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1、例例 证明如果向量组证明如果向量组 ,线性无关线性无关,证证 设设 ,线性无关线性无关 =20=20(*)(*)方程组方程组(*)(*)只有零解只有零解 +,+,+线性无关线性无关.则则则则 +,+,+也线性无关也线性无关.课堂练习课堂练习 设设证明证明 证证 设设即即只有当只有当时时(*)(*)式式才成立才成立所以所以 1 1,2 2,n n 线性无关线性无关.线性无关线性无关.是是n n个个m m 维向量维向量存在存在不全为不全为0 0的数的数存在存在不全为不全为0 0的数的数存在存在不全为不全为0 0的数的数齐次线性方程组齐次线性方程组(*)(*)有非零解有非零解.秩秩(1 1,2 2,
2、n n)n)n(*)线性相关线性相关使使使使使使 1 1,2 2,n n 线性线性相相关关秩秩(1 1,2 2,n n)n n 1 1,2 2,n n 线性线性无无关关秩秩(1 1,2 2,n n)=n n对于对于m m维列向量组维列向量组 线性相关与无关的一些判别方法：线性相关与无关的一些判别方法：行的情形行的情形:对于对于n n 维行向量组维行向量组 1 1,2 2,m m 线性线性相相关关 1 1,2 2,m m 线性线性无无关关例例 解解(1 2 3)=1 1,2 2,3 3 线性相关线性相关2 1 2+3=0 判断向量组判断向量组 1 1 2 2 3 3 的的线性相关性线性相关性只作
3、行变换只作行变换只作行变换只作行变换 例例 判断向量组判断向量组 1 1 2 2 3 3 线性相关线性相关只作行变换只作行变换 是否线性相关是否线性相关.r(r(1 1,2 2 n n)n)n 1 1,2 2,n n 线性相关线性相关当当 m n m n 时时r(r(1 1,2 2,n n)推论推论 当向量组中所含向量的个数当向量组中所含向量的个数 1 1,2 2,n n 线性相关线性相关n n是向量组所含向量的个数；是向量组所含向量的个数；m m是其中每个向量的维数是其中每个向量的维数.此向量组一定线性相关此向量组一定线性相关.大于向量的维数时大于向量的维数时,例如例如:n+1n+1个个n
4、n维向量维向量5 5个个3 3维向量维向量 线性相关线性相关线性相关线性相关线性相关线性相关2 2个个1 1维向量维向量,3 3个个2 2维向量维向量,4 4个个3 3维向量维向量线性相关线性相关.线性相关线性相关.r(r(1 1,2 2 n n)n)n 1 1,2 2,n n 线性相线性相关关当当向量组所含向量的个数向量组所含向量的个数=(1 1 2 2,n n)其中每个向量的维数其中每个向量的维数时时n n个个n n维维向量向量 1 1,2 2,n n线性相关线性相关推论推论 n n个个n n 维向量维向量 线性线性相关相关的充分必要条件是的充分必要条件是n n个个n n 维向量维向量 线
5、性线性相关相关的充分必要条件是的充分必要条件是推论推论 n n个个n n 维向量维向量 线性线性无关无关的充分必要条件是的充分必要条件是n n个个n n维向量维向量 线性线性无关无关的充分必要条件是的充分必要条件是课堂练习课堂练习已知向量组已知向量组k k为何值时为何值时,向量组向量组线性相关线性相关?线性无关线性无关?解解当当k=3k=3或或k=-2k=-2时时,向量组向量组线性相关线性相关.当当k3k3且且k-2k-2时时,向量组向量组线性无关线性无关.定理定理1.(1.(例例7)7)如果向量组中如果向量组中 证证:设向量组设向量组不妨设其中前不妨设其中前r r个向量个向量 存在存在不全为
6、零的数不全为零的数k k1 1,k,k2 2,k,kr r,使使系数系数:不全为零不全为零线性相关线性相关至少一个不等于至少一个不等于0 0则整个向量组也线性相关则整个向量组也线性相关.线性相关线性相关,中有一部分中有一部分线性相关线性相关.(三三)关于线性组合与线性相关的定理关于线性组合与线性相关的定理线性相关线性相关有一部分向量有一部分向量(称为部分组称为部分组)如果向量组中如果向量组中逆否命题逆否命题:如果一个向量组线性无关如果一个向量组线性无关,中有一部分线性相关中有一部分线性相关中任一部分中任一部分则其任意部分组也线性无关则其任意部分组也线性无关.有一部分向量有一部分向量(称为部分组
