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1、第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性1 1 向量组及线性表示向量组及线性表示目的要求目的要求（3）理解向量的线性组合）理解向量的线性组合、线性表示概念、线性表示概念；（1）了解向量概念；）了解向量概念；（2）掌握向量加法、数乘运算法则；）掌握向量加法、数乘运算法则；（4）掌握线性方程组与线性表示的关系）掌握线性方程组与线性表示的关系.一、一、n n 维向量的概念维向量的概念分量全为复数的向量称为复向量分量全为复数的向量称为复向量.分量全为实数的向量称为实向量，分量全为实数的向量称为实向量，默认为实向量默认为实向量1.定义定义：例如例如n n维实向量维实向量n n维复向量维复向量第
2、第1 1个分量个分量第第n n个分量个分量第第2 2个分量个分量2 2、n n 维向量的表示方法维向量的表示方法 维向量写成一行，称为维向量写成一行，称为行向量行向量，也就是行，也就是行维向量写成一列，称为维向量写成一列，称为列向量列向量，也就是列，也就是列矩阵，通常用矩阵，通常用 等表示，如：等表示，如：矩阵，通常用矩阵，通常用等表示，如：等表示，如：注意注意行向量和列向量总被看作是两个不同的行向量和列向量总被看作是两个不同的向量；向量；行向量和列向量都按照矩阵的运算法则行向量和列向量都按照矩阵的运算法则进行运算；进行运算；当没有明确说明是行向量还是列向量时，当没有明确说明是行向量还是列向量
3、时，都当作列向量都当作列向量.3、向量的几何意义：、向量的几何意义：d.四维以上向量集合，无具体几何意义四维以上向量集合，无具体几何意义.叫做叫做 维向量空间维向量空间叫做叫做 维向量空间维向量空间 中的中的 维超平面维超平面a.一维向量集合一维向量集合-数轴；数轴；b.二维向量集合二维向量集合-平面；平面；c.三维向量集合三维向量集合-空间；空间；4.4.特殊向量（与矩阵类比可知）特殊向量（与矩阵类比可知）a.零向量：零向量：b.负向量：负向量：c.n 维单位坐标向量组：维单位坐标向量组：思考题思考题比如一个本科学生大学阶段共修比如一个本科学生大学阶段共修3636门门课程课程,成绩描述了学生
4、的学业水平，把他的成绩描述了学生的学业水平，把他的学业水平用一个向量来表示，这个向量是学业水平用一个向量来表示，这个向量是几维的？请大家再多举几例几维的？请大家再多举几例,说明向量的实说明向量的实际应用际应用 在日常工作、学习和生活中，有许多问在日常工作、学习和生活中，有许多问题都需要用向量来进行描述题都需要用向量来进行描述.比如平均成绩、总学分等，维数还将增加比如平均成绩、总学分等，维数还将增加答答3636维的维的 如果我们还需要考察其它指标，如果我们还需要考察其它指标，5 5.向量组：向量组：若干个同维数的向量所组成的集合叫做向量组若干个同维数的向量所组成的集合叫做向量组.行向量组行向量组
5、 列向量组列向量组 默认为列向量组默认为列向量组 有限个向量有限个向量 无限个向量无限个向量 先讨论有限个向量先讨论有限个向量m个个n维列向量构成向量组维列向量构成向量组称为向量组称为向量组，或者称为向量组，或者称为向量组A,或者称为向量组或者称为向量组6 6.有限个向量的向量组与矩阵一一对应有限个向量的向量组与矩阵一一对应行向量组行向量组列向量组列向量组7、线性方程组的向量表示：、线性方程组的向量表示：线性方程组与增广矩阵的列向量组一一对应线性方程组与增广矩阵的列向量组一一对应二、二、向量的运算向量的运算 转置、相等、加法、数乘、乘法；转置、相等、加法、数乘、乘法；运算律运算律例：设例：设
6、求求（特殊矩阵特殊矩阵特殊矩阵特殊矩阵）解解三、三、线性组合与线性表示线性组合与线性表示定义定义，对于任何一，对于任何一组实数组实数给定向量组给定向量组，称向量，称向量为向量组为向量组A的的线性组合线性组合.，称为，称为线性组合的系数线性组合的系数.称称可由可由线性表示线性表示.若若不存在系数不存在系数给定向量组给定向量组A：若若存在一组系数存在一组系数使得使得成立，则称成立，则称是是的一个线性的一个线性组合组合和向量和向量不能由不能由线性表示线性表示.称称使（使（*）成立）成立能否线性表示，只需看能否线性表示，只需看注：注：能找到实数组能找到实数组能表示；能表示；找不到找不到则不能表示则不能
