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1、第九章第九章 直线、平面、简单几何体直线、平面、简单几何体第 讲1考点考点搜索搜索球面、球体的概念，球的截面性质球面、球体的概念，球的截面性质地球的经纬度，球面距离地球的经纬度，球面距离球的表面积和体积高考球的表面积和体积高考高考高考猜想猜想1.考查有关球的表面积、体积和球面考查有关球的表面积、体积和球面距离等的计算距离等的计算.2.考查球的截面问题的分析与计算考查球的截面问题的分析与计算.2 1.与定点的距离与定点的距离_的点的集的点的集合合,叫做球体叫做球体,简称球简称球,定点叫做球心定点叫做球心,定长叫做球的定长叫做球的半径半径,与定点距离与定点距离_的点的集合叫做球面的点的集合叫做球面
2、.2.用一个平面截一个球用一个平面截一个球,所得的截面是所得的截面是_,且球心与截面圆心的连线且球心与截面圆心的连线_截面截面.3.设球心到截面的距离为设球心到截面的距离为d,球半径为球半径为R,截截面圆半径为面圆半径为r,则三者的关系是则三者的关系是_.等于或小于定长等于或小于定长等于定长等于定长一个圆一个圆垂直于垂直于R2=r2+d234.球球面面被被_的的平平面面截截得得的的圆圆叫叫做做大大圆圆，被被_的的平平面面截截得得的的圆圆叫叫做小圆做小圆.5.经经过过球球面面上上两两点点的的大大圆圆在在这这两两点点间间的的_的长度的长度,叫做这两个点的球面距离叫做这两个点的球面距离.6.过过球球
3、面面上上一一点点从从北北极极到到南南极极的的半半个个大大圆圆,与与子子午午面面所所成成的的_的的度度数数就就是是这这个个点点的的经经度度;过过球球面面上上一一点点的的球球半半径径与与_所成的角的度数就是这个点的纬度所成的角的度数就是这个点的纬度.7.半半径径为为R的的球球的的体体积积是是V=_，表表面面积是积是S=_.经过球心经过球心不经过球心不经过球心一段劣弧一段劣弧二面角二面角赤道面赤道面41.长方体的一个顶点上三条棱长为长方体的一个顶点上三条棱长为3、4、5，且它的八个顶点都在一个球面上，这个球的，且它的八个顶点都在一个球面上，这个球的表面积是表面积是()A.B.C.D.解：解：设球的半
4、径为设球的半径为R，则则(2R)2=32+42+52=50，所以，所以R=.所以所以S球球=4R2=50.C52.已知过球面上已知过球面上A、B、C三点的截面和球心三点的截面和球心的距离等于球半径的一半，且的距离等于球半径的一半，且AB=BC=CA=2，则，则球面面积是球面面积是()A.B.C.D.解：解：因为因为AB=BC=CA=2，所以所以ABC的外接圆半径为的外接圆半径为r=.设球的半设球的半径为径为R，则，则 所以所以 ，所以所以 D63.球面上有球面上有3个点，其中任意两点的球面距个点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的离都等于大圆周长的16，经过这，经过这3个点的小圆的个点的小
5、圆的周长为周长为4，那么这个球的半径为，那么这个球的半径为()A.B.C.2 D.解法解法1：设球面上的设球面上的3个点分别为个点分别为A，B，C，球心为球心为O.过过O作作OO平面平面ABC，O是垂足，是垂足，则则O是是ABC的中心，则的中心，则OA=r=2.又因为又因为AOC=，OA=OC知知OA=AC OA,所以所以OAOA2OA.因为因为OA=R，所以，所以2R4.因此，因此，排除排除A、C、D，故选故选B.解法解法2：设球面上的设球面上的3个点分别为个点分别为A，B，C，球心为球心为O.在正三角形在正三角形ABC中，中，ABC的外接圆半径的外接圆半径r=2.应用正弦定理，得应用正弦定
