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1、 第四节第四节 隐函数隐函数的的导数导数 参数方程所确定的函数参数方程所确定的函数的的导数导数n内容提要内容提要1.隐函数隐函数的导数；的导数；2.由由参数方程参数方程所确定的函数的导数所确定的函数的导数。n教学要求教学要求1.熟练掌握熟练掌握隐函数隐函数所确定的函数的所确定的函数的一阶一阶导数的导数的求法；求法；2.掌握掌握参数式参数式的函数的的函数的一阶、二阶一阶、二阶导数的求法；导数的求法；3.熟练掌握熟练掌握对数求导法对数求导法。一、隐函数的求导法一、隐函数的求导法 1.显函数、隐函数的概念显函数、隐函数的概念(1)显函数显函数:我们把函数我们把函数y可由自变量可由自变量x的解析式的解
2、析式(2)隐函数隐函数:若变量若变量y与与x之间的函数关系是由某一个之间的函数关系是由某一个方程方程0),(=yxF所确定所确定,那么这种函数称为由方程那么这种函数称为由方程0),(=yxF所确定的所确定的隐函数隐函数.也可以确定一个函数也可以确定一个函数,称称为为显函数显函数.来表示的这种函数来表示的这种函数,方程方程把一个把一个 隐函数隐函数 化为化为 显函数显函数,称为称为隐函数的显化隐函数的显化(1)、复合函数求导法则复合函数求导法则隐函数求导法隐函数求导法,就是不管隐函数能否显化就是不管隐函数能否显化,直直x接在方程接在方程0),(=yxF的两端对的两端对求导求导,由此得到隐由此得到
3、隐函数的导数，函数的导数，若若 y 是由是由0),(=yxF所确定的函数所确定的函数,将方程两边对将方程两边对x求导求导,但但 要要 把把 y 看成看成 中间变量中间变量,应用应用复合函数求导复合函数求导法则法则进行求导。进行求导。注意注意:并不是所有的隐函数都可化为显函数并不是所有的隐函数都可化为显函数.如如方程方程0=+-yxeexy所确定的隐函数就不能显化。所确定的隐函数就不能显化。问题问题:隐函数不易显化或不能显化如何求导隐函数不易显化或不能显化如何求导?例例1 求由方程求由方程222Ryx=+所确定所确定 隐隐 函数的导数函数的导数dxdy解解 这里这里2y可以看作是以可以看作是以
4、y为中间变量的复合函数为中间变量的复合函数运用复合函数的求导法则运用复合函数的求导法则,在方程两边对在方程两边对x 求导求导,隐函数求导的结果中隐函数求导的结果中,可能会含有变量可能会含有变量y.它它 与显函数不同与显函数不同,显函数求导结果中显函数求导结果中,只含有自变只含有自变 量量 x注意注意:例例2求由方程求由方程0=+-yxeexy所确定所确定隐隐函数的导数函数的导数解解运用复运用复合函数求导法则合函数求导法则,在方程两边对在方程两边对x 求导求导,得得00=xy,可以看作可以看作y为中间变量的复合函数为中间变量的复合函数,例例3 求求由方程由方程422=+yxyx确定的曲线上点确定
5、的曲线上点)2,2(-处的切线方程和法线方程，处的切线方程和法线方程，解解 方程两边对方程两边对x求导求导,于是于是故曲线上在点故曲线上在点)2,2(-处切线的处切线的斜率为斜率为 22-=yxyk2222-=+-=yxyxyx1=切线的方程为切线的方程为法线的方程为法线的方程为02)1(22=+xyx解解yyxarctan)2(+=解解练习练习求由下列方程所确定的隐函数的导数求由下列方程所确定的隐函数的导数(2).对数求导法对数求导法观察函数观察函数方法方法:先在方程两边取对数先在方程两边取对数,然后利用隐函数的求导然后利用隐函数的求导方法求出导数方法求出导数.-对数求导法对数求导法适用范围
6、适用范围:下面介绍下面介绍对数求导法对数求导法解解等式两边取对数得等式两边取对数得例例1（隐函数）（隐函数）例例2 已知已知函数函数解解等式两边取自然对数得等式两边取自然对数得xxylnln=得得化简化简得得练习练习解解等式两边取自然对数得等式两边取自然对数得(2)由多个因子的积、商、乘方、开方而成的函数的由多个因子的积、商、乘方、开方而成的函数的求导问题。求导问题。解解等式两边取自然对数：等式两边取自然对数：等式两边取对数得等式两边取对数得解解练习练习二、由参数方程所确定的函数的导数二、由参数方程所确定的函数的导数例如例如消去参数消去参数问题问题:消参困难或无法消参如何求导消参困难或无法消参
7、如何求导?在参数方程在参数方程中，中，即即运用复运用复合函数求导法则合函数求导法则,如果函数如果函数具有二阶导数具有二阶导数,例例1 求由求由参数方程参数方程所确所确定函数的一阶导数定函数的一阶导数和二阶导数和二阶导数解解 由参数方程的求导方法由参数方程的求导方法,得一阶导数得一阶导数或或tdxdycot-=导数导数再用参数方程的求导方法再用参数方程的求导方法,得二阶得二阶例例2 求摆线求摆线 -=-=)cos1()sin(tayttax在在2p p=t处的切线方程处的切线方程和法线方程和法线方程解解 由参数方程的求导方法由参数方程的求导方法,得得摆线上点摆线上点当当时时,处切线斜率为处切线斜率为切线方程为切线方程为法线方程为法线方程为练习练习1.求下列参数方程所确定的函数的导数求下列参数方程所确定的函数的导数注意：注意：注意：注意：解解当当时时,处切线斜率处切线斜率切线方程为切线方程为法线方程为法线方程为隐函数求导法则隐函数求导法则:直接对方程两边求导直接对方程两边求导;对数求导法对数求导法:对方程两边取对数对方程两边取对数,按隐函数按隐函数的求导法则求导的求导法则求导;参数方程求导参数方程求导:实质上是利用复合函数求实质上是利用复合函数求导法则导法则;小结小结 作作 业业 P111习题习题2-41(1)(3)2、4(1)5(1)(2)、8(1)(4)