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1、2023年数学竞赛教案讲义(9)不等式 第九章 不等式 一、基础知识 不等式的基本性质： （1）aba-b0； （2）ab, bcac； （3）aba+cb+c； （4）ab, c0acbc； （5）ab, c （6）ab0, cd0acbd; （7）ab0, nN+anbn; （8）ab0, nN+nanb; （9）a0, |x|axa或x 2xy, x+y+z33xyz.w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 前五条是显然的，以下从第六条开始给出证明。 （6）因为ab0, cd0，所以acbc, bcbd，所以acbd；重复利用性质（6），可得性质（7）； nn再证性质（8），用反证法，若
2、nanb，由性质（7）得(na)(nb)，即ab，与ab矛盾，所以假设不成立，所以nanb；由绝对值的意义知（9）成立；-|a|a|a|, -|b|b|b|，所以-(|a|+|b|)a+b|a|+|b|，所以|a+b|a|+|b|；下面再证（10）的左边，因为|a|=|a+b-b|a+b|+|b|，所以|a|-|b|a+b|，所以（10）成立；（11）显然成立；下证（12），因为x+y-2xy=(x-一不等式，令3y)20，所以x+y2xy，当且仅当x=y时，等号成立，再证另x=a,3y=b,3z=c，因为x3+b3+c3-3abc =(a+b)3+c3-3a2b-3ab2-3abc =(a+
3、b)3+c3-3ab(a+b+c)=(a+b+c)(a+b)2-(a+b)c+c2-3ab(a+b+c)=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)= 1(a+b+c)(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2 0，所以a3+b3+c33abc，即x+y+z33xyz，等号当且仅当x=y=z2时成立。 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 二、方法与例题 1不等式证明的基本方法。 （1）比较法，在证明AB或A 例1 设a, b, 22 2A（A，B0）与1Bx, y, z, 有 cR+，试证：对任意实数 a+babcb+cc+axy+yz+xzx+y+z2.(a+b)(b+c)(c+
4、a)cab 例2 若a （2）分析法，即从欲证不等式出发，层层推出使之成立的充分条件，直到已知为止，叙述方式为：要证，只需证。 例3 已知a, b, cR+，求证：a+b+c-33abca+b-2ab.（3）数学归纳法。 例5 对任意正整数n(3)，求证：nn+1(n+1)n. （4）反证法。 例6 设实数a0, a1,an满足a0=an=0，且a0-2a1+a20, a1-2a2+a30, an-2-2an-1+an0，求证ak0(k=1, 2, n-1). （5）分类讨论法。 x2-y2y2-z2z2-x2+0.例7 已知x, y, zR，求证： y+zz+xx+y+ （6）放缩法，即要证
5、AB，可证AC1, C1C2,Cn-1Cn, CnB(nN+).例8 求证：1+ 例9 已知a, b, c是ABC的三条边长，m0，求证：111+L+n.a+mb+mc+m （7）引入参变量法。 b3例10 已知x, yR, l, a, b为待定正数，求f(x, y)=2+2的最小值。 xy+ a3 例11 设x1x2x3x42, x2+x3+x4x1，求证：(x1+x2+x3+x4)24x1x2x3x4. （8）局部不等式。 例12 已知x, y, zR+，且x2+y2+z2=1，求证： 例13 已知0a, b, c1，求证： （9）利用函数的思想。 例14 已知非负实数a, b, c满足a
6、b+bc+ca=1，求f(a, b, c)=值。 2几个常用的不等式。 33xyz.+21-x21-y21-z2abc2。 +bc+1ca+1ab+1111的最小+a+bb+cc+a（1）柯西不等式：若aiR, biR, i=1, 2, , n，则(a)(b2ii=1i=1nn2i)(aibi)2. i=1n等号当且仅当存在R，使得对任意i=1, 2, , n, ai=bi, ai2变式1：若aiR, biR, i=1, 2, , n，则()bi=1in(ai)2(bi)2i=1i=1nn. 等号成立条件为ai=bi,(i=1, 2, , n)。 变式2：设ai, bi同号且不为0(i=1,
7、2, , n)，则 aibi=1in(ai)2nabii=1i=1n. i等号成立当且仅当b1=b2=bn.（2）平均值不等式：设a1, a2,anR+，记Hn= n111+L+a1a2an, Gn=na1a2Lan, a+a2+L+an,Qn=An=1n22a12+a2+L+an，则HnGnAnQn.即调和平均几何平均 n算术平均平方平均。 其中等号成立的条件均为a1=a2=an.【证明】 由柯西不等式得AnQn，再由GnAn可得HnGn，以下仅证GnAn. 1）当n=2时，显然成立； 2）设n=k时有GkAk，当n=k+1时，记1+ka1a2Lakak+1=Gk+1. k-1因为a1+a2
8、+ak+ak+1+(k-1)Gk+1kka1a2Lak+kkak+1Gk+1 k-12k2k2ka1a2Lak+1Gk+1=2k2kGk+1=2kGk+1, 所以a1+a2+ak+1(k+1)Gk+1，即Ak+1Gk+1.所以由数学归纳法，结论成立。 （3）排序不等式：若两组实数a1a2an且b1b2bn，则对于b1, b2, , bn的任意排列bi,bi,L,bi，有a1bn+a2bn-1+anb1a1bi+a2bi+L+anbia1b1+a2b2+anbn.12n12n【证明】 引理：记 A0=0，Ak= ai=1ki(1kn)，则 abii=1ni= (si=1ni-si-1)bi=si
