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1、极坐标法极坐标法 第第5章章 界址点坐标测量界址点坐标测量5.1 极坐标法极坐标法极坐标法是界址点坐标测量的主要方法。极坐标法是界址点坐标测量的主要方法。如右图如右图A、B为两已知控制点，其坐标为两已知控制点，其坐标xA、yA、xB、yB，则，则B、A方向的坐标方位角方向的坐标方位角则则AB也是已知的。也是已知的。现现在在A点安置点安置仪仪器，器，后后视视B点，点，测测出水平角出水平角、距离、距离DAP，界，界址点址点P的坐的坐标为标为：PBADAP，根据误差传播定律得界址点，根据误差传播定律得界址点P坐标的中误差。坐标的中误差。极坐标法精度极坐标法精度上式中的上式中的AP=BA+180，如不
2、考虑如不考虑A、B两已知控制点坐标两已知控制点坐标的误差的情况下，即：的误差的情况下，即：mAP=m，mA=0,则则界址点界址点P坐标的中误坐标的中误差为：差为：极坐标法精度计算极坐标法精度计算 利用普通经纬仪测角利用普通经纬仪测角m=20,钢尺量距，其相对中误差为钢尺量距，其相对中误差为1/5000，DAP=200m,则界址点则界址点P的中误差为：的中误差为：利用利用J2经纬仪测角经纬仪测角m=2,光电测距，其相对中误差为光电测距，其相对中误差为1/40000，DAP=200m,则界址点则界址点P的中误差为：的中误差为：通过上述的计算表明，利用普通经纬仪测角、钢尺量距这通过上述的计算表明，利
3、用普通经纬仪测角、钢尺量距这种方法在考虑已知点误差的情况下，界址点种方法在考虑已知点误差的情况下，界址点P的点位中误差的点位中误差可能超过可能超过5cm;但若采用但若采用J2经纬仪测角、光电测距的方法是完经纬仪测角、光电测距的方法是完全能达到界址点全能达到界址点5cm法律精度要求的。法律精度要求的。5.2 界址点坐标测量的其它方法界址点坐标测量的其它方法一、线性插值法一、线性插值法如图所示，有一排房屋，其端点如图所示，有一排房屋，其端点K1、K2已用某种方法测得了坐标，已用某种方法测得了坐标，而而A、B、C、D为位于为位于K1、K2直线上的一些特征点，这时只用钢直线上的一些特征点，这时只用钢尺
4、丈量它们之间的间距，就可按下列插值公式推算待定点的坐标。尺丈量它们之间的间距，就可按下列插值公式推算待定点的坐标。K1K2ACBDDA线性插值法线性插值法直角坐标法直角坐标法二、直角坐标法二、直角坐标法K1K2ACBDFEHGShiK1K2YX 如图所示，设一建筑物的两个房角点如图所示，设一建筑物的两个房角点K1、K1已测得，现欲求建已测得，现欲求建筑物的一些细部点台阶、阳台柱子等凹凸处的拐点筑物的一些细部点台阶、阳台柱子等凹凸处的拐点A、B.G，这是可以根据勘丈值这是可以根据勘丈值S、h及及K1、K2点推算各细部拐点的坐标点推算各细部拐点的坐标。建立一个局部坐标系，原点在建立一个局部坐标系，
5、原点在K1，X轴轴方向方向K1K2重合，重合，Y方向方向为为K1K2顺时针顺时针旋旋转转90。在此坐标系中。在此坐标系中i点的坐标为（点的坐标为（S,h)。利用坐。利用坐标旋转的转换的公式可求算标旋转的转换的公式可求算i点在大地坐标系中的坐标。点在大地坐标系中的坐标。（X1，Y1）-K1点的坐标；点的坐标；（X2，Y2）-K2点的坐标，点的坐标，12为为K1K2的坐的坐标标方位角。方位角。则：则：应用此公式时应用此公式时,K1、K2、i为顺时为顺时针顺序，针顺序，h0,反之，反之，h0。直角坐标直角坐标直角坐标直角坐标勘丈勘丈法测定界址点的坐标计算与精度评定示例法测定界址点的坐标计算与精度评定
6、示例法测定界址点的坐标计算与精度评定示例法测定界址点的坐标计算与精度评定示例 如图所示，一房屋的两个角点如图所示，一房屋的两个角点K K1 1、K K2 2已测得其起大地坐标为：已测得其起大地坐标为：K K1 1（384.952,478.538384.952,478.538）、）、K K2 2（420.574,630.766420.574,630.766）,现用勘丈法测定与房现用勘丈法测定与房屋相垂直的阳台拐点屋相垂直的阳台拐点i i的大地坐标，其勘丈值的大地坐标，其勘丈值S=26.628m0.013m,h=3.828m0.005mS=26.628m0.013m,h=3.828m0.005m。