7、表示.是否成立是否成立举例：举例：（1 1）零向量零向量线性表示线性表示；（2 2）能由能由线性表示线性表示；（3 3）中任何一个向量中任何一个向量线性表示线性表示；都能由都能由能由能由(4)设设判断判断线性表示线性表示.能否由能否由 解：设解：设即即线性表示线性表示.不能由不能由不存在不存在,线性表示判定方法线性表示判定方法向量向量有解；有解；其中其中能由能由线性表示线性表示 解一解一：设：设(5)设设判断判断线性表示线性表示.能否由能否由即即线性表示线性表示能由能由，且表示方式唯一，且表示方式唯一 解二解二：设：设即即线性表示线性表示能由能由(5)设设判断判断线性表示线性表示.能否由能否由
8、已知向量已知向量向量组向量组问向量问向量b能否由向量组能否由向量组 A 线性表示线性表示?(6)设设 解解：设：设因此向量因此向量 b 不能由向量组不能由向量组 A 线性表示线性表示.证明：向量证明：向量b b 能由向量组能由向量组并求出表示式并求出表示式.线性表示，线性表示，(7)设设证明证明 令令故方程故方程即即的解为的解为四、向量组的四、向量组的线性线性表示与等价表示与等价定义定义两个向量组两个向量组若向量组若向量组 B B 中每个向量都可由向量组中每个向量都可由向量组A A 线性线性表示表示，则，则称向量组称向量组B B 能由向量组能由向量组 A A 线性表示线性表示.若向量组若向量组
9、 B B 与向量组与向量组 A A 能能相互相互线性表示线性表示，则称向量组则称向量组 B B 与向量组与向量组A A等价等价.使得使得存在数存在数向量组向量组B B 能由向量组能由向量组A A 线性表示线性表示，即对每个向，即对每个向量量若记若记从而从而矩阵矩阵称为线性表示的称为线性表示的系数矩阵系数矩阵向量组向量组B 能由向量组能由向量组A 线性表示线性表示B 中每个向量都可由向量组中每个向量都可由向量组A 线性表示线性表示存在系数矩阵存在系数矩阵K，使得使得B=AK矩阵方程矩阵方程AX=B有解有解R(A)=R(A,B)向量组向量组B 与向量组与向量组A 等价等价矩阵方程矩阵方程AX=B和
10、和BY=A都有解都有解R(A)=R(A,B)=R(B)举例举例能由能由但不等价但不等价.线性表示，线性表示，(1)与与等价等价.(2)已知向量组已知向量组证明：向量组证明：向量组A A与向量组与向量组B B等价等价.和和(3)证证：令：令因此向量组因此向量组A A与向量组与向量组B B等价等价.证：证：(4)五、矩阵乘法与向量组的线性表示关系五、矩阵乘法与向量组的线性表示关系说明：矩阵说明：矩阵C的列向量组的列向量组能由矩阵能由矩阵A的列向量组的列向量组线性表示，表示的系数矩阵为线性表示，表示的系数矩阵为B.说明：矩阵说明：矩阵C的行向量组的行向量组能由矩阵能由矩阵B的行向量组的行向量组线性表
11、示，表示的系数矩阵为线性表示，表示的系数矩阵为A.六、矩阵等价与向量组等价关系：六、矩阵等价与向量组等价关系：七、方程组的线性表示与等价：七、方程组的线性表示与等价：已知方程组已知方程组A和方程组和方程组B，对方程组对方程组A的各个方程做线性运算得到的方程的各个方程做线性运算得到的方程称为方程组称为方程组A的一个线性组合；的一个线性组合；若方程组若方程组B的每个方程都是方程组的每个方程都是方程组A的线性组合的线性组合就称方程组就称方程组B能由方程组能由方程组A线性表示，线性表示，都是都是B的解；的解；此时此时A的解的解若方程组若方程组A与方程组与方程组B能相互线性表示，能相互线性表示，两个方程组等价；两个方程组等价；就称这就称这等价的方程组一定同解等价的方程组一定同解.八、与方程组有解等价的命题八、与方程组有解等价的命题线性方程组线性方程组 有解有解向量向量b能由向量组能由向量组线性表示线性表示向量组向量组与与向量组向量组等价等价矩阵矩阵矩阵矩阵与与秩相等秩相等