6、理，得AB=2rsin60=.因为因为AOB=，所以侧面，所以侧面AOB是是正三角形，得球半径正三角形，得球半径R=OA=AB=.8解法解法3：设球面上的设球面上的3个点分别为个点分别为A，B，C，球心为球心为O.因为正三角形因为正三角形ABC的外接圆半径的外接圆半径r=2，故高，故高AD=r=3，D是是BC的中点的中点.在在OBC中，中，BO=CO=R，BOC=，所以所以BC=BO=R，BD=BC=R.在在RtABD中，中，AB=BC=R，所以由所以由AB2=BD2+AD2，得得 ，解得，解得R=.91.球面上有三点球面上有三点A、B、C，其中任意两，其中任意两点间的球面距离都等于大圆周长的
7、点间的球面距离都等于大圆周长的 ，经过这三个点的小圆经过这三个点的小圆的周长为的周长为4，求这个球的表面积求这个球的表面积.解：解：设设O为球心，球半径为球心，球半径为为R，经过经过A、B、C三点的小圆半径为三点的小圆半径为r.题型题型1 球的表面积的计算球的表面积的计算10由已知，由已知，2r=4，所以，所以r=2.又因为又因为A、B、C中任意两点的球面距离中任意两点的球面距离都是大圆周长的都是大圆周长的 ，即，即 ，所以所以AOB=AOC=BOC=.又又OA=OB=OC=R，所以，所以AB=BC=AC=R.在在ABC中，由正弦定理，中，由正弦定理，得得AB=2rsin60=，所以所以R=，
8、所以，所以S球球=4R2=48.11点点评评：求求球球的的表表面面积积的的关关键键是是求求球球的的半半径径.求求半半径径时时，一一般般是是根根据据截截面面圆圆的的圆圆心心与与球球的的圆圆心心的的连连线线段段、截截面面圆圆的的弦弦长长、球球的的半半径径三三者者之之间间的的关关系系，通通过过解解三三角角形来求得形来求得.12 如图，如图，A、B、C是表面积为是表面积为48的球面上三点，的球面上三点，AB=2，BC=4，ABC=60，O为为球心球心.求直线求直线OA与截面与截面ABC所成的角的大小所成的角的大小.解：解：连结连结AC，设，设O在在截面截面ABC上的射影是上的射影是O，则则O为截面三角
9、为截面三角形形ABC外接圆的圆心，外接圆的圆心，13连结连结AO，则，则OAO为直线为直线OA与截面与截面ABC所成的角所成的角.设球的半径为设球的半径为R，小圆的半，小圆的半径为径为r.因为球的表面积为因为球的表面积为48，所以，所以R=.在在ABC中，由余弦定理，得中，由余弦定理，得AC2=AB2+BC2-2ABBCcosABC=4+16-16cos60=12由正弦定理，得由正弦定理，得 ，即即 ，所以，所以r=2.所以所以 .故所求角的大小为故所求角的大小为arccos .142.设设A、B、C为球面上三点，为球面上三点，AC=BC=6，AB=4，球心，球心O到平面到平面ABC的距离等于
10、球半径的的距离等于球半径的一半，求这个球的体积一半，求这个球的体积.解：解：过球心过球心O作作OO1平面平面ABC，则点，则点O1为过为过点点A、B、C的截面圆的圆的截面圆的圆心，即心，即O1是是ABC的外心的外心.连结连结CO1，延长交，延长交AB于于M点点.题型题型2 球的体积的计算球的体积的计算15因为因为AC=BC，所以，所以M是是AB的中点，的中点，且且CMAB.设设O1M=x.因为因为O1A=O1C，而而 ，O1C=CM-O1M=所以所以 ，解得，解得x=.所以所以O1A=设球设球O的半径为的半径为R.由已知由已知OO1=R2，OA=R.在在RtAO1O中，因为中，因为AO2=OO