7、1.1.试求阳台拐点试求阳台拐点i i的大地坐标。的大地坐标。2.2.在不考虑在不考虑K K1 1、K K2 2大地坐标误差的情况下，试计算阳台拐点大地坐标误差的情况下，试计算阳台拐点i i的大地坐标的大地坐标的中误差的中误差m mxixi、m myiyi。坐标计算与精度评定示例坐标计算与精度评定示例坐标计算与精度评定示例坐标计算与精度评定示例解：如下图所示，建立建立一个局部坐标系，原点在解：如下图所示，建立建立一个局部坐标系，原点在K1，X轴方轴方向向K1K2重合，重合，Y方向为方向为K1K2顺时针旋转顺时针旋转90。在此坐标系中。在此坐标系中i点的点的坐标为（坐标为（S,h)。不难得出下列
8、求算。不难得出下列求算i点在大地坐标系中的坐标之公点在大地坐标系中的坐标之公式：式：因因 K1、K2、i三点按顺时针方向排列，本题的三点按顺时针方向排列，本题的h0。Xi=384.952+26.628cos764946-3.828sin764946=387.292m Yi=478.538+26.628sin7649463.828cos764946=505.338m坐标计算与精度评定示例坐标计算与精度评定示例坐标计算与精度评定示例坐标计算与精度评定示例坐标计算与精度评定示例坐标计算与精度评定示例坐标计算与精度评定示例坐标计算与精度评定示例距离交会法距离交会法三、距离交会法三、距离交会法这是最常用
9、的用勘丈值求待定细部点坐标的方法。这是最常用的用勘丈值求待定细部点坐标的方法。K1K2SYXhiS1S2如图所示，设如图所示，设K1、K2为两已知点，为两已知点，i为待定点，勘丈值为为待定点，勘丈值为S1、S2。从从i点作点作K1K2的垂线，设的垂线，设K1至垂至垂足的距离为足的距离为S，垂线长为，垂线长为h。则可先。则可先利用勘丈值利用勘丈值S1、S2计算出计算出S、h，然，然后套用直角法的公式求出后套用直角法的公式求出i点的坐标。点的坐标。S、h的计算方法如下：的计算方法如下：K2K1i=,K1、K2之之间间的距离的距离为为d，则则：变形距离交会法变形距离交会法四、变形距离交会法四、变形距
10、离交会法 设基线（围墙）两端点设基线（围墙）两端点K1、K2的坐标已知，一个房角点的坐标已知，一个房角点K3坐标也已知。坐标也已知。现欲测定现欲测定i点的坐标，其勘丈值为点的坐标，其勘丈值为i点到基线点到基线K1K2的垂距的垂距h及及i点至防角点点至防角点K3的距离的距离S。计算步骤如下：。计算步骤如下：1、选基线两端点中一端点为、选基线两端点中一端点为K1，使，使h0；2、利用距离交会法中的部分公式求、利用距离交会法中的部分公式求K3到基线到基线K1K2的垂距的垂距h 及及K1至垂足至垂足M的距离的距离S；3、计计算算MQ：4、计计算算K1Q：当基：当基线线放平，放平，K3在基在基线线i上上
11、时时，若待定点在垂，若待定点在垂线线K3M左左侧时侧时，则则K1Q=S+MQ，否，否则则，则则K1Q=S-MQ。5、从、从K1K2出发，按出发，按K1Q（S）、）、h两个值，套用直角坐标法的两个值，套用直角坐标法的公式即可求出待定点公式即可求出待定点i的坐标。的坐标。K3K1K2MshhiQNS两直线的交点两直线的交点五、两直线的交点五、两直线的交点K4K3K1K2i 如图所示，设如图所示，设K1、K2、K3、K4四四点的坐标已知，则点的坐标已知，则K1K3与与K2K4的交的交点可按下列公式求得：点可按下列公式求得：1、若、若 X1=X3，而，而X2X4，则：，则：Xi=X1 Yi=Y2+(X