9、(bi-bi+1)+snbn（阿贝尔求和法）。 i=1n-1证法一：因为b1b2bn，所以bi+bi+L+bib1+b2+bk. 12k记sk=bi+bi+L+bi-( b1+b2+bk)，则sk0(k=1, 2, , n)。 12k所以a1bi+a2bi+L+anbi12k-(a1b1+a2b2+anbn)= aj=1nj(bi-bj)= jsj=1nj(aj-aj+1)+snan0.最后一个不等式的理由是aj-aj+10(j=1, 2, , n-1, sn=0), 所以右侧不等式成立，同理可证左侧不等式。 证法二：（调整法）考察a1bi+a2bi+L+anbi，若bibn，则存在。 12k
10、j若bi=bn(jn-1)，则将bi与bi互换。 jnj因为 banbn+ajbi-(anbi+ajbn)=(an-aj)bn+(aj-an)bi=(an-aj)(bn-bi)0， nnnn所 调整后，和是不减的，接下来若bin-1bn-1，则继续同样的调整。至多经n-1次调整就可将乱序和调整为顺序和，而且每次调整后和是不减的，这说明右边不等式成立，同理可得左边不等式。 222anana12a2-1+L+a1+a2+an.例15 已知a1, a2,anR，求证； a2a3ana1+ 注：本讲的每种方法、定理都有极广泛的应用，希望读者在解题中再加以总结。 三、基础训练题 a2b2+1已知0m，则
11、m的最小值是_.6“a+b=4”是“不等式|x-a|+|x-b| 11；a3+b3 b+1lga0, b0且ab, m=aabb, n=abba, 则比较大小：m_n. 113n+L+.22n22n+1112已知0 8xx13已知xR，x0，求证：.x21-211已知nN+，求证：1+ 四、高考水平训练题 1已知A=asin2x+bcos2x, B=acos2x+bsin2x(a, b, xR)，设m=AB, n=ab, P=A2+B2, q=a2+b2，则下列结论成立的有_.（1）mn, pq;（2）mn, pq；（3）m+pn+q；（4）m+qn+p. 2已知a, b, c, dR，M=4
12、(a-b)(c-d), N=(a-b)(c-b)+(d-a)(d-c)+(c-d)(c-b)+(a-b)(a-d)，则比较大小：M_N.3若ab,a,bR+，且ax20, 1a0，记y1=x1x2_y1y2.8已知函数y=x1axaxx+2,y2=1+2，比较大小：1+a1+a1+a1+aa+sinx4的值域是-,+，则实数a的值为_.1+cosx39设ab 111M恒成立，则M最+abca+b+cb-2a-110实系数方程x2+ax+2b=0的一个根大于0且小于1，另一个根大于1且小于2，则的取值范围是_.11已知a, b, cR+且满足 a+b+cabc，求证：下列三个式子中至少有两个成立
13、：632632632+2,+2,+2.abcbcacab1112已知a, bR+且+=1，求证：对一切nN+，(a+b)n-an-bn22n-2n+1. abcab313已知a, b, c R+，求证：+. a+bb+cc+a214设x, y, z是3个不全为零的实数，求 五、联赛一试水平训练题 1已知a1, a2, b1, b2, c1, cR，a1c1-b1=a2c2-b20, P=(a1-a2)(c1-c2), Q=(b1-b2)2，比较大小：P_Q. 2已知x2+y2-xy=1，则|x+y-3|+|x+y+2|=_.3二次函数f(x)=x2+ax+b，记M=max|f(1)|, |f(
14、2)|, |f(3)|，则M的最小值为_.4设实数a, b, c, d满足abcd或者abcd，比较大小： 4(a+c+d)(a+b+d)_(2a+3d+c)(2a+2b+c+d).5已知xiR, i=1, 2, ,n且+ 22xy+2yz的最大值。 222x+y+z1=1，则x1x2xn的最小值为_（这里1+xi=1inn1）.6已知x, yR, f(x, y)=x2+6y2-2xy-14x-6y+72的最小值为_.7已知0ak1(k=1, 2, ,2n)，记a2n+1=a1, a2n+2=a2，则_.8已知0x1, 0y1, 0z1，则 (ak=12nk-ak+1ak+2)的最大值为 xy
15、z的最大值为_.+yz+1zx+1xy+19已知3x5，求证：2x+1+2x-3+15-3x0(i=1, 2, , n)，且 ai=1inai(liai)li=1i=1in(l1+ln)2.4l1ln 六、联赛二试水平训练题 1设正实数x, y, z满足x+y+z=1，求证： xyxy+yz+yzyz+xz+xzxz+xy2.22设整数x1, x2, ,xn与y1, y2, , yn满足1y1+y2+ym，求证：x1x2xny1y2ym.3设f(x)=x2+a，记f(x)=f(x), fn(x)=f(fn-1(x)(n=2, 3, )，M=aR|对所有正整数n, |fn(0)| 2，求证：M=
16、-2,。 414给定正数和正整数n(n2)，求最小的正数M（），使得对于所有非负数x1, x2,xn ，有M()(xk=1nk)x+lxk.nnkk=1k=1nn1119+.5已知x, y, zR，求证：(xy+yz+zx)222(y+z)(z+x)4(x+y)+6已知非负实数a, b, c满足a+b+c=1，求证：2(1-a2)2+(1-b2)2+(1-c2)2(1+a)(1+b)(1+c)，并求出等号成立的条件。 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 数学竞赛教案讲义(9)不等式 不等式证明方法讲义 专题1、不等式讲义 不等式与不等式组教案 不等式教案 不等式与不等式组复习教案 不等式解不等式复习课教案 初中不等式数学教案 不等式证明,均值不等式 经典不等式证明柯西不等式排序不等式切比雪夫不等式均值不等式