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1、数学驿站 9.1 平面教学目标1掌握平面的基本性质，会画图表示平面；2能够画出空间两条直线、直线和平面的各种位置关系的图形，能够根据图形想象它们的位置关系；3会用图形语言、文字语言、符号语言准确描述三个公理，能用公理及推论解决有关问题；4通过对公理、推论的理解和应用及三个推论的证明，提高学生的逻辑推理能力； 5通过画图，逐步培养学生的空间想象能力，使他们在已有的平面图形知识的基础上，建立空间观念；6通过对平面基本性质的三个公理、三个推论的学习，认识我们所处的世界是一个三维空间，由此培养学生的辨证唯物主义世界观教学建议（一）教材分析1 知识结构2重点难点分析重点：平面的有关概念和基本性质；难点：
2、建立空间概念，正确应用符号语言（1）平面和点、直线一样是构成空间图形的基本要素之一，是一个只描述而不定义的原始概念本节内容主要介绍了平面的有关概念及其基本性质（三个公理和三个推论）平面的基本性质是研究空间图形的基本理论基础，是立体几何的基础核心，因而是本节内容的重点本节的难点是准确理解平面的有关概念及其基本性质，建立空间概念，正确使用图形、符号、文字三种数学语言并能互译（2）如何理解“平面四边形表示的平面是无限延展的”？这是因为立体几何中表示平面是采用“用有限的图形表示无限的平面”的方法事实上，如果一条直线上有两个点在一个用平行四边形表示的平面内，根据公理1,这条直线上所有的点都落在这个平面内
3、而直线是无限延伸的，倘若这个平面是有限的，那么无限的直线上的所有点怎么能都在有限平面内呢？对于平面的概念注意从三个方面加深理解：无边界性、无限延展性、无厚薄性（3）平面的基本性质是研究立体几何的基本理论基础，学习时应切实注意以下几点：会用图形语言、文字语言、符号语言准确描述三个公理；熟悉三个公理的作用公理1是判定直线在平面内的依据，亦作为判定点在平面内的方法使用；公理2是判定两个平面相交的依据，亦作为判定几个点在两个相交平面的交线上（共线）的方法使用；公理3是确定一个平面的依据，亦作为判定几个点共面的依据学习公理3及三个推论时务必透彻理解“有且只有一个”的含义“有且只有一个”是由“有一个”和“
4、只有一个”复合而成的，其中前者说明对象是存在的，后者说明对象是唯一的“有且只有一个”说明对象具有存在性和唯一性两个方面数学中的一些对象具有存在性和唯一，也有一些对象具有存在性而无唯一性，如与给定的三角形 相似的三角形是存在的，但不是唯一的当然，还有一些对象没有存在性，从而也就谈不上有唯一性因此切不可用“只有一个”代替“有且只有一个”（4）共面问题的证明常用同一法，同一法指的两个互逆命题，若其中一个成立，则另一个也成立，即两个互逆命题是等价的，例如，我们要证明“某个图形具有某种特性”只要证明“具有某种特征的图形是某个图形”即可同一法是间接证题方法（二）教法建议（1）本节是立体几何学习的基础学习时
5、应充分联系生活中的实例，充分利用实物，尽快建立空间观念联系实际提出问题和引入概念，合理运用教具，加强由模型到图形，再由图形返回模型的基本训练由对照模型画直观图入手，逐步培养由图形想象出空间位置关系的能力（2）教学中应注意借助学生已有的平面图形知识基础，引入新知识，提出新问题，使学生自然地进入新的学习阶段联系平面图形的知识，利用对比、引申、联想等方法，找出平面图形和立体图形的异同，以及两者的内在联系，逐步培养学生将立体图形转化为平面图形的能力（3）在学习平面概念时，对平面的无限延展性，可以让学生联系直线的无限延伸性理解，平面是向四周无限延展的，平面把空间分成两部分；在画平面时，有时根据具体需要，
