轴的的交交点点，即即闭闭环环特特征征方方程出现程出现纯虚根纯虚根，出现临界稳定。，出现临界稳定。求解方法（两种方法）：求解方法（两种方法）：劳劳斯斯判判据据：第第一一列列有有0元元素素（纯纯虚虚根根），代代入入辅助方程，此处的增益辅助方程，此处的增益临界根轨迹增益临界根轨迹增益Kgp。令令s=j代入闭环特征方程代入闭环特征方程A(s)=0，再令，再令求出求出、交点坐标和、交点坐标和Kg。第4章第40页EXIT例例：已已知知

24、系系统统的的开开环环传传递递函函数数，求求根根轨轨迹迹与与虚虚轴轴的的交交点点、临界根轨迹增益临界根轨迹增益Kgp。解：解：交点坐标：交点坐标：得：得：（舍去）（舍去）令令s=j代入有代入有第4章第41页EXIT当当 时，时，s1 行等于行等于0，有一对纯虚根，辅助方程，有一对纯虚根，辅助方程 1 2 3 0s3s2s1s0 解：解：劳斯判据劳斯判据第4章第42页EXIT-2-10-0.423 根轨迹和虚轴交点相应于系统根轨迹和虚轴交点相应于系统处于临界稳定状态。即处于临界稳定状态。即K3后，系后，系统不稳定（有闭环右极点）。统不稳定（有闭环右极点）。第4章第43页EXIT十、十、闭环极点的和

25、闭环极点的和由根与系数的关系，当：由根与系数的关系，当：开环极点之和开环极点之和=闭环极点之和闭环极点之和=常数常数 表表明明，随随着着Kg，若若闭闭环环一一些些特特征征根根增增大大时时，另另一一些些特特征征根根必必定定减减小小，以以保保持持其其代代数数和和为为常常数数。即即一一些些分分支支向向右右移移动动时时，另一些分支必向左移动，保持左右平衡。另一些分支必向左移动，保持左右平衡。可根据部分分支走向，判断另一些分支的走向。可根据部分分支走向，判断另一些分支的走向。对对于于某某一一Kg，若若已已知知（n-1）个个闭闭环环极极点点，可可求求最最后后一一个个闭闭环极点。环极点。第4章第44页EXI

26、T例例：已已 知知 系系 统统 的的 开开 环环 传传 递递 函函 数数，根根 轨轨 迹迹 与与 虚虚 轴轴 的的 交交 点点 为为 ，试试求求其其相相应应的的第第三三个个闭闭环环极极点点，并并求求交交点点处处的的临临界界根根轨迹增益轨迹增益Kgp解：开环极点之和解：开环极点之和闭环极点之和：闭环极点之和：第4章第45页EXIT-2-10-0.423 向左，向左，、关于实关于实轴对称，只能向右移动。轴对称，只能向右移动。第4章第46页EXIT小结小结（重要）（重要）按按10条条规规则则绘绘制制控控制制系系统统从从Kg=0+时时根根轨轨迹迹的草图的草图直观分析直观分析Kg变化对性能的影响；变化对

27、性能的影响；进进一一步步根根据据幅幅角角条条件件，采采用用试试探探法法准准确确确确定定若若干干点点的的位位置置（特特别别是是虚虚轴轴附附近近或或原原点点附附近近）精精确确根根轨迹。轨迹。（根轨迹的重要部位，稳定（根轨迹的重要部位，稳定不稳定）不稳定）第4章第47页EXIT4 43 3 控制系统控制系统控制系统控制系统根轨迹的绘制根轨迹的绘制根轨迹的绘制根轨迹的绘制第4章第48页EXIT一、单回路系统的根轨迹一、单回路系统的根轨迹1.1.例例 设设系系统统的的开开环环传传递递函函数数为为，试绘制系统的根轨迹。试绘制系统的根轨迹。解：解：-2-10-0.423第4章第49页EXIT 分离点处时第分

28、离点处时第3个闭环特征根个闭环特征根第4章第50页EXIT可估计根轨迹的走势可估计根轨迹的走势a.一一条条分分支支以以极极点点2为为起起点点向向左左移移动动至至无无穷穷远远处处，另另一一条条分分支支以以极极点点0为为起起点点开开始始向向左左移移动动，余余下下的的分分支支以以极极点点1为为起起点点向向右右移移动动，为为保保持持平平衡衡，向向右右分分支支必必须须走走得得更更快快，所所以以分分离离点点在在中中央央偏偏右右0.423处；处；b.以以2为为起起点点的的分分支支不不断断向向左左，所所以以其其它它两两条条分分支支经经分分离离点点后后必必向向右右推推进进，至无穷远。至无穷远。第4章第51页EX