12、i-X2)(Y4-Y2)/(X4-X2)2、若、若X1X3，而，而X2=X4，则：，则：Xi=X2 Yi=Y1+（Xi-X1)(Y3-Y1)/(X3-X1)3、若、若X1=X3，而，而X2=X4，则无解。，则无解。4、若、若 X1X3，而，而X2X4，则：，则：T1=（Y3-Y1）/(X3-X1)T2=(Y4-Y2)/(X4-X2)Xi=(X1T1-X2T2+Y2-Y1)/(T1-T2)Yi=Y1+(Xi-X1)T1两已知直线平行线的交点两已知直线平行线的交点六、两已知直线平行线的交点六、两已知直线平行线的交点K2K1K3ih1h2 如图所示，围墙三个拐点如图所示，围墙三个拐点K1、K2、K3
13、的坐标已测得，现要求的坐标已测得，现要求围墙内角围墙内角i的坐标。的坐标。设设K1K2处围墙的宽度为处围墙的宽度为h1，K1K2处围墙的宽度为处围墙的宽度为h2。其解。其解算步骤如下：算步骤如下：1、选两个基线的第一点号，使、选两个基线的第一点号，使h为正值。为正值。2、作基线的平行线。以、作基线的平行线。以K1K2为例，其平行线为为例，其平行线为K1K2。3、套用两已知直线交点的公式计算套用两已知直线交点的公式计算i点的坐标。点的坐标。求垂足求垂足七、求垂足七、求垂足K3K2K1ihS 如图所示，设有一靠围墙如图所示，设有一靠围墙K1K2而建的房屋，其一房角点而建的房屋，其一房角点K3的坐标
14、的坐标已知。这时另一房角已知。这时另一房角i作为作为K3在基在基线线K1K2上的垂足的计算步骤为：上的垂足的计算步骤为：1、若、若X1=X2，则，则Xi=X1，Yi=Y32、若、若Y1=Y2，则，则Xi=X3，Yi=Y13、若、若X1X2，且，且Y1Y2，则：，则：T1=（Y2-Y1）/（X2-X1）T2=-1/T1Xi=（X1T1-Y1-X3T2+Y3）/（T1-T2）Yi=Y1+（Xi-X1）T1方向线交会法方向线交会法K3K1K2K4i21八、方向线交会法八、方向线交会法 如图所示，设在已知点如图所示，设在已知点K1、K2上分上分别后视另两已知点别后视另两已知点K3、K4后交会待定后交会
15、待定点点i，观测值为两个水平角，观测值为两个水平角1、2。i点坐标计算步骤如下：点坐标计算步骤如下：1、计算两个交会方向的方位角：、计算两个交会方向的方位角：1=31+1，2=42+22、若、若1=90或或270，则，则Xi=X1,Yi=Y2+(Xi-X2)tan 13、若、若2=90或或270，则，则Xi=X2,Yi=Y1+(Xi-X2)tan 24、若、若1-2=-180 或或0 或或180 时，则无解。时，则无解。5、除上述特殊情况外：、除上述特殊情况外：T1=tan 1,T2=tan 2Xi=(Y2-Y1+X1T1-X2T2)/(T1-T2)Yi=Y1+(Xi-X1)T1九、前方交会九
16、、前方交会 如图所示，在三角形如图所示，在三角形ABP中，已知点中，已知点A、B的坐标为（的坐标为（xA、yA）和（）和（xB、yB）。为得到界址点）。为得到界址点P点的坐标，测得水平角点的坐标，测得水平角A、B，可，可根据根据AB边边长边边长DAB，利用正弦定理推算出，利用正弦定理推算出AP边边长，再推算出边边长，再推算出AP边的坐标方位角即可解算出未知点边的坐标方位角即可解算出未知点P的坐标（的坐标（xP、yP），这种交会定），这种交会定点的方法为前方交会法。点的方法为前方交会法。PBA1、计算已知边方位角、边长、计算已知边方位角、边长 根据下列式可以计算出根据下列式可以计算出AB边的坐边
17、的坐标方位角标方位角 AB、DAB。前方交会前方交会12、计算未知点坐标、计算未知点坐标 由由A点或点或B点均可推算出点均可推算出P点的坐标点的坐标：PBA 以上两组公式分别计算出以上两组公式分别计算出P点的坐标点的坐标可进行计算上的校核。可进行计算上的校核。将以上的公式作进一步的整理可得出前方交会的余切公式：将以上的公式作进一步的整理可得出前方交会的余切公式：前方交会前方交会2测定临时测站点的方法测定临时测站点的方法5.3 测定临时测站坐标的方法测定临时测站坐标的方法 在地籍测量中常需要在便于观测的地点增设测站在地籍测量中常需要在便于观测的地点增设测站,例如可以在例如可以在高耸建筑物的屋顶或