6、也可用其他的平面图形，如菱形、封闭的曲线图形等表示；（4）从图形入手，有序地建立图形、文字、符号这三种数学语言的联系用文字和符号描述对象时，必须紧密联系图形，使抽象与直观结合起来，即在图形的基础上发展其他数学语言在阐述定义、定理、公式等重要内容时，先结合图形，再用文字和符号进行描述，综合运用几种数学语言，使其优势互补，就有可能收到更好的效果，给学生留下的印象更为深刻（5）对于公理1,可先讨论直线与平面的公共点的个数的各种情况，以区分直线与平面的三种位置关系：相交、平行、直线在平面内，并用直线的伸展性理解平面的延展性；对于公理2,可先讨论两个平面的公共点个数的各种情况，以区分两平面的两种位置关系
7、：相交和平面，并体会直线与平面的关联；对于公理3及其3个推论，应从“有一个（至少有一个）平面”和“只有一个（至多有一个）平面”两方面去理解教学设计示例（一）9.1 平面 第一课时教学目标：1理解平面的概念，掌握平面的画法及记法2理解并记住平面的基本性质3初步掌握用符号表示点、线、面间的关系教具准备：投影胶片、三角板、模型教学过程：设置情境日常生活中，哪些东西给我们以平面的形象？平面是如何定义的，怎么画？平面有哪些基本性质呢？探索研究1平面的概念常见的桌面、黑板面、平静的水面等，都给我们以平面的形象，几何里的平面就是从这样的一些物体中抽象出来的与之不同的是几何里的平面是无限延展的注意：平面的概念
8、是用描述性的语言进行说明的2平面的画法及表示通常我们画出直线的一部分来表示直线同样地，我们也可以画出平面的一部分来表示平面当我们从适当的角度和距离观察桌面或黑板面时，感到它们都很像平行四边形因此，通常画平行四边形来表示平面（图1）当平面是水平放置的时候，通常把平行四边形的锐角画成 ，横边画成邻边的2倍长当一个平面的一部分被另一个平面遮住时，应把被遮部分的线段画成虚线或不画（图2）有时根据需要也可用其他平面图形（例如三角形等）表示平面平面通常用一个希腊字母 、 、 等来表示，如平面 、平面 、平面 等，也可以用表示平行四边形的两个相对顶点的字母来表示，如平面 （图1）平面内有无数个点，平面可以认
9、为是由它内部的所有的点组成的点集，其中每个点都是它的元素，点 在平面 内，记作 ；点 在平面 外，记作 （图3），这里的平面看作是集合，而点看作是元素3平面的基本性质我们下面学习平面的基本性质的三个公理所谓公理，就是不必证明而直接被承认的真命题，它们是进一步推理的出发点和根据公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内从集合的角度看，这个公理就是说，如果一条直线（点集）中有两个元素（点）属于一个平面（点集），那么这条直线就是这个平面的真子集直线也是由无数个点组成的集合，点 在直线 上，记作 ；点 在直线 外，记作 ，如果直线 上所有的点都在平面 内，或者说平面
10、 经过直线 ，记作 否则，就说直线 在平面 外，记作 公理1的含义如图4所示，也可以用符号表示为， ， ， 公理1为证明直线在平面内提供了依据公理2 如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线注意：没有特别说明的“两个平面”，以后均指不重合的两个平面两个不重合的平面，只要它们有公共点，它们就是相交的位置关系，交集是一条直线如果平面 和 有一条公共直线 ，就说平面 和 相交，交线是 ，记作 公理2的含义如图5所示，也可以用符号表示为且 公理2为证明若干点共线提供了一条新的途径公理3 经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面（图6）老师问学
