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1、2023年数学竞赛教案讲义(5)数列 第五章 数列 一、基础知识 定义1 数列，按顺序给出的一列数，例如1，2，3，n，.数列分有穷数列和无穷数列两种，数列an的一般形式通常记作a1, a2, a3,，an或a1, a2, a3,，an。其中a1叫做数列的首项，an是关于n的具体表达式，称为数列的通项。 定理1 若Sn表示an的前n项和，则S1=a1, 当n1时，an=Sn-Sn-1.w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 定义2 等差数列，如果对任意的正整数n，都有an+1-an=d（常数），则an称为等差数列，d叫做公差。若三个数a, b, c成等差数列，即2b=a+c，则称b为a和c的等
2、差中项，若公差为d, 则a=b-d, c=b+d.定理2 等差数列的性质：1）通项公式an=a1+(n-1)d；2）前n项和公式：Sn=n(a1+an)n(n-1)=na1+d；3）an-am=(n-m)d，其中n, m为正整数；4）若n+m=p+q，22则an+am=ap+aq；5）对任意正整数p, q，恒有ap-aq=(p-q)(a2-a1)；6）若A，B至少有一个不为零，则an是等差数列的充要条件是Sn=An2+Bn.定义3 等比数列，若对任意的正整数n，都有 an+1=q，则an称为等比数列，q叫做公比。 ana1(1-qn)定理3 等比数列的性质：1）an=a1q；2）前n项和Sn，
3、当q1时，Sn=；当 1-qn-1q=1时，Sn=na1；3）如果a, b, c成等比数列，即b2=ac(b0)，则b叫做a, c的等比中项；4）若m+n=p+q，则aman=apaq。 定义4 极限，给定数列an和实数A，若对任意的e0，存在M，对任意的nM(nN),都有|an-A| n定义5 无穷递缩等比数列，若等比数列an的公比q满足|q| a1（由极限的定义可得）。 1-q定理3 第一数学归纳法：给定命题p(n)，若：（1）p(n0)成立；（2）当p(n)时n=k成立时能推出p(n)对n=k+1成立，则由（1），（2）可得命题p(n)对一切自然数nn0成立。 竞赛常用定理 定理4 第二
4、数学归纳法：给定命题p(n)，若：（1）p(n0)成立；（2）当p(n)对一切nk的自然数n都成立时（kn0）可推出p(k+1)成立，则由（1），（2）可得命题p(n)对一切自然数nn0成立。 定理5 对于齐次二阶线性递归数列xn=axn-1+bxn-2，设它的特征方程x2=ax+b的两个根为,:(1)若，则xn=c1an-1+c2xn=(c1n+c2) n- 1n-1 ，其中c1, c2由初始条件x1, x2的值确定；(2)若=，则，其中c1, c2的值由x1, x2的值确定。 二、方法与例题 1不完全归纳法。 这种方法是从特殊情况出发去总结更一般的规律，当然结论未必都是正确的，但却是人类探
5、索未知世界的普遍方式。通常解题方式为：特殊猜想数学归纳法证明。 例1 试给出以下几个数列的通项（不要求证明）；1）0，3，8，15，24，35，；2）1，5，19，65，；3）-1，0，3，8，15，。 例2 已知数列an满足a1= 例3 设0 2迭代法。 数列的通项an或前n项和Sn中的n通常是对任意nN成立，因此可将其中的n换成n+ 11,a1+a2+an=n2an, n1，求通项an.21，求证：对任意nN+,有an1.an或n-1等，这种办法通常称迭代或递推。 例4 数列an满足an+pan-1+qan-2=0, n3，q0，求证：存在常数c，使得22nan+1+pan+1an+qan
6、+cq=0. 2例5 已知a1=0, an+1=5an+24an+1，求证：an都是整数，nN+. 3数列求和法。 数列求和法主要有倒写相加、裂项求和法、错项相消法等。 例6 已知an= 例7 求和：Sn= 例8 已知数列an满足a1=a2=1，an+2=an+1+an, Sn为数列 4特征方程法。 例9 已知数列an满足a1=3, a2=6, an+2=4n+1-4an，求an.1(n=1, 2, )，求S99=a1+a2+a99.4n+2100111+.+n(n+1)(n+2)123234an的前n项和，求证：Sn 例10 已知数列an满足a1=3, a2=6, an+2=2an+1+3a
7、n，求通项an. 5构造等差或等比数列。 例11 正数列a0,a1,an,满足anan-2- 2xn+2例12 已知数列xn满足x1=2, xn+1=,nN+, 求通项。 2xnan-1an-2=2an-1(n2)且a0=a1=1，求通项。 三、基础训练题 1 数列xn满足x1=2, xn+1=Sn+(n+1)，其中Sn为xn前n项和，当n2时，xn=_.2.数列xn满足x1= 2xn1，xn+1=,则xn的通项xn=_. 3xn+223.数列xn满足x1=1，xn= 1xn-1+2n-1(n2)，则xn的通项xn=_.24.等差数列an满足3a8=5a13，且a10, Sn为前n项之和，则当