29、IT2.例：例：解（解（1）无开环零点，开环极点）无开环零点，开环极点 在实轴上根轨迹在实轴上根轨迹-3，0。第4章第52页EXIT（2）n-m=4，有，有4条分支趋向无穷远处条分支趋向无穷远处。渐近线的夹角与交点。渐近线的夹角与交点第4章第53页EXIT（3）实轴上的分离点）实轴上的分离点第4章第54页EXIT（4）起始角（出射角）起始角（出射角）第4章第55页EXIT（5）与虚轴的交点）与虚轴的交点=0=0第4章第56页EXIT（2）n-m=4，有，有4条分支趋向无穷远处条分支趋向无穷远处。（1）无开环零点，开环极点，）无开环零点，开环极点，在实轴上根轨迹在实轴上根轨迹-3，0。（3）实轴

30、上的分离点）实轴上的分离点（4）起始角（出射角）起始角（出射角）（5）与虚轴的交点）与虚轴的交点第4章第57页EXIT2.圆弧根轨迹圆弧根轨迹 当当系系统统仅仅具具有有两两个个开开环环极极点点和和一一个个开开环环零零点点时时，这这时时根根轨轨迹迹可可能能是是直直线线或或圆圆弧弧，但但只只要要根根轨轨迹迹一一旦旦离离开开实实轴，必然是沿圆弧移动。轴，必然是沿圆弧移动。圆心：开环零点圆心：开环零点 半径：半径：第4章第58页EXIT例例4.7设系统开环传递函数，求根轨迹。设系统开环传递函数，求根轨迹。当闭环特征根变至实部为当闭环特征根变至实部为1时，其对应的时，其对应的解：两个开环极点：解：两个开

31、环极点：一个开环零点：一个开环零点：根轨迹在实轴上的区间：根轨迹在实轴上的区间：圆心：圆心：（-1，j0）半径：半径：第4章第59页EXIT4.典型根轨迹与开环零极点间关系典型根轨迹与开环零极点间关系 根轨迹均为直线或光滑的弧线（不可能有折线）；根轨迹均为直线或光滑的弧线（不可能有折线）；从分离点离开实轴再回到实轴（会合点），一般为圆弧；从分离点离开实轴再回到实轴（会合点），一般为圆弧；n-m2，左右平衡；，左右平衡；分离点：实轴上相邻开环极点之间有根轨迹分离点：实轴上相邻开环极点之间有根轨迹 会合点：实轴上相邻开环零点之间有根轨迹。会合点：实轴上相邻开环零点之间有根轨迹。第4章第60页EXI

32、T绘制顺序：绘制顺序：1.首先确定实轴上的根轨迹首先确定实轴上的根轨迹2.由由n-m2时的规律大致确定其余根轨迹的走向时的规律大致确定其余根轨迹的走向3.较较为为准准确确地地确确定定其其余余n-m条条终终止止于于处处的的根根轨轨迹迹的的渐渐近近线线（截距，角度）（截距，角度）第4章第61页EXIT二、参数根轨迹二、参数根轨迹 某某些些开开环环零零、极极点点、时时间间常常数数、反反馈馈比比例例系系数数等等，作作为为可可变变参参数数所所绘绘制制的的根根轨轨迹迹，称称之之为为参参数数根根轨轨迹迹。用用参参数数根根轨轨迹可以分析系统中的各种参数对系统的影响迹可以分析系统中的各种参数对系统的影响。绘制参

33、数根轨迹的步骤如下：绘制参数根轨迹的步骤如下：（1）写出原系统的特征方程。）写出原系统的特征方程。（2）以以特特征征方方程程中中不不含含参参数数的的各各项项除除特特征征方方程程，得得等等效效系系统统的的根根轨轨迹迹方方程程，该该方方程程中中原原系系统统的的参参数数即即为为等等效效系系统统的的根根轨迹增益。轨迹增益。（3）绘制等效系统的根轨迹，即为原系统的参数根轨迹。）绘制等效系统的根轨迹，即为原系统的参数根轨迹。第4章第62页EXIT例例4.8 控控制制系系统统如如图图所所示示，当当Kg=4时时，试试绘绘制制开开环环极极点点p变化时参数根轨迹。变化时参数根轨迹。解解 当当Kg=4时，系统的开环