11、生：经过一点、两点或同一直线上的三点有多少个平面？过不在同一直线上的四点呢？前一问有无数个平面，后一问不一定有平面公理中，“有且只有一个”的含义：“有”是说图形存在，“只有一个”是说图形惟一不能仅用“只有一个”来替代“有且只有一个”，否则未表达出存在性的含义过 、 、 三点的平面可记作“平面 ”演练反馈1举例说明生活中本节公理的应用2填空：正方体的各顶点如图7所示，正方体的三个面所在平面 、 、 分别记作 、 、 ，试用适当的符号填空（1） ， （2） ， （3） ， （4） ， （5） ， ， 3根据下列符号表示的语句，说出有关点、线、面的关系，并画出图形（1） ， （2） ， （3） （4
12、） ， ， ， 参考答案1（略）2（1） ； （2） ； （3） ； （4） ； （5） ； ； 3（1）点 在平面 内，点 不在平面 内（2）直线 在平面 内，直线 不在平面 内（3）平面 与 交于直线 （4）直线 经过平面 外一点 和平面 内一点 图形略总结提炼学生回答，教师补充完善本节课主要学习了：1平面的概念、画法及记法2平面的基本性质：公理，公理2，公理33点在（不在）平面内，直线在（不在）平面内，两个平面交于一条直线等的符号的表示（四）布置作业课本P7P8习题9.1 1，2（1），3，4参考答案略（五）板书设计1平面的概念2公理1公理2公理33练习教学设计示例（二）9.1 平面 第
13、二课时教学目标：理解掌握公理3的三个推论教具准备：投影仪、胶片、三角板教学过程：设置情境我们知道，不共线三点确定一个平面，那么还有其他的确定一个平面的情况吗？探索研究推论1 经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面（图1（1）证明：（存在性）设点 不在直线 上，在直线 上任取两点 和 ，于是有 ， ， ，即 、 、 为不共线的三点根据公理3，经过 、 、 三点有一个平面 ，因为 ， ，所以由公理1可知 ，即平面 是经过直线 和点 的平面（惟一性）又根据公理3，经过不共线的三点 、 、 的平面只有一个，所以经过直线 和点 的平面只有一个推论1的证明分两部分来证，即第一要证存在一个平面，第
14、二要证这个平面是惟一的推论1可以用符号表示为 有且只有一个平面 ，使 ， 推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面（图1（2）推论2的证明可口头讲一下，详细过程可见“教参”我们规定：直线 和 相交于点 ，记作 ，不可以只写 ，需将交点字母写出来，也不能记作 推2可以用符号表示为 有且只有一个平面 ，使 ， 推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面（图1（3）推论3的证明分两步进行，第一步证存在性，要利用平行线的定义，即在一个平面内，两条没有公共点的直线叫做平行线，第二步证惟一性，与推论1类似，也可见“教参”推论3可以用符号表示为 有且只有一个平面 ，使 ， “有且只有一个平”也可以说成“确
15、定一个平面”公理3及它的三个推论给出了确定一个平面时经常使用的一些条件，下面通过一道例题来学习基本性质的应用例题 如图2，直线 ， ， 两两相交，交点分别为 、 、 ，判断这三条直线是否共面并说明理由解：这三条直线共面理由如下：直线 和 相交于点 直线 和 确定一个平面 （推论2） ， ， （公理1）因此，直线 ， ， 都在平面 内，即它们共面由上可知，证明三条直线共面，可以先证其中两条直线共面，再证第三条直线也在这个平面内演练反馈1两个不重合的平面有公共点，则公共点的个数是（ ）A2个B有无数个且在一条直线上C一个或无数个D1个2点 在直线 上， 在平面 外，用符号表示正确的是（ ）A ，