18、阳台上设站高耸建筑物的屋顶或阳台上设站,从而可以测得街坊内部一大批地从而可以测得街坊内部一大批地籍界址点；有时某个大单位外围特征点坐标已知，如果可以利用籍界址点；有时某个大单位外围特征点坐标已知，如果可以利用它们在院子内增设测站，就可以方便地测量一大批细部点坐标。它们在院子内增设测站，就可以方便地测量一大批细部点坐标。增设临时测站的方法常后方交会法、自由测站法等。增设临时测站的方法常后方交会法、自由测站法等。一、后方交会法一、后方交会法 后方交会法只需在增设的测站点安置仪器，观测水平角就能解后方交会法只需在增设的测站点安置仪器，观测水平角就能解算出测站点的坐标，它是一种经典的增设测站的方法。算
19、出测站点的坐标，它是一种经典的增设测站的方法。后方交会法通常需要三个已知点，根据测站点与三个已知点相后方交会法通常需要三个已知点，根据测站点与三个已知点相对位置关系分为测站点在三个已知点构成的三角形之内、之外两对位置关系分为测站点在三个已知点构成的三角形之内、之外两种情况，两种情况解算出测站点坐标的计算公式有所不同，应分种情况，两种情况解算出测站点坐标的计算公式有所不同，应分别对待。别对待。后方交会法后方交会法1 11、测站点在三个已知点构成的三角形之外测站点在三个已知点构成的三角形之外 如图所示，如图所示，A、B、C为三个已知点，为三个已知点，P为增设的临时测站点，观测值为水平为增设的临时测
20、站点，观测值为水平角角、。解算。解算P点坐点坐标标的数学模型的数学模型为为：（1）引如）引如辅辅助量助量a、b、c、d，其中：，其中：a=(xA-xC)+(yA-yC)ctgb=(yA-yC)-(xA-xC)ctgc=(xB-xC)-(yB-yC)ctg d=(yB-yC)+(xB-xC)ctg CABP后方交会法后方交会法2 2CABP(2)计算坐标增量计算坐标增量（3）计算未知点）计算未知点P的坐标的坐标应用上述公式时，必须按规定编号：未知点的点号为应用上述公式时，必须按规定编号：未知点的点号为P，计算，计算者立于者立于P点，面向三个已知点，中间点编号为点，面向三个已知点，中间点编号为C，
21、而左边的已，而左边的已知点为知点为A，右边的已知点为，右边的已知点为B。注意：当注意：当P点正好选在通过已知点点正好选在通过已知点A、B、C的圆周上时，则的圆周上时，则P点无论位于圆周上任何位置，所测得的点无论位于圆周上任何位置，所测得的、角值皆不变角值皆不变，这，这个问题就无解，该圆称为危险圆。而个问题就无解，该圆称为危险圆。而P点靠近危险圆也将使算点靠近危险圆也将使算得的坐标有很大的误差。因此在作业时，一般要使得的坐标有很大的误差。因此在作业时，一般要使P点离危险点离危险圆周有一定距离。圆周有一定距离。2、测站点在三个已知点构成的三角形之内、测站点在三个已知点构成的三角形之内PCBA 如图
22、所示，增设的测站点如图所示，增设的测站点P在在A、B、C三个已点所构成三角形之内，此时三个已点所构成三角形之内，此时P点的坐标计算的数学模型为：点的坐标计算的数学模型为：（1）引如辅助量）引如辅助量PA、PB、PC、PD，其，其中：中：（2）P点坐标为：点坐标为：后方交会法后方交会法3 3自由测站定位法自由测站定位法1 1二、自由测站定位法二、自由测站定位法二、自由测站定位法二、自由测站定位法 自由测站定位法具有测站选择灵活、受地形限制少、野外施测工自由测站定位法具有测站选择灵活、受地形限制少、野外施测工作简单、易于校核的特点。如图所示，自由测站定位法与后方交作简单、易于校核的特点。如图所示，
23、自由测站定位法与后方交会相似，但观测元素除水平方向会相似，但观测元素除水平方向L外，还应测量外，还应测量P点至各已知点的点至各已知点的距离距离D。后方交会时至少要有。后方交会时至少要有3个已知控制点，为了检核至少还要个已知控制点，为了检核至少还要增加增加1个已知控制点，而自由测站定位法最少需要个已知控制点，而自由测站定位法最少需要2个已知控制点，个已知控制点，而且有而且有2个已知控制点已经具有初步校核，利用多个已知点时，可个已知控制点已经具有初步校核，利用多个已知点时，可以提高测站以提高测站P的点位精度。在下图中，设的点位精度。在下图中，设P为测站，为测站，A1、A2、An为几个已知控制点，观
