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1、初中数学九年级上册初中数学九年级上册初中数学九年级上册初中数学九年级上册（苏科版）（苏科版）（苏科版）（苏科版）4.3用一元二次方程解决问题用一元二次方程解决问题(1)例例1某旅行社的一则广告如下：我社组团去龙湾风景区旅游，收费标准为：如果人数不超过30人，人均旅游费用为800元；如果人数多于30人，那么每增加1人，人均旅游费用降低10元，但人均旅游费用不得低于500元。甲公司分批组织员工到龙湾风景区旅游，现计划用28000元组织第一批员工去旅游，问这次旅游可以安排多少人参加？如何设未知数？如何找出表达实际问题的相等关系？这个问题中的相等关系是什么？如何解此题呢？1.一般情况下，应设要求的未知
2、量为未知数3.这个问题的等量关系是什么?：分析：首先知道总费用是28000元即有等量关系“人均费用人数=28000元”2.从题中寻找未知数所表示的未知量与已知量之间的等量关系这种称直接设未知数,反之叫间接设未知数4.人数可设未知数x人,人均费用人均费用呢?(1)根据:“如果人数不超过30人，人均旅游费用为800元”(2)根据:“如果人数多于30人，那么每增加1人，人均旅游费用降低10元，但人均旅游费用不得低于500元”则总费用不超过30800=2400028000;而现用28000元,所以人数应超过30人 a.设的x人,比30人多了多少人？（x30）人b.降了多少元?10(x-30)元c.实际
3、人均费用是多少?80010(x30)元5.本题实际意义是:人均旅游费用不得低于500元.解:设这次旅游可以安排x人参加,根据题意得:80010(x30)x=28000整理,得:x2-110 x+2800=0 解这个方程,得:x1=70 x2=40当x1=70时,800-10(x-30)=400500 x=40答:问这次旅游可以安排40人参加.课堂练习：课堂练习：P95P95练习练习解：设该公司第二批参加旅游的有x人，根据题意的：800-10(x-30)x=29250X1=45 x2=65 x=45当x1=45时,800-10(x-30)500 当x2=65时,800-10(x-30)500不合
4、题意,舍去.答:该公司第二批参加旅游的有45人.解应用题的一般步骤？解应用题的一般步骤？第一步：第一步：设设未知未知数数(单位名称单位名称););第二步：第二步：根据相等关系根据相等关系列列出列出方程；出列出方程；第三步：第三步：解解这个方程，求出未知数的值；这个方程，求出未知数的值；第四步：第四步：检检查查求得的值是否符合实际意义；求得的值是否符合实际意义；第五步：第五步：写出写出答答案（及单位名称）。案（及单位名称）。例2、建造一个池底为正方形、深度为2米的长方体无盖水池，池壁的造价为100元/平方米，池底的造价为200元/平方米，总造价为6400元，求正方形池底的长。解：设较小的一个奇数
5、为解：设较小的一个奇数为x，则另一个为则另一个为 x+2,根据题意得：根据题意得：x(x+2)=323 x2+2x-323=0 解得：解得：x1=17 x2=-19 由由x1=17 得：得：x+2=19 由由 x2=-19 得：得：x+2=-17 答：这两个数奇数是答：这两个数奇数是17，19，或者，或者-19，-17。问：如果设这两个数奇数中较小的一个问：如果设这两个数奇数中较小的一个为为x-1,x-1,另一个为另一个为x+1,x+1,这道题该怎么解？这道题该怎么解？例例3 3、两个连续奇数的积是、两个连续奇数的积是323323，求这两个数。，求这两个数。1 1、在三位数、在三位数34534
6、5中，中，3 3，4 4，5 5是这个三位数是这个三位数的什么？的什么？2 2、如果、如果a,b,c a,b,c 分别表示百位数字、十位数分别表示百位数字、十位数字、个位数字，这个三位数能不能写成字、个位数字，这个三位数能不能写成abcabc形式？为什么？形式？为什么？100a+10b+c100a+10b+c345=3100+410+513.3.有一个两位数，它的两个数字之和是有一个两位数，它的两个数字之和是8 8，把，把这个两位数的数字交换位置后所得的数乘以这个两位数的数字交换位置后所得的数乘以原来的数就得到原来的数就得到18551855，求原来的两位数。，求原来的两位数。解解：设设原原来来