16、B ， C ， D ， 3若 ， ， ， ，则（ ）A B C D 4三条直线相交于一点，过每两条相交直线作一个平面，最少可作几个平面？最多可作几个平面？若三条直线相交于三点呢？5已知直线 ，且 ， ，求证： 、 、 三线共面参考答案1B 2B 3A4答：相交于一点时，最少一个面，最多三个平面；相交于在三点时，只有一种情况，即为一个平面5证明： 、 确定一个平面 （推论3）又 ， ， ，即 （公理1） 、 、 三线共面总结提炼学生回答，教师完善本节课主要学习了：1公理3的三个推论：推论1，推论2，推论32证明若干个点、线共面的方法（先证其中某些点、线确定一个平面，再证剩余点、线落在此平面内）（
17、四）布置作业（1）课本P8习题9.1 2（2），5，6，7，8（2）思考题：已知三直线 ，且直线 与 、 、 分别交于 、 、 三点，求证： 、 、 、 四条直线共面（五）板书设计 推论1 推论2 推论3 例题 画图 练习教学设计示例（三）9.1 平面 第三课时教学目标：1巩固复习平面的基本性质2会应用3个公理及推论证明三点共线和若干个点、线共面教具准备：投影仪（胶片）、三角板教学过程基本知识加顾平面基本性质小结名 称作 用公理1判断直线在平面内的依据公理2两个平面相交以及它们的交点共线的依据公理3及三个推论确定一个平面的依据探索研究例1 在正方体 中（如图1）， 与截面 交于 点， 、 交于
18、 ，求证： 、 、 三点共线分析：三点共线问题的证法是：证明此三点同在两个相交平面内，显然 、 、 平面 ，且 、 、 平面 ，故可证得三点共线证明： 、 、 平面 又 、 、 平面 据公理2，知 、 、 在平面 与平面 的交线上，即 、 、 三点共线例2 已知直线 与三条平行线 、 、 都相交（如图2），求证： 与 、 、 共面证明： ， ， 确定平面 ，设 ， ， ， ， 同理， 、 确定平面 ， ，则平面 与 都过两相交直线 与 ，而过 和 有且只有一个平面 与 重合故 、 、 、 共面教师点评：证共面问题，可先由公理3（或推论）证某些元素确定一个平面，再证其余元素都在此平面内；或者指出
19、给定的元素中的某些元素在一个平面内，再证两个平面重合例3 不共点的四条直线两两相交，求证：这四条直线在同一个平面内分析：此题要注意两种情况：一是无三条直线相交于一点；二是其中只有三条直线交于一点教师讲第一种情况，第二种情况由学生来证，可以由一学生上台板演已知：直线 、 、 、 两两相交，且不过同一点求证：直线 、 、 、 共面证明：如图3， 、 、 、 两两相交，且无三条直线相交于一点设 、 交于点 ， 、 交于点 、 确定一个平面 又 ， ， ， 、 、 、 由公理1，知 、 故 、 、 、 四条直线共面如图4， 、 、 、 两两相交，且有三直线交于一点 、 确定一个平面 又 ， ， ， ，
20、 ， ， （公理1） 、 、 、 四直线共面演练反馈1两个平面重合的条件是（ ）A有两个公共点B有无数个公共点C存在不共线的三个公共点D有一条公共直线2下列命题中，真命题是（ ）A空间不同三点确定一个平面B空间两两相交的三条直线确定一个平面C两组对边相等的四边形是平行四边形D和同一直线都相交的三条平行线在同一平面内3在空间四点中，无三点共线是四点共面的（ ）A充分不必要条件B必要不充分条件C充分条件D既不充分又不必要条件4空间有四个点，其中无三点共线，可确_个平面若将此四点两两相连，再以所得线段中点为顶点构成一个几何体，则这个几何体至多有_个面5一直线和直线外不在同一直线上的三点，可以确定几个
21、平面？6已知： ， ， ， 求证： 参考答案1C 2D 3D41或4；85分三种情况：1个或3个或4个 6提示：仿照例2证法总结提炼本节课我们发现了证明三点共线的新方法，即证明这些点都是某两个平面的交点，据公理2它们必共线证明共面问题一般有两种途径：先证其中一部分点、线确定一个平面，再证剩余点、线落在确定好的平面上先证其中一部分点、线确定一个平面，再证另一部分点、线确定另一个平面，最后证明前后两个平面重合（四）布置作业课本 P8P9习题9.1 9，10，11典型例题例1 三条直线两两相交，由这三条直线所确定平面的个数是（ ）A1 B2 C3 D1或3分析 本题显然是要应用推论2判断所能确定平面