34、传递函数为时，系统的开环传递函数为系统的闭环传递函数为系统的闭环传递函数为闭环特征方程为闭环特征方程为第4章第63页EXITGDK(s)也可用特征方程中不含参量的各项去除特征方程求得。也可用特征方程中不含参量的各项去除特征方程求得。由于由于所以系统的等效开环传递函数为所以系统的等效开环传递函数为 GDK(s)与与原原系系统统的的开开环环传传递递函函数数GK(s)在在闭闭环环特特征征方方程程上上是是等等价价的的，因因此此称称为为等等效效开开环环传传递递函函数数。GDK(s)中中的的参参数数称称为为等效根轨迹增益等效根轨迹增益。第4章第64页EXIT 按按照照根根轨轨迹迹绘绘图图规规则则，可可以以

35、绘绘制制等等效效系系统统的的等等效效根根轨轨迹迹p从从零零变变化化到到无无穷穷大大时时等效系统的根轨迹。等效系统的根轨迹。在在p=0时时，Kg从从零零变变化化到到无无穷大时的根轨迹穷大时的根轨迹 第4章第65页EXIT三、多回路系统的根轨迹三、多回路系统的根轨迹 实实际际中中，许许多多系系统统为为抑抑制制干干扰扰以以提提高高系系统统的的性性能能，除除了了有有主主反反馈馈闭闭环环外外，还还设设置置了了内内环环通通道道，这这就就是是多多回回路路系系统统。例例如如在在机机电电调调速速系系统统中中，通通常常是是除除了了速速度度反反馈馈外外，还还有有电电流流反反馈馈形形成成的的内内环环，亦亦称称双双闭闭

36、环环系系统统。在在工工业业过过程程控控制制中中也也有有类类似似的的双双闭闭环环控控制制系系统统，如如串串级级控控制制系系统统。多多回回路路系系统统的的根根轨轨迹迹的的绘绘制较单回路要复杂一些。制较单回路要复杂一些。第4章第66页EXIT系统的开环传递函数为系统的开环传递函数为 GK(s)的的零零点点包包括括G1(s)、G2(s)和和G3(s)的的零零点点。其其中中，G2(s)的的零零点点和和G/2(s)的的零零点点相相同同。GK(s)的的极极点点包包括括G1(s)、G2(s)和和G3(s)的极点。的极点。第4章第67页EXITG2(s)的极点决定于的极点决定于 是是一一个个单单回回路路负负反反

37、馈馈系系统统的的根根轨轨迹迹方方程程，称称为为局局部部反馈回路的根轨迹方程反馈回路的根轨迹方程。或或 第4章第68页EXIT 如如果果需需要要绘绘制制的的G1(s)或或G3(s)的的某某个个参参数数变变化化时时多多回回路路系系统统的的根根轨轨迹迹或或参参数数根根轨轨迹迹，则则G2(s)的的极极点点是是比比较较容容易易得得到到的的。例例如如，通通过过解解析析法法求求得得或或根根据据式式（4.41）绘绘制制局局部部反反馈馈回回路路的的根根轨轨迹迹或或参参数数根根轨轨迹迹而而确确定。定。如如果果需需要要绘绘制制的的是是G2(s)的的某某个个参参数数变变化化时时多多回回路路系系统统的的根根轨轨迹迹或或

38、参参数数根根轨轨迹迹，则则G2(s)的的极极点点难难以以确确定定。因因为为这这个个参参数数变变化化时时G2(s)的的极极点点也也跟跟着着变变化化。这这样样，应应根根据据多多回回路路系系统统的的特特征征方方程程直直接接绘绘制制该该参参数数变变化化时多回路系统的参数根轨迹。时多回路系统的参数根轨迹。第4章第69页EXIT四、正反馈系统的根轨迹四、正反馈系统的根轨迹 负负反反馈馈是是自自动动控控制制系系统统的的一一个个重重要要特特点点。但但在在有有些些系系统统中中，内内环环是是一一个个正正反反馈馈回回路路。这这种种局局部部正正反反馈馈的的结结构构可可能能是是控控制制对对象象本本身身的的特特性性，也也

39、可可能能是是为为满满足足系系统统的的某某种种性性能能要要求求在设计系统时加进的。在设计系统时加进的。在在利利用用根根轨轨迹迹法法对对系系统统进进行行分分析析或或综综合合时时，有有时时需需绘绘制制正正反反馈馈系系统统的的根根轨轨迹迹。这这时时，绘绘制制根根轨轨迹迹的的条条件件和和规规则则与与上上述有所区别。述有所区别。第4章第70页EXIT在绘制正反馈回路的根轨迹时，规则修改如下。在绘制正反馈回路的根轨迹时，规则修改如下。除了上述除了上述3项规则修改外，其他规则均不变。项规则修改外，其他规则均不变。规规则则5 在在实实轴轴的的线线段段上上存存在在根根轨轨迹迹的的条条件件是是：其其右右边边的的开开