11、21+AO21，所以所以 解得解得R=.16所以所以 点评：点评：球的体积是关于半径的函球的体积是关于半径的函数，故求体积必须先求半径数，故求体积必须先求半径.涉及到涉及到截面问题时，一般是化球为圆，再截面问题时，一般是化球为圆，再解直角三角形可求得半径解直角三角形可求得半径.17 球面上有三点球面上有三点A、B、C，A和和B及及A和和C之间的球面距离是大圆周长的之间的球面距离是大圆周长的 ，B和和C之间的球面距离是大圆周长的之间的球面距离是大圆周长的 ，且球心到截，且球心到截面面ABC的距离是的距离是 ，求球的体积，求球的体积.解：解：设球心为设球心为O，由已知，由已知，易得易得AOB=AO
12、C=，BOC=.过过O作作ODBC于于D，连结，连结AD，再过再过O作作OE AD于于E，则则OE平面平面ABC于于E，所以，所以OE=.18因为因为OAOB，OAOC，所以所以OA平面平面BOC，所以，所以OAOD.设设OA=R,则则AB=AC=2R,BC=R，AD=R,OD=R.在在RtAOD中，由中，由ADOE=OAOD,得得OA=R=1.所以所以 .193.在地球北纬在地球北纬30圈上有圈上有A、B两点，两点，点点A在西经在西经10，点，点B在东经在东经110，设地球半，设地球半径为径为R，求，求A、B两点的球面距离两点的球面距离.解：解：如图，设如图，设O为球心，为球心，C为北纬为北
13、纬30圈所在小圆的圆心圈所在小圆的圆心.由已知，由已知，ACB=120，AOC=BOC=60，OA=OB=R，OC平面平面ABC，所以所以AC=BC=Rsin60=.题型题型3 球面距离的分析与计算球面距离的分析与计算20在在ACB中，中，所以所以AB=R.在在AOB中，中，所以所以AOB=arccos().故故A、B两点的球面距离是两点的球面距离是Rarccos().21点评：点评：一般地，求球面上两点一般地，求球面上两点A、B间间的球面距离的具体步骤是：的球面距离的具体步骤是：计算线段计算线段AB(公共弦公共弦)的长；的长；计算计算A、B到球心到球心O的张角；的张角；计算球的大圆上计算球的
14、大圆上A、B间的劣弧长间的劣弧长.22 正三棱锥正三棱锥P-ABC内接于半径为内接于半径为R的球，其底面三顶点在同一个大圆上的球，其底面三顶点在同一个大圆上.某质点某质点从点从点P出发沿球面运动，经过出发沿球面运动，经过A、B、C三点后三点后返回返回P点，求所经路程的最小值点，求所经路程的最小值.解解：设球心为：设球心为O，据题意，据题意，O为正三角形为正三角形ABC的中心，的中心，且且PO平面平面ABC，所以，所以POA=POC=，AOB=BOC=.因为球面上任意两点的球面距离是经过这两点因为球面上任意两点的球面距离是经过这两点的最短路程，其中的最短路程，其中P与与A、P与与C的球面距离是的
15、球面距离是 ，A与与B、B与与C的球面距离是的球面距离是 ，所以所求路程的最小值是所以所求路程的最小值是23 1.正三棱锥正三棱锥P-ABC的外接球半径为的外接球半径为R，两侧棱的夹角为，两侧棱的夹角为，求这个正三棱锥的侧，求这个正三棱锥的侧棱长棱长.解：解：如图，过点如图，过点P作作PD平面平面ABC，垂足为，垂足为D，则，则D为为ABC的中心的中心.延长延长PD交球面于交球面于E，则，则PE为球的直为球的直径径.连结连结AD、AE，则，则PAAE，ADPE.24设设PAD=，则则AED=.设正三棱锥设正三棱锥P-ABC的侧棱长为的侧棱长为a，由已知，由已知，从而从而 又又AD=PAcos=