22、的个数，需要在空间想象出这三条直线所有不同位置的图形，有如下图的三种情况（如图）：答案：D说明 本题启发我们考虑问题不要只局限于平面图形，应养成在三维空间考虑问题的习惯例2 一条直线与三条平行直线都相交，求证这四条直线共面分析 先将已知和求证改写成符号语言证明诸线共面，可先由其中的两条直线确定一个平面，然后证明其余的直线均在此平面内也可先由其中两条确定一个平面 ，另两条确定平面 ，再证平面 ， 重合已知： ， ， ， 求证：直线 ， ， ， 共面证明 ， ， 确定一个平面 ， ， ， ，故 又 ， ， 确定一个平面 同理可证 ，且 过两条相交直线 ， 有且只有一个平面，故 与 重合即直线 ，
23、， ， 共面说明 本例是新教材第9页第9题的一个简单推广，还可推广到更一般的情形本例证明既采用了归一法，同时又采用了同一法这两种方法是证明线共面问题的常用方法在证明 时，也可以用如下反证法证明：假设直线 ，则 一定与 相交，此时直线 与 内的所有直线都不会平行，这显然与 矛盾故 例3 已知 在平面 外，它的三边所在的直线分别交平面 于 ， ， 三点，证明 ， ， 三点在同一条直线上分析 如图所示，欲证 ， ， 三点共线，只须证 ， ， 在平面 和平面 的交线上，由 ， ， 都是两平面的公共点而得证证明： ， ， 是平面 与平面 的交线又 ， 且 平面 ， ， ， ， 三点共线说明 证明点共线的
24、一般方法是证明这些点是某两个平面的公共点，由公理2，这些点都在这两平面的交线上例4 如图所示， 与 不在同一个平面内，如果三直线 、 、 两两相交，证明：三直线 、 、 交于一点分析 证明三线共点的一般思路是：先证明两条直线交于一点，再证明该点在第三条直线上即可证明 由推论2，可设 与 ， 与 ， 与 分别确定平面 ， ， 取 ，则 ， 又因 ，则 （公理2），于是 ，故三直线 、 、 共点说明 空间中证三线共点有如下两种方法：（1）先确定两直线交于一点，再证该点是这两条直线所在两个平面的公共点，第三条直线是这两个平面的交线，由公理2，该点在它们的交线上，从而得三线共点（2）先将其中一条直线看
25、做是某两个平面的交线，证明该交线与另两直线分别交于两点，再证这两点重合从而得三线共点扩展资料空间图形的作图在平面几何中，一般的几何图形都能够利用适当的工具（例如直尺、圆规等），在平展的平面上实际作出，但是空间图形作图却与它不同例如，在空间里“过两点作一直线”不是可用直尺简单作图的，更何况空间图形作图还多了一个新元素平面，要在空间作平面，是不能像在平面内作直线那样，有方便的方法和工具的不仅如此，在二维的平面上，画出三维空间图形的真实形象，一般说来，是不可能的因此，空间作图，并不要求人们像制作模型那样完成实际的作图，而是进行所谓的逻辑作图逻辑作图 空间作图是否可行，取决于所求作元素能否归结为空间的
26、可作元素类所谓空间的可作元素类，有：1在作图题中的所有已知元素2在空间中的任意一点3由不共线的三个可作点确定的平面4两个可作平面的交线5在一个可作平面内，所有的平面几何能作图的元素6已知球心及半径的球面空间的几何作图是否可行，取决于所求作元素能否归结为上述的可作元素类，而且，作图次数必须是有限的在空间的作图题中，重要的是逻辑层次及推理以上六种可作元素类，实际上也是空间几何作图的规则，由这六条作图规则，又可导出一系列可作的基本图形，作为更复杂的几何作困的逻辑依据例如：（1）根据第五条有：连结空间任意两点的直线或线段可作（2）根据第二条，自然可任取两点，任取不共线的三点，进而根据第五条、第三条有：