40、环环零、极点数目之和为偶数。零、极点数目之和为偶数。规则规则7 根轨迹的出射角和入射角的计算公式为根轨迹的出射角和入射角的计算公式为规则规则4 n-m条渐进线与实轴的夹角的计算公式为：条渐进线与实轴的夹角的计算公式为：第4章第71页EXIT例例4.9 已已知知单单位位正正反反馈馈系系统统的的开开环环传传递递函函数数，试试绘绘制制系系统的根轨迹。统的根轨迹。解解（1）根根轨轨迹迹起起点点在在0，1，5。共共有有三三支支，终终点点均均在在无穷远处。无穷远处。（2）趋趋于于无无穷穷远远处处的的根根轨轨迹迹的的渐渐近近线线与与实实轴轴相相交交于于2，夹夹角角由由（4-53）计计算算，结结果果为为0，1

41、20，240第4章第72页EXIT（3）实轴上根轨迹的区间：）实轴上根轨迹的区间：5，1和和0，。即即解得解得 s=3.52，0.48（舍去）（舍去）（4）根轨迹的分离点按下式计算）根轨迹的分离点按下式计算第4章第73页EXIT五、五、滞后系统的根轨迹滞后系统的根轨迹 包包含含时时间间滞滞后后环环节节的的系系统统称称为为纯纯时时间间滞滞后后系系统统，或或简简称称为为滞滞后后系系统统。滞滞后后环环节节的的存存在在使使根根轨轨迹迹具具有有一一定定的的特特殊殊性性，并往往对系统的稳定性带来不利的影响并往往对系统的稳定性带来不利的影响。滞后系统的根轨迹方程为滞后系统的根轨迹方程为第4章第74页EXIT

42、幅值方程为幅值方程为幅角方程为幅角方程为滞后系统的根轨迹方程为滞后系统的根轨迹方程为第4章第75页EXIT 当当=0时时幅幅值值方方程程和和幅幅角角方方程程与与一一般般系系统统的的幅幅值值方方程程和和幅角方程相同。幅角方程相同。当当00时时，特特征征根根s=+j+j的的实实部部将将影影响响幅幅值值方方程程，而而相相角方程也不是角方程也不是180，它是，它是的函数，且和的函数，且和k k值有关。值有关。幅值方程为幅值方程为幅角方程为幅角方程为第4章第76页EXIT当当k=1时，幅角方程变为时，幅角方程变为 显显然然，当当k值值从从0，1，2变变到到时时，幅幅角角条条件件公公式式的的右右边边也也有

43、有无无穷穷多多个个数数值值。因因此此，对对应应于于一一定定的的Kg值值，同同时时满满足足幅幅值值条条件件和和幅幅角角条条件件的的复复平平面面上上的的点点有有无无穷穷多多个个，即即滞滞后后系系统的根轨迹有无穷多支。统的根轨迹有无穷多支。当当k=0时，幅角方程为时，幅角方程为绘绘制制一一般般系系统统的的根根轨轨迹迹的的基基本本法法则则，用用于于滞滞后系统均应作相应的更改。后系统均应作相应的更改。第4章第77页EXIT4 44 4 控制系统的根轨迹分析控制系统的根轨迹分析控制系统的根轨迹分析控制系统的根轨迹分析第4章第78页EXIT系统的阶跃响应与闭环零、极点的分布密切相关。系统的阶跃响应与闭环零、

44、极点的分布密切相关。系统的阶跃响应与闭环零、极点的分布密切相关。系统的阶跃响应与闭环零、极点的分布密切相关。根根根根据据据据根根根根轨轨轨轨迹迹迹迹求求求求已已已已知知知知参参参参数数数数（一一一一般般般般为为为为%、t ts s）下下下下的的的的主主主主导导导导闭闭闭闭环环环环极点极点极点极点分析系统性能。分析系统性能。分析系统性能。分析系统性能。分析可包括：分析可包括：分析可包括：分析可包括：1.1.由给定参数确定闭环零、极点；由给定参数确定闭环零、极点；由给定参数确定闭环零、极点；由给定参数确定闭环零、极点；2.2.分析参数变化对系统稳定性的影响；分析参数变化对系统稳定性的影响；分析参数