24、测了几个水平方向值为几个已知控制点，观测了几个水平方向值Li及几个水平距离及几个水平距离Di。按下列步骤可计算出测站按下列步骤可计算出测站P的坐标的坐标:A2A1AiAnD1DnD2DiL2LnL1LiP1、建立假定测站坐标系、建立假定测站坐标系X和和Y 假定坐标系的原点在假定坐标系的原点在P，其X轴正方向与观测水平方向时轴正方向与观测水平方向时度盘度盘0刻划线方向重合。刻划线方向重合。2、计算各已知控制点在假定坐标系中的坐标、计算各已知控制点在假定坐标系中的坐标 Xi和和Yi3、建立假定坐标系与大地坐标系之间的换算公式、建立假定坐标系与大地坐标系之间的换算公式 假定坐标系与大地坐标系之间的换
25、算参数有：平移参数为假定坐标系与大地坐标系之间的换算参数有：平移参数为P点在大地坐标系中的坐标点在大地坐标系中的坐标XP，YP；旋转参数为水平度盘；旋转参数为水平度盘0 刻刻划线在大地坐标系中的方位角划线在大地坐标系中的方位角 0；尺度参数为距离观测值的尺；尺度参数为距离观测值的尺度标准长度在大地坐标系中的长度值度标准长度在大地坐标系中的长度值K。则假定坐标系与大地。则假定坐标系与大地坐标系的转换关系式为：坐标系的转换关系式为：A2A1AiAnD1DnD2DiL2LnL1LiP自由测站定位法自由测站定位法2 24、求假定坐标系与大地坐标系之间的转换参数求假定坐标系与大地坐标系之间的转换参数 利
26、用上式将已知控制点的假定坐标利用上式将已知控制点的假定坐标 Xi、Yi换算成大地坐标换算成大地坐标xi、y i会与已知控制点的大地坐标会与已知控制点的大地坐标Xi,Yi有差异，求这有差异，求这4个参数按最小个参数按最小二乘法准则在于要求这些坐标差的平方和为最小。根据这个准则，二乘法准则在于要求这些坐标差的平方和为最小。根据这个准则，可导得计算公式为：可导得计算公式为：5、计算、计算P点坐标点坐标 自由测站定位法自由测站定位法3 3A2A1AiAnD1DnD2DiL2LnL1LiP自由测站定位法自由测站定位法4 4 求得的求得的K值应接近与值应接近与1.000000，它反映了距离测量的长度标，它
27、反映了距离测量的长度标准（测距仪的乘常数等）与大地坐标系的长度标准之间的差准（测距仪的乘常数等）与大地坐标系的长度标准之间的差异，这可用作检查，如果异，这可用作检查，如果K值偏离值偏离1太大，应查明原因，例如太大，应查明原因，例如可能是弄错了已知点的点号、观测值中有错误等，排除了产可能是弄错了已知点的点号、观测值中有错误等，排除了产生错误的原因再重新计算。生错误的原因再重新计算。求得了求得了Xp、Yp及及 0以后，就可以方便地去测定界址点了。以后，就可以方便地去测定界址点了。A2A1AiAnD1DnD2DiL2LnL1LiP算例算例:在未知点在未知点P安置全站仪安置全站仪,照准已知控制点照准已
28、知控制点A1(509.991,528.287),A2(465.491,572.174)A3(350.081,495.083),A4(740.973,567.792)，分别读取，分别读取水平度盘读数及水平距离为：水平度盘读数及水平距离为：D1=30.000m、L1=253020，D2=80.000m、L2=703045，D3=150.000m、L3=1365012，D4=250.327m、L4=3304016。根据上述数学模型可解算出自由测站根据上述数学模型可解算出自由测站P的大地坐标为：的大地坐标为：K=1.000000216,0=450230,XP=500.000m,YP=500.000m。在照准待测未界址点在照准待测未界址点M时，其水平度盘读数时，其水平度盘读数LM+0即即为测站点为测站点P至至 界址点界址点M的方位角的方位角PM，这样就可以方便地，这样就可以方便地解算出界址点解算出界址点M的大地坐标。的大地坐标。算例算例A2A1AiAnD1DnD2DiL2LnL1LiPMLMDM