7、的的两两位位数数的的个个位位数数为为x,x,则则十十位位上的数为上的数为8-x8-x，根据题意得：根据题意得：1010（8-x8-x）+x+x10 x+(8-x)10 x+(8-x)=1855=1855整理后得：整理后得：x x2 2-8x+15=0-8x+15=0解这个方程得：解这个方程得：x x1 1=3 x=3 x2 2=5=5答：原来的两位数为答：原来的两位数为3535或或53.53.课堂练习：课堂练习：4 4、已知两个数的和等于、已知两个数的和等于1212，积等于，积等于3232，则这两个是，则这两个是 。4 4，8 86 6、三个连续整数两两相乘后，再、三个连续整数两两相乘后，再求
8、和，得求和，得362362，求这三个数。，求这三个数。5 5、求、求 x x:(x-1)=(x+2):3 :(x-1)=(x+2):3 中的中的x.x.解应用题的一般步骤？解应用题的一般步骤？第一步：第一步：设设未知未知数数(单位名称单位名称););第二步：第二步：根据相等关系根据相等关系列列出列出方程；出列出方程；第三步：第三步：解解这个方程，求出未知数的值；这个方程，求出未知数的值；第四步：第四步：检检查查求得的值是否符合实际意义；求得的值是否符合实际意义；第五步：第五步：写出写出答答案（及单位名称）。案（及单位名称）。初中数学九年级上册初中数学九年级上册初中数学九年级上册初中数学九年级上
9、册（苏科版）（苏科版）（苏科版）（苏科版）4.3用一元二次方程解决问题用一元二次方程解决问题(2)如图，如图，一块长方形铁皮的长是宽的一块长方形铁皮的长是宽的2 2倍，倍，四角各截去一个相等的小正方形，制成高是四角各截去一个相等的小正方形，制成高是5cm5cm，容积是，容积是500cm500cm3 3的的长方体容器，求这块长方体容器，求这块铁皮的长和宽铁皮的长和宽.问题问题1 1分析：分析：如果设这块铁皮的宽是xcm，那么制成的长方体容器底面的宽是_长是_1.这个问题的等量关系是：“长宽高=容积”,“长=宽2”。3.如何设未知数？xx2x2x55555555长宽高2.你知道图中长方体容器长、宽
10、、高分别指哪些？(2x-10)cm.(x-10)cm,解:设这块铁皮的宽是xcm，那么制成的长方体容器底面的宽是(x-10)cm,长是(2x-10)cm.根据题意得:5(x-10)(2x-10)=500整理,得:x2-15x=0 解这个方程,得:x1=15 x2=0(不合题意,舍去)x=152x=30答:这块铁皮的宽是15cm，长是30cm.1.一块长方形菜地的面积是150m2,如果它的长减少5m,那么菜地就变成正方形.求原菜地的长和宽.分析：分析：画草图画草图 5 5 如果设原菜地宽为如果设原菜地宽为xm x x x x x(x+5)=150 可得方程可得方程 2.如图如图,在一幅长在一幅长
11、70cm,宽宽50cm的风景画四周镶上的风景画四周镶上一条宽度相同的金色纸边一条宽度相同的金色纸边,制成一幅挂画制成一幅挂画.如果要使如果要使金色纸边的面积是金色纸边的面积是1300cm2,求金色纸边的宽度求金色纸边的宽度.问题问题2 2问题问题2 某商店6月份的利润是2500元，要使8月份的利润达到3600元，平均每月增长的百分率是多少？则则:7 7月份的月份的利润利润是是 _元元 8 8月份的月份的利润利润是是 _ _ 元元分析分析:2500(1+x)2500(1+x)2如果设平均每个月增长的百分率为如果设平均每个月增长的百分率为x解:设平均每个月增长的百分率是设平均每个月增长的百分率是x
12、.根据题意得根据题意得:2500(1+x)2=3600整理,得:(1+x)2=1.44解这个方程,得:x1=0.2=20 x2=-2.2(不合题意,舍去)答:平均每个月增长的百分率是平均每个月增长的百分率是20.某蔬菜交易市场2月份的蔬菜交易量是5000t，4月份达到7200t，平均每月增长的百分率是多少？解：设平均每月增长的百分率是x.根据题意得：5000（1+x）2=7200(1+x)2=1.44x1=0.2=20 x2=-2.2(不合题意,舍去)答:平均每个月增长的百分率是平均每个月增长的百分率是20 1。某种服装原价为每件80元,经两次降价,现售价为每件51.2元,求平均每次降价的百分
13、率.2。一张长方形铁皮，四个角各剪去一个边长为4cm的小正方形，再折起来做成一个无盖的小 盒子。已知铁皮的长是宽的2倍，做成的小盒子的容积是1536cm3，求长方形铁皮的长与宽。1.某厂1月份生产零件2万个，一季度共生产零件7.98万个，若每月的增长率相同，求每月的增长率.2.某公司计划两年内把产量翻两番，如果每年比上一年提高的百分数相同，求这个百分数。练练 习习 某服装店花2000元进了批服装，按50%的利润定价，无人购买。决定打折出售，但仍无人购买，结果又一次打折后才售完。经结算，这批服装共盈利430元。如果两次打折相同，每次打了几折？开启开启 智慧智慧初中数学九年级上册初中数学九年级上册