7、称为部分组)线性相关线性相关,则整个向量组也线性相关则整个向量组也线性相关.线性相关线性相关整个向量组整个向量组 线性无关线性无关都线性无关都线性无关整个向量组整个向量组 向量组向量组 1 1,2 2,s s线性相线性相关关存在一组存在一组不全为不全为0 0的的数数注意：注意：是向量组是向量组 1 1,2 2,s s 的线性的线性组合组合存在一组数存在一组数 无不全为无不全为 0 0 的要求的要求如如 可由可由 1 1,2 2线性表示线性表示.使使使使s s个向量个向量存在存在s s个个不全为不全为0 0的数的数当当s=1 时时,1 1个向量个向量 1 1线性相关线性相关存在存在1 1个个存在
8、存在k k1 100 使使同时同时k k1 100 一个向量构成的向量组一个向量构成的向量组即一个零向量线性相关即一个零向量线性相关,而一个非零向量线性无关而一个非零向量线性无关.（例（例4 4）不全为不全为0 0的数的数k k1,1,使使线性相关线性相关使使线性相关线性相关当当s=2时时,2 2个向量个向量 1 1,2 2线性相关线性相关存在存在2 2个个不妨设不妨设k k1 100 ,则则 1 1,2 2的对应分量成比的对应分量成比例例.两个向量线性相关两个向量线性相关不全为不全为0 0的数的数s s个向量个向量存在存在s s个个不全为不全为0 0的数的数使使线性相关线性相关使使它们它们的
9、对应分量成比例的对应分量成比例.设设例例 判断下列命题是否正确判断下列命题是否正确.(1)(1)对于向量组对于向量组使使 成立成立,(2)(2)因为因为所以所以(3)(3)如果一个向量组线性相关如果一个向量组线性相关,(4)(4)任意任意n+1n+1个个n n 维向量均线性相关维向量均线性相关.(5)(5)若向量组若向量组 如果存在一组数如果存在一组数 1 1,2 2线性相关线性相关,则向量组则向量组 则其任意部分组则其任意部分组则向量组则向量组 线性相关线性相关.线性无关线性无关.也线性相关也线性相关.也线性相关也线性相关.线性无关线性无关,定理定理2.6 2.6 向量组向量组线性相关线性相
10、关 中至少有一个向量中至少有一个向量例如：例如：1 1,2 2,3 3线性相线性相关关是：是：的线性组合的线性组合.有关线性相关和线性无关的定理有关线性相关和线性无关的定理线性相关线性相关其中至少有一个向量其中至少有一个向量的充要条件的充要条件是其余是其余s-1s-1个向量个向量是其余是其余s-1s-1个向量的线性组合个向量的线性组合 1 1,2 2,s s(s2)(s2)线性相关线性相关其中至少有一个向量是其中至少有一个向量是其余其余s-1s-1个向量的线性个向量的线性组合组合.证证 必要性必要性 则存在一组则存在一组不全为不全为0 0的的数数不妨设不妨设k k1 10,0,则则即即 1 1
11、 为为 2 2,3 3 ,s s的线性组合的线性组合 设设 即即 1 1为其余为其余s-1s-1个向量的线性组合个向量的线性组合.使使线性相关线性相关证证:因为因为 1 1,2 2,s s 线性相关线性相关所以存在一组所以存在一组不全为不全为0 0的数的数 k k1 1,k,k2 2,k,ks s,k k,使使k k1 1 1 1+k+k2 2 2 2+k+ks s s s+k k =0=0k1,k2,ks,k若若k =0,不全为零不全为零 k1,k2,ks不全为零不全为零则则 k1 1+k2 2+ks s=0得到得到 1 1,2 2,s s 线性相线性相关关,k k00b可由可由 1 1,2 2,s s线性表示线性表示.k k =矛盾矛盾.k k1 1 1 1k k2 2 2 2k ks s s s 线性无关线性无关,则则 可由向量组可由向量组而向量组而向量组 1 1,2 2,s s,1 1,2 2,s s线性表示线性表示,且表示方法是唯一的且表示方法是唯一的.线性相关线性相关,定理定理2.7 2.7 如果向量组如果向量组 1 1,2 2,s s 再证表法唯一再证表法唯一.两式相减两式相减,得得因为因为 1 1,2 2,s s线性无关线性无关,所以所以即即 由向量组由向量组 1 1,2 2,s s 线性表示线性表示设设的方法是唯一的的方法是唯一的.