27、在空间任意作一条直线或任意作一个平面（3）因为过一直线及线外一点、过两条相交直线、过两条平行直线作平面，都可归结为过不共线的三点作平面，故有：根据确定平面的条件，可作平面例 过异面直线中的一条直线 ，作一个平面平行于另一条直线 如图所示，在直线 上任取一点 （第二条规则），过直线 与线外一点 作平面 （根据确定平面的条件作平面），在平面 内作直线 （第五条规则），过相交直线 与 作平面 （根据确定平面的条件作平面）则平面 即为所求由此例可以看出，上述可作元素起着公理作用，有的书称为作图公法空间作图中，重要的是逻辑层次，每一作图问题，只要归结为可作元素的有限次结合，就认为作图已经完成，这就是通常
28、所说的逻辑作图或想象作图习题精选一、选择题1设 表示一个点， ， 表示两条直线， ， 表示两个平面，给出下述四个命题： ， ； ， ； ， ， ， ； ， ， 其中正确的命题是（ ）A，B，C，D，2三条直线两两相交，可以确定平面的个数是（ ）A1B1或2C1或3D33两两相交的三个平面，最多能将空间划分 部分，则 的值为（ ）A6B7C8D94在空间四边形 的各边 ， ， ， 上分别取 ， ， ， 四点，如果直线 ， 交于一点 ，则（ ）A点 一定在直线 上B点 一定在直线 上C点 在直线 或 上D点 既不在直线 上也不在直线 上二、填空题5四条线段顺次首尾连接，能确定_个不同的平面；长方体
29、中各个面上的对角线可确定_个不同平面6空间三条直线两两相交，点 不在这三条直线上，那么由点 和这三条直线最多可以确定_个不同平面7给出下述五个命题：一条直线和一个点可以确定一个平面；个平面两两相交得到三条交线，这三条交线最多只能交于一个点；两个平面有无数个公共点，那么这两个平面一定重合；三条两两相交但不交于同一点的直线在同一平面内；与不共线的三个点的距离都相等的点共有一个或三个其中正确命题的序号是_三、解答题8设四条直线 ， ， 和 若 ，直线 与 ， ， 分别相交于点 ， ， ，求证：这四线共面9已知空间四点 不在同一个平面内，求证：直线 和 既不相交也不平行。10已知 ， ， ， 。求证：
30、 四条直线在同一平面内。参考答案：一、1D 2C 3B 4B二、51或4；20 66 7、三、8提示：设 ， 确定平面 ，然后证 ， 都在 内；或者又设 ， 确定平面 ，再证 ， 重合；9证明：用反证法。假设直线 和 相交或平行。由公理3的推论2,3知，这两条直线确定一个平面。设这个平面为 。则有 ， 。于是， ， ， ， ，即点 同在平面 内。与已知条件矛盾。因此假设不成立。直线 和 既不相交也不平行。10证明：如图， 确定平面 。 同理 。又由 ，由公理1知 。同理， 确定平面 。而 。又 ， 。 与 确定一个平面。 与 即在平面 ，又在平面 内。 与 必重合，故 共面。9.2 空间直线教
31、学目标1了解空间两条直线的位置关系，能够画出空间两条直线的各种位置关系的图形； 2掌握公理4，理解掌握等角定理，能应用公理4及等角定理解决简单问题；3理解异面直线的定义，掌握两条直线所成的角和距离的概念；4能利用异面直线所成的角及异面直线间的距离等概念去求两条异面直线所成的角及两条异面直线间的距离；5通过将平面几何中的平行公理推广到空间，培养学生类比、论证的能力；6通过对空间两条直线的学习，特别是对异面直线的研究，培养学生的空间想象能力，进一步培养将空间问题转化为平面问题的数学思想；培养分析问题、解决问题的能力教学建议（一）教材分析1 知识结构2重点难点分析重点是公理4和异面直线的概念，难点是