8、Sn最大时，n=_.5.等比数列an前n项之和记为Sn,若S10=10，S30=70，则S40=_.6.数列xn满足xn+1=xn-xn-1(n2)，x1=a, x2=b, Sn=x1+x2+ xn，则S100=_.7.数列an中，Sn=a1+a2+an=n2-4n+1则|a1|+|a2|+|a10|=_.8.若 x3xnx1x2=L=，并且x1+x2+ xn=8，则x1=_.x1+1x2+3x3+5xn+2n-1Sna2n=，则limn=_. nb3n+1Tnn9.等差数列an，bn的前n项和分别为Sn和Tn，若 2023n2+n+110.若n!=n(n-1)21, 则(-1)=_. n!n
9、=1n11若an是无穷等比数列，an为正整数，且满足a5+a6=48, log2a2log2a3+ log2a2log2a5+ log2a2log2a6+ log2a5log2a6=36，求1的通项。 ann12已知数列an是公差不为零的等差数列，数列ab是公比为q的等比数列，且b1=1, b2=5, b3=17, 求：（1）q的值；（2）数列bn的前n项和Sn。 四、高考水平训练题 1x+21已知函数f(x)=2x-1x-1则a2023=_. 1x271+ x0, q0)且p+q=1时，21-an-1an；（3）求数列limbn. nan+1（1）求证：an0, bn0且an+bn=1（nN
10、）；（2）求证：an+1=13是否存在常数a, b, c，使题设等式 122+232+n(n+1)2= n(n+1) 2(an+bn+c) 12对于一切自然数n都成立？证明你的结论。 五、联赛一试水平训练题 1设等差数列的首项及公差均为非负整数，项数不少于3，且各项和为972，这样的数列共有_个。 2设数列xn满足x1=1, xn= 4xn-1+2，则通项xn=_. 2xn-1+7253.设数列an满足a1=3, an0，且3an=an-1，则通项an=_.4.已知数列a0, a1, a2, , an, 满足关系式(3-an+1)(6+an)=18，且a0=3，则ai=0n1i=_.5.等比数
11、列a+log23, a+log43, a+log83的公比为=_.6.各项均为实数的等差数列的公差为4，其首项的平方与其余各项之和不超过100，这样的数列至多有_项.7.数列an满足a1=2, a2=6, 且 an+2+an=2，则 an+1+1lima1+a2+L+ann2n=_.8.数列an 称为等差比数列，当且仅当此数列满足a0=0, an+1-qan构成公比为q的等比数列，q称为此等差比数列的差比。那么，由100以内的自然数构成等差比数列而差比大于1时，项数最多有_项. an9设hN+，数列an定义为：a0=1, an+1=2a+hn在大于0的整数n，使得an=1？ an为偶数an为奇
12、数。问：对于怎样的h，存10设akk1为一非负整数列，且对任意k1，满足aka2k+a2k+1，（1）求证：对任意正整数n，数列中存在n个连续项为0；（2）求出一个满足以上条件，且其存在无限个非零项的数列。 11求证：存在唯一的正整数数列a1,a2,使得 a1=1, a21, an+1(an+1-1)= anan+23anan+2-1+1-1. 六、联赛二试水平训练题 1设an为下述自然数N的个数：N的各位数字之和为n且每位数字只能取1，3或4，求证：a2n是完全平方数，这里n=1, 2,.2设a1, a2, an表示整数1，2，n的任一排列，f(n)是这些排列中满足如下性质的排列数目：a1=
13、1; |ai-ai+1|2, i=1,2,n-1。 试问f(2023)能否被3整除？ 3设数列an和bn满足a0=1,b0=0，且 an+1=7an+6bn-3, bn+1=8an+7bn-4,n=0,1,2,L.求证：an (n=0,1,2,)是完全平方数。 4无穷正实数数列xn具有以下性质：x0=1，xi+1 22x0xnx12+L+-13.999（1）求证：对具有上述性质的任一数列，总能找到一个n1，使 x1x2xn均成立； 22x0xnx12+L+-1 x1x2xn5设x1,x2,xn是各项都不大于M的正整数序列且满足xk=|xk-1-xk-2|(k=3,4,n).试问这样的序列最多有
14、多少项？ 2(1-2an-2)an1-16设a1=a2=，且当n=3,4,5,时，an=, 222an-1-4an-2an-1+an-23()求数列an的通项公式；()求证： 1-2是整数的平方。 an7整数列u0,u1,u2,u3,满足u0=1，且对每个正整数n, un+1un-1=kuu，这里k是某个固定的正整数。如果u2000=2000，求k的所有可能的值。 8求证：存在无穷有界数列xn，使得对任何不同的m, k，有|xm-xk| 1.m-k9.已知n个正整数a0,a1,，an和实数q，其中0 数学竞赛教案讲义(5)数列 数学竞赛教案讲义(5)数列 数学竞赛教案讲义(9)不等式 数学竞赛教案讲义(14)极限与导数（全文） 小学生数学竞赛讲义 等比数列讲义 数学竞赛教案讲义(10)直线与圆的方程 高中数学 第2章 数列 课时12 数列的求和教案 苏教版必修5 高中数学 等差数列教案 苏教版必修5 数学：2.2等差数列教案(新人教A版必修5)