16、acos，所以，所以所以所以在在RtPAE中，中，PA=PEsin=.故这个正三棱锥的侧棱长为故这个正三棱锥的侧棱长为 .252.如如图图，AC是是四四面面体体ABCD的的外外接接球球直直径径，BC是是经经过过B、C、D三三点点的的截截面面圆圆直直径径，球球心心O到到截截面面BCD的的距距离离等等于于球半径的球半径的 .(1)若若CBD=60，求异面直线求异面直线AC和和BD的夹角的夹角;(2)若若BD DC=2，求二面角求二面角B-AC-D的大小的大小.26解：解：(1)过点过点C作作CEDB交球面于交球面于E，连，连结结AE，则，则ACE为所求的角为所求的角.因为因为CBD=60，所以所以
17、BCE=60.取取BC的中点的中点O，则则O为截面圆圆心为截面圆圆心.设球设球O的半径为的半径为R，由已知，由已知OO=.在在RtCOO中中所以所以BC=R.因为因为BECE，所以所以CE=BCcos60=.27因为因为AC是球的直径，所以是球的直径，所以AEEC.在在RtAEC中，中，.故异面直线故异面直线AC和和BD的夹角为的夹角为arccos .(2)过点过点D作作DFBC，垂足为，垂足为F.因为因为OODF，所以所以DF平面平面ABC.过点过点F作作FHAC，垂足为，垂足为H，连结，连结DH.依据三垂线定理，有依据三垂线定理，有DHAC.所以所以DHF为二面角为二面角B-AC-D的平面
18、角的平面角.28因为因为BD DC=2，BC=R，BD2+DC2=BC2，所以，所以则则DC=R，所以，所以BD=DC=R.因为因为DFBC=BDCD,所以所以因为因为ADCD，DHAC，所以所以DHAC=ADCD.29而而所以所以在在RtDFH中中,sinDHF=，所以所以DHF=60.故二面角故二面角B-AC-D的大小为的大小为60.303.一个球与底面边长为一个球与底面边长为a的正四棱锥的底面的正四棱锥的底面和侧面都相切和侧面都相切.若平行于棱锥若平行于棱锥 底面且与球相切的平面截棱锥，底面且与球相切的平面截棱锥，所得的截面是一个边长为所得的截面是一个边长为b的正的正 方形，求这个球的表
19、面积方形，求这个球的表面积.解：解：过正四棱锥相对两个侧面的斜高作截过正四棱锥相对两个侧面的斜高作截面，如图设面，如图设O为球心，为球心，O1、O2 分别为截面和底面正方形的中分别为截面和底面正方形的中 心，球与侧面的一个切点为心，球与侧面的一个切点为C.31因为因为ACO AO1OBCO BO2O，所以所以AOB=90.又又OCAB，由射影定理，由射影定理，得得OC2=ACBC.又又AC=AO1=，BC=BO2=，所以所以OC2=，所以所以S球球=4OC2=ab.321.球球体体与与球球面面是是两两个个不不同同概概念念.球球面面是是指指球球的的外外表表面面，球球体体是是球球面面所所围围成成的
20、的空空间间几几何何体体.球球面面可可以以看看作作是是将将一一个个半半圆圆绕绕其其直直径径旋旋转一周所形成的曲面转一周所形成的曲面.2.求求球球的的体体积积和和表表面面积积的的关关键键是是求求出出球球半半径径.通通过过解解三三角角形形或或方方程程思思想想求求半半径径是是常常用的方法，但要注意挖掘题设中的隐含条件用的方法，但要注意挖掘题设中的隐含条件.333.球球面面上上两两点点之之间间的的最最短短路路径径的的长长度度，就就是是这这两两点点的的球球面面距距离离.求求球球面面距距离离时时，先先要要求求出出球球面面上上两两点点对对球球心心的的张张角角，即即球球心心角角，再利用弧长公式就可得球面距离再利用弧长公式就可得球面距离34