32、空间异面直线的定义及其所成的角（1）空间两条直线的位置关系，既是研究直线和直线、直线和平面、平面和平面各种位置关系的开始，又是学习这些关系的基础，必须予以足够的重视同时要摆脱以往平面的局限性，处处从空间来考虑问题（2）公理4“平行于同一条直线的两条直线互相平行”，说明把平行线的传递性推广到空间也能成立这个公理是判断两直线平行的重要方法之一，其关键在于寻找联系所证两条平行直线的第三条直线（3）由于空间想象能力的水平不高，学生开始往往想象不出异面直线是什么样子，或者画不出图来再加上异面直线这一概念容易和分别处于两个平面内的两条直线相混淆，所以异面直线的概念是学习中的难点理解异面直线的概念要特别注意
33、“不同在任何一个平面内的两条直线”与“不在同一平面内的两条直线”的本质区别：“不同在任何一个平面内的两条直线”与“分别在某两个平面内的两条直线”的含义是有根本区别的如图，虽然 、 分别在 、 内， ，过 、 可以作一个平面 ，使 、 在同一平面 内对于异面直线的概念这个重点和难点要着重明确如下几点：两条直线若异面，则必不能同在任何一个平面内因此它们不相交也不平行分别在某两个平面内的两条直线，不一定是异面直线画异面直线时，以辅助平面作衬托，更为直观（4）常把定理“如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等”叫做等角定理，这个定理的内容，在初中平面几何中已经介绍过在这里
34、又给出定理的证明，是告诉大家，凡是研究对象不共面时，平面几何的定理不再适用；反之，如果我们所研究的对象在同一平面内，那么平面几何的所有规定依然适用等角定理主要解决了角在空间中的平移问题，这为后面建立异面直线所成角打下基础，并为解决异面直线角的问题提供了解题方法在学习等角定理时要注意：如果一个角的两边与另一角的两边分别平行，但方向相反，那么这两角相等；如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，有一组对边方向相同，有一组对边方向相反，那么这两个角互补（5）两条异面直线既然不相交，但它们之间又有一个角，这对于初学立体几何者来说，是较难理解的实际上这个角是指这两条直线经过平移后处于相交位置时所成的锐角
35、或直角，因此异面直线所成的角的范围是 ，要注意其中不含0弧度，课本上为避免初学者误认为此角是两异面直线相交而得，故不提“交角”而特别用了“所成的角”两条异面直线所成角的大小只由异面直线的位置来决定，而与 点的位置无关所以为了便于计算出异面直线所成角的大小，常根据题目的需要把 点选在具有特殊的点上或特殊的直线上异面直线是相对于共面直线而言的学习了异面直线的概念，就把对两直线间位置关系的研究推广到了更广阔的领域空间，而异面直线的夹角又是对空间两直线位置关系进行精确描述的重要工具（6）两条异面直线的公垂线的定义要明确三点：即一垂直，二相交，三有且只有一条若不相交，便没有交点，也就没有公垂线段，距离也
36、就无从定义了（二）教法建议（1）在引入异面直线这一概念时应充分联系生活中的实例，例如教室里天花板上和地板上两条不平行的墙的交线的位置关系；操场里跳高架上的横杆与竖直的电线杆的位置关系，等等，然后启发学生发现它们位置关系的特点是既不平行，也不相交，从而引出异面直线的概念（2）教师在讲解异面直线的概念时，为了让学生更好地理解“不同在任何一个平面内的两条直”，可以通过画图举例来说明，如下图，图1,2,3中两直线是异面直线，而图4中两条直线就不是异面直线，这样就比较容易与“不在同一平面内的两条直线”相区分在讲解概念中注意培养学生的图形语言理解和表达能力（画异面直线除通常用一个或两个平面作衬托） 图1图
37、2 图3图4所以两条异面直线等价于这两条直线既不平行也不相交，因此异面直线的定义又可理解为“经过这两条直线无法作出一个平面”（3）教师要注意把直观印象与逻辑推理统一起来，并在平面几何的公理、定理的基础上，运用类比的方法，延拓得出相应的结论，再加以论证平面几何中的平行线的传递性可推广到空间讲解等角定理，可从平面几何的平行等角定理的结论和论证出发，来理解空间的等角定理的结论和论证（4）关于两条异面直线所成的角，讲解时要突出以下几点：将角的概念从“交角”拓广为“两直线的方向（或倾斜度）之间的差异”如铁路桥上列车的奔驰方向与穿梭在大桥下的船队航行方向之间的差异就是很好的实例；利用空间平移的不变性，将异