14、初中数学九年级上册初中数学九年级上册（苏科版）（苏科版）（苏科版）（苏科版）4.3用一元二次方程解决问题用一元二次方程解决问题(3)问题问题:一根长一根长22cm的铁丝的铁丝(1)能否围成面积是能否围成面积是30cm2的矩形的矩形.(2)(2)能否围成面积是能否围成面积是32cm32cm2 2的矩形的矩形?并说并说明理由明理由.(3)讨论：讨论：用这根铁丝围成的矩形最大用这根铁丝围成的矩形最大面积是多少？面积是多少？分析分析:如果设围成的矩形的长为如果设围成的矩形的长为cm,cm,那么那么宽就是宽就是 cmcm，即（，即（11-x11-x）cmcm根据：根据：矩形的长矩形的长矩形的宽矩形的宽=
15、矩形的面积矩形的面积 可列出方程可列出方程解：设这根铁丝围成的矩形的长是解：设这根铁丝围成的矩形的长是xcm，则矩，则矩形的宽是（形的宽是（11-x）cm(1)如果矩形的面积是如果矩形的面积是30cm2，那么，那么 整理得整理得解得解得当当 时，时，当当 时时，答：长答：长22cm的铁丝能围成面积是的铁丝能围成面积是30cm2的矩的矩形。形。问题问题:一根长一根长22cm的铁丝的铁丝(1)能否围成面积是能否围成面积是30cm2的矩形的矩形.(2)(2)能否围成面积是能否围成面积是32cm32cm2 2的矩形的矩形?并说并说明理由明理由.(3)讨论：讨论：用这根铁丝围成的矩形最大用这根铁丝围成的
16、矩形最大面积是多少？面积是多少？(2)如果矩形的面积是如果矩形的面积是32cm2,那么那么整理得整理得因为因为所以此方程没有实数解所以此方程没有实数解.答答:长长22cm的铁丝不能围成面积是的铁丝不能围成面积是32cm2的矩的矩形形.问题问题:一根长一根长22cm的铁丝的铁丝(1)能否围成面积是能否围成面积是30cm2的矩形的矩形.(2)(2)能否围成面积是能否围成面积是32cm32cm2 2的矩形的矩形?并说并说明理由明理由.(3)讨论：讨论：用这根铁丝围成的矩形最大用这根铁丝围成的矩形最大面积是多少？面积是多少？(3)设围成的矩形一边长为设围成的矩形一边长为xcm，那么另一边长，那么另一边
17、长为（为（11-x)cm,矩形的面积为：矩形的面积为：即最大值为即最大值为0答：用这根铁丝围成的矩形最大面积是答：用这根铁丝围成的矩形最大面积是 学校准备在图书馆后面的场地上建一个面学校准备在图书馆后面的场地上建一个面积为积为12m2 的矩形自行车棚的矩形自行车棚,一边利用图书馆的一边利用图书馆的后墙后墙,并利用已有总长为并利用已有总长为10m的铁围栏的铁围栏(通道门通道门也用铁围栏制作也用铁围栏制作),请你来设计请你来设计,如何搭建较合适如何搭建较合适(即自行车棚的长、宽各是多少即自行车棚的长、宽各是多少)？如果图书馆后墙如果图书馆后墙可利用长度为可利用长度为5m那么应如何搭建才合适那么应如
18、何搭建才合适?思考与探究思考与探究思考与探索思考与探索 如图如图:在矩形在矩形ABCD中中,AB=6cm,BC=12cm,点点P从从A点沿边点沿边AB向点向点B以以1cm/s的速度移动的速度移动;同时同时,点点Q从点从点B沿沿边边BC向向C以以2cm/s的速度移动的速度移动,问问:(1)几秒后几秒后PBQ的面积等于的面积等于8cm2?ABCDPQ(2)几秒后几秒后PQDQ?(3)PDQ的面积的面积能为能为8cm2吗吗?为什为什么么?123巩固练习巩固练习1、如图，有长为、如图，有长为12米的篱笆，一面利用墙（墙米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为的最大可用长度为a为为10米），围成米），围
19、成中间隔有一中间隔有一道篱笆道篱笆的长方形花圃。的长方形花圃。（1）如果要围成面积为）如果要围成面积为9平方米的花圃，平方米的花圃，AB的的长是多少米？长是多少米？（2）能围成面积比）能围成面积比9平方米更大的花圃吗？如果平方米更大的花圃吗？如果能，请求出最大面积，并说明围法；如果不能，能，请求出最大面积，并说明围法；如果不能，请说明理由。请说明理由。巩固练习巩固练习2、如图，矩形、如图，矩形ABCD中，中，AB=6cm，BC=3cm，动点，动点P、Q分别从点分别从点A、D出发，点出发，点P以以2cm/s的速度沿的速度沿AB方向向点方向向点B移动，一直移动，一直到达到达B为止；点为止；点Q以以