45、变化对系统稳定性的影响；分析参数变化对系统稳定性的影响；3.3.计算系统的瞬态性能和稳态性能指标；计算系统的瞬态性能和稳态性能指标；计算系统的瞬态性能和稳态性能指标；计算系统的瞬态性能和稳态性能指标；4.4.根据性能要求根据性能要求根据性能要求根据性能要求确定系统的参数。确定系统的参数。确定系统的参数。确定系统的参数。第4章第79页EXIT一、由给定性能求取闭环系统极点的方法一、由给定性能求取闭环系统极点的方法 例例：已已知知系系统统开开环环传传递递函函数数，求求具具有有阻阻尼尼比比 =0.5的的共共轭轭闭闭环环主主导导极极点点和和其其它它闭闭环环极极点点，并并估估算算此此时时系统的性能指标。

46、系统的性能指标。解解：绘制根轨迹绘制根轨迹第4章第80页EXIT 分离点：分离点：与虚轴的交点：与虚轴的交点：稳定范围稳定范围 作图求作图求 =0.5时三个闭环极点时三个闭环极点-0.465第4章第81页EXIT 作图求作图求 =0.5时三个闭环极点时三个闭环极点-0.465第4章第82页EXIT非主导极点与主导极点实部之比非主导极点与主导极点实部之比 -s1、-s2 在系统的瞬态响应过程中起着主在系统的瞬态响应过程中起着主导性作用，是闭环主导极点。导性作用，是闭环主导极点。模之比模之比第4章第83页EXIT 性能分析性能分析可根据由可根据由-s1、-s2 所构成的二阶系统来估算三阶系统。所构

47、成的二阶系统来估算三阶系统。第4章第84页EXIT单位斜坡给定作用下稳态误差：单位斜坡给定作用下稳态误差：型系统：型系统：第4章第85页EXIT二、闭环零、极点分布与阶跃响应的定性关系二、闭环零、极点分布与阶跃响应的定性关系二、闭环零、极点分布与阶跃响应的定性关系二、闭环零、极点分布与阶跃响应的定性关系1.系系统统要要稳稳定定：闭闭环环极极点点全全部部位位于于s左左半半平平面面，与与闭闭环零点无关；环零点无关；2.快快速速性性好好：闭闭环环极极点点均均远远离离虚虚轴轴，以以使使每每个个分分量量衰减更快；衰减更快；3.平平稳稳性性好好：主主导导共共轭轭复复数数极极点点位位于于=45等等阻阻尼尼线

48、上，其对应最佳阻尼系数为线上，其对应最佳阻尼系数为 =0.707；第4章第86页EXIT4.若若非非主主导导极极点点与与主主导导极极点点实实部部比比5，且且主主导导极极点点附附近近又又无无闭闭环环零零点点，则则非非主主导导极极点点可可忽忽略略。一一般般可可近近似似将将高高阶阶系系统统看看成成有有共共轭轭复复数数主主导导极极点点构构成成的的二二阶阶系系统统或或由实数主导极点组成的一阶系统。由实数主导极点组成的一阶系统。5.闭闭环环零零点点可可以以抵抵消消或或削削弱弱附附近近闭闭环环极极点点的的作作用用，当当某某个零点个零点-zi与某个极点与某个极点-pj非常接近，成为一非常接近，成为一对偶极子对

49、偶极子。可可在在系系统统中中人人为为引引入入适适当当的的零零点点，以以抵抵消消对对动动态态过程中有明显坏影响的极点，以提高性能指标。过程中有明显坏影响的极点，以提高性能指标。第4章第87页EXIT三、增加开环零、极点对根轨迹和系统性能的影响三、增加开环零、极点对根轨迹和系统性能的影响三、增加开环零、极点对根轨迹和系统性能的影响三、增加开环零、极点对根轨迹和系统性能的影响1.已已知知系系统统开开环环传传递递函函数数，增增加加-p=-2或或-z=-2，讨论对系统根轨迹和动态性能的影响。讨论对系统根轨迹和动态性能的影响。增加零点后，根轨迹及其分离点向左偏移增加零点后，根轨迹及其分离点向左偏移增加极点

50、后，根轨迹及其分离点向右偏移增加极点后，根轨迹及其分离点向右偏移第4章第88页EXIT增增加加极极点点后后，Kg从从0，两两条条根根轨轨迹迹离离开开实实轴轴，并并进进入入s右半平面，系统不稳定。右半平面，系统不稳定。当当根根轨轨迹迹仍仍在在s左左半半平平面面时时，Kg，振振荡荡程程度度，n，衰减因子，衰减因子，快速性，快速性，动态性能，动态性能。第4章第89页EXIT增增加加零零点点后后，根根轨轨迹迹始始终终在在s左左半半平平面面，最最后后变变为为两两个个负实根，稳定性负实根，稳定性，%，ts，动态性能，动态性能。常在工程中采用增加零点的方法对系统进行校正。常在工程中采用增加零点的方法对系统进