38、面直线平移到一个平面内，再用平移得到的锐角（或直角）的大小反映二异面直线方向上的差异，其大小与点 的位置无关；计算异面直线 ， 所成角的大小，按照定义法平移角，实际计算时，常将点 取在 或 上，往往只需平移一条直线即可教学设计示例一9.2 空间直线 第一课时教学目标1了解空间两条直线的位置关系2学习掌握公理43理解掌握等角定理4能应用公理4及等角定理解决简单问题教具准备：投影仪（胶片）、三角板教学过程设置情景（1）在同一平面内，两条直线有几种位置关系？（两种：平行、相交），那么在空间，两条直线有几种位置关系呢？（2）在同一平面内，平行于同一条直线的两直线平行，在空间中此结论仍成立吗？探索研究1
39、空间两条直线的位置关系空间直线的三种位置关系在现实中大量存在，在初中几何里已经介绍了空间的两条直线有以下三种位置关系：（1）相交直线有且仅有一个公共点（2）平行直线在同一个平面内，没有公共点（3）异面直线不同在任何一个平面内，没有公共点教师可出示立体几何模型，例如正方体模型，指出空间两条直线的各种位置关系也可以教室内墙与墙的交线为例2平行直线（1）复习引入在初中几何里我们已知道，在同一个平面内，如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行教师提问：对于空间的三条直线，是否也有这样的规律？（2）导入新课在教室内，大家一起找一找墙的交线有无不在同一平面内的三条直线两两平行的？在教师指导
40、下找出我们把上述规律作为本章的第4个公理公理4 平行于同一条直线的两条直线互相平行公理4也可以用符号表示为：设 、 、 为直线， 、 、 三条直线两两平行，可以记为 例1 已知四边形 是空间四边形（四个顶点不共面的四边形叫做空间四边形）， 、 分别是边 、 的中点， 分别是边 上的点，且 ，求证：四边形 有一组对边平行但不相等证明：如图1，连结 是 的中位线 ， 又在 中， ， ， 根据公理4， 又 ，四边形 的一组对边平行但不相等由公理4，我们可以推出下面的结论定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等例2 已知： 和 的边 ， ，并且方向相同（即向量 与
41、， 与 的方向相同）求证： 证明：对于 和 都在同一平面内的情况，用初中几何知识可证明，下面我们证明两个角不在同一平面内的情况如图2，在 、 、 、 上分别取 、 ，连结 、 、 、 、 ， 四边形 是平行四边形 同理 根据公理4，可得 又可得 ，四边形 是平行四边形 于是 把上面两个角的两边反向延长，就得出下面的推论：推论 如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等注意：对于由平面图形得出的结论，有些可以推广到立体图形中，例如上面的定理和推论对于平面图形都成立，现在经证明可知对于立体图形也成立但是，并非所有关于平面图形成立的结论，对于立体图形都适用例如，在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行，但在空间里没有这样的结论因此，一般地说，要把关于平面图形的结论推广到立体图形中，必须经过证明演练反馈1空间两直线平行是指它们（ ）A无交点B共面且无交点C和同一条直线垂直D以上都不对2在空间，如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，