20、1cm/s的速度沿的速度沿DA方向向方向向点点A移动。如果移动。如果P、Q同时出发，用同时出发，用t(s)表示移表示移动的时间动的时间（0t3）那么，当为何值时那么，当为何值时QAP的的面积等于面积等于2cm2？ABCDQP初中数学九年级上册初中数学九年级上册初中数学九年级上册初中数学九年级上册（苏科版）（苏科版）（苏科版）（苏科版）4.3用一元二次方程解决问题用一元二次方程解决问题(4)问题1：某商场销售一批衬衫，平均每天可售出勤20件每件盈利40元为了扩大销售，增加盈利，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，在一定范围内，衬衫的单价每降1元，商场平均每天可多售出2件。如果商场通过销售这批
21、衬衫每天要盈利1200元，衬衫的单价应降多少元？分析：如果设衬衫的单价降x元那么商场平均每天可多售出2 x件。根据相等关系：售出的衬衫件数每件衬衫的盈利=1200，可以列出方程求解解：设衬衫的单价降x元。根据题意得（20+2 x）（40-x）=1200整理得X2-30X+200=0解这个方程得X1=20，X2=10答；衬衫的单价降10元或降20元小试牛刀1、某种服装，平均每天可销售20件，每件盈利44元;若每件降价1元，则每天可多售5件。如果每天要盈利1600元，每件应降价多少元？2、某商场礼品柜台购进大量贺年卡，一种贺年卡平均每天可销售500张，每张盈利0.3元。为了尽快减少库存，商场决定采
22、取适当的措施。调查发现，如果这种贺年卡的售价每降低0.1元，那么商场平均每天多售出300张。商场要想平均每天盈利160元，每张贺年卡应降价多少元？思考与探索如图：某海关缉私艇在C处发现正在向北方向30km的A处有一艘可疑船只，测得它正以60km/h的速度向正东方向航行，缉私艇随即以75km/h的速度在B处拦截，问缉私艇从C处到B处需航行多长时间？ACACBAC分析：由题意可知，ABC是直角三角形，设缉私艇从C处到B处需航行xh可得302+（60 x)2=(75x)2解得x1=2/3，x2=-2/3（舍去）练习如图所示，人民海关缉私巡逻艇在东海海域执行巡逻任务时，发现在其所处的位置O点的正北方向
23、10海里外的A点有一涉嫌走私船只正以24海里/时的速度向正东方向航行，为迅速实施检查，巡逻艇调整好航向，以26海里/时的速度追赶。在涉嫌船只不改变航向和航速的前提下，问需要几小时才能追上（点B为追上时的位置）？归纳小结：1善于将实际问题转化为数学问题，严格审题，弄清各数据相互关系，正确布列方程培养学生用数学的意识以及渗透转化和方程的思想方法2在解方程时，注意巧算；注意方程两根的取舍问题 课堂测试1。百货大搂服装柜在销售中发现：“七彩”牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元.为了迎接“元旦”，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，减少库存减少库存.经市场调查发现：如果每件童装降价
24、1元，那么平均每天就可多售出2件.（1）要想平均每天销售这种童装上盈利1200元，那么每件童装应降价多少元？（2）用配方法说明：要想盈利最多，每件童装应降价多少元？2一个小球以一个小球以5m/s的速度在平坦地面上开始滚动，并且均匀减的速度在平坦地面上开始滚动，并且均匀减速，滚动速，滚动10m后小球停下来（后小球停下来（1）小球滚动了多少时间）小球滚动了多少时间?（2）平均每秒小球的运动速度减少多少平均每秒小球的运动速度减少多少?（3）小球滚动到）小球滚动到5m时约用时约用了多少时间（精确到了多少时间（精确到0.1s）?解解:（1）小球滚动的平均速度）小球滚动的平均速度=(5+0)2=2.5（m/s）小球滚动的时间：小球滚动的时间：102.5=4（s）(2)平均每秒小球的运动速度减少为平均每秒小球的运动速度减少为(50)2.5=2（m/s）（3）设小球滚动到）设小球滚动到5m时约用了时约用了xs，这时速度为（，这时速度为（5-2x）m/s,则这则这段路程内的平均速度为段路程内的平均速度为5+(5-2x)2=（5-x）m/s,所以所以x（5-x）=5 整理得：整理得：x2-5x+5=0 解这个方程得解这个方程得x13.6（不合，舍去），（不合，舍去），x21.4（s）答：刹车后汽车行驶到答：刹车后汽车行驶到5m时约用时约用1.4s