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1、第三章第三章水文统计基本原理与方法水文统计基本原理与方法第一节第一节概述概述1、水文现象的两重性水文现象的两重性:必然性，必然性，偶然性偶然性偶然现象也称随机现象；偶然现象仍偶然现象也称随机现象；偶然现象仍然是有规律的，一般称为统计规律然是有规律的，一般称为统计规律n n2、水文统计的任务、水文统计的任务:研究和分析水文随机现象的统计变化研究和分析水文随机现象的统计变化特性特性n n3、水文统计的基本方法和内容、水文统计的基本方法和内容:(1)1)根据已有的资料（样本），进行频率计算，根据已有的资料（样本），进行频率计算，根据已有的资料（样本），进行频率计算，根据已有的资料（样本），进行频率计
2、算，推求指定频率的水文特征值；推求指定频率的水文特征值；推求指定频率的水文特征值；推求指定频率的水文特征值；(2)(2)研究水文现象之间的统计关系，应用这种研究水文现象之间的统计关系，应用这种研究水文现象之间的统计关系，应用这种研究水文现象之间的统计关系，应用这种关系关系关系关系延长、插补水文特征值和作水文预报延长、插补水文特征值和作水文预报延长、插补水文特征值和作水文预报延长、插补水文特征值和作水文预报；(3)(3)根据误差理论，根据误差理论，根据误差理论，根据误差理论，估计估计估计估计水文计算中的随机水文计算中的随机水文计算中的随机水文计算中的随机误误误误差差差差范围。范围。范围。范围。第
3、二节第二节概率与频率概率与频率n n事件:对随机现象的观测叫做随机试验对随机现象的观测叫做随机试验,随机试随机试验的结果称为事件。事件可以分为必然事件、不验的结果称为事件。事件可以分为必然事件、不可能事件和随机事件三种可能事件和随机事件三种.k 有利于随机事件A的结果数；n 在试验中所有可能出现的结果。l概率:n n频率（统计概率）事件A在n次试验中出现了k次为事件A在n次试验中出现的频率。频率与频率之频率与频率之间的关系间的关系例例 （1 1）抛）抛硬币，（硬币，（2 2）抽奖）抽奖n n随机变量随机变量随机事件的随机事件的试验结果试验结果可用一个数可用一个数X X来表示，来表示，X X随随
4、试验结果的不同而取得不同的数值，它是带有随试验结果的不同而取得不同的数值，它是带有随机性的，则将这种随机试验结果机性的，则将这种随机试验结果X X称为随机变量称为随机变量 分为：分为：离散型随机变量离散型随机变量和连续型随机变量和连续型随机变量 n n随机变量表示：随机变量表示：用大写字母用大写字母X X表示表示 可能的取值：可能的取值：x1x1，x2x2，xnxn：叫系列：叫系列 离散型随机变量离散型随机变量的概率分布一般以分布列的概率分布一般以分布列表示，如表表示，如表X Xx1x1x2x2xixiP(X=P(X=xi)xi)p1p1p2p2pipi 连续型随机变量连续型随机变量的概率分布
5、用函数表示的概率分布用函数表示：无法研究个别值的概率，无法研究个别值的概率，只能研究某个区间的概率只能研究某个区间的概率，或是研究事件或是研究事件Xx的概率的概率，以及事件，以及事件Xx的的概率，后概率，后面二者可以相互转换，水文统计中常用面二者可以相互转换，水文统计中常用Xx的概率及的概率及其分布。其分布。F(x)=P(Xx)称为随机变量称为随机变量x的分布函数的分布函数分布密度分布密度 分布函数分布函数 可以近似的用累积频率代替概率可以近似的用累积频率代替概率可以近似的用累积频率代替概率可以近似的用累积频率代替概率频率密度频率密度累积频率曲线累积频率曲线第三节第三节统计参数统计参数均值均值
6、均方差均方差变差系数变差系数偏态系数偏态系数均值均值均方差：均方差：均方差是反映系列中各变量集中或离散的程度均方差是反映系列中各变量集中或离散的程度变差系数变差系数系列的相对离散程度系列的相对离散程度偏态系数偏态系数衡量系列不对称程度的参数衡量系列不对称程度的参数CS0，正偏；，正偏；CS0，负负偏；偏；Cs=0，对对称系列，正称系列，正态态分布分布正态分布正态分布频数表资料所绘频数表资料所绘制的直方图制的直方图直方图顶端的连线就会逐渐形成一条直方图顶端的连线就会逐渐形成一条高峰位于中央高峰位于中央（均数所在处），两侧（均数所在处），两侧逐渐降低且逐渐降低且左右对称左右对称，不与横轴相交，不与
7、横轴相交的光滑曲线图（的光滑曲线图（3）。这条曲线称为频）。这条曲线称为频数曲线或频率曲线数曲线或频率曲线，近似于数学上的，近似于数学上的正态分布（正态分布（normaldistribution）。）。密度函数分布曲线正态概率密正态概率密度函数为度函数为记作：记作：N(，2)。若已知的密度函数（频率曲线）为正态函数（曲线）则称已知若已知的密度函数（频率曲线）为正态函数（曲线）则称已知曲线服从正态分布，记号曲线服从正态分布，记号。其中。其中、2是两个不确定常数，是两个不确定常数，是正态分布的参数，不同的是正态分布的参数，不同的、不同的、不同的2对应不同的正态分布。对应不同的正态分布。正态分布的特
8、征正态分布的特征n n服从正态分布的变量的频数分布由服从正态分布的变量的频数分布由服从正态分布的变量的频数分布由服从正态分布的变量的频数分布由、完全决定。完全决定。完全决定。完全决定。n n(1)(1)是正态分布的位置参数，是正态分布的位置参数，是正态分布的位置参数，是正态分布的位置参数，描述正态分布的集中描述正态分布的集中描述正态分布的集中描述正态分布的集中趋势位置趋势位置趋势位置趋势位置。正态分布以。正态分布以。正态分布以。正态分布以X=X=为对称轴，左右完全对称。为对称轴，左右完全对称。为对称轴，左右完全对称。为对称轴，左右完全对称。正态分布的均数、中位数、众数相同，均等于正态分布的均数
9、、中位数、众数相同，均等于正态分布的均数、中位数、众数相同，均等于正态分布的均数、中位数、众数相同，均等于。n n(2)2)描述正态分布资料数据分布的离散程度描述正态分布资料数据分布的离散程度描述正态分布资料数据分布的离散程度描述正态分布资料数据分布的离散程度，越越越越大，数据分布越分散，大，数据分布越分散，大，数据分布越分散，大，数据分布越分散，越小，数据分布越集中。越小，数据分布越集中。越小，数据分布越集中。越小，数据分布越集中。也称也称也称也称为是正态分布的形状参数，为是正态分布的形状参数，为是正态分布的形状参数，为是正态分布的形状参数，越大，曲线越扁平，反之，越大，曲线越扁平，反之，越
10、大，曲线越扁平，反之，越大，曲线越扁平，反之，越小，曲线越瘦高。越小，曲线越瘦高。越小，曲线越瘦高。越小，曲线越瘦高。正态曲线呈钟型，两头低，中间高，左右对称，曲线正态曲线呈钟型，两头低，中间高，左右对称，曲线与横轴间的面积总等于与横轴间的面积总等于1。正态分布的应用正态分布的应用n n抽样误差的分布n n人体身高分布n n学生成绩分布n n是其他分布函数的基础：t分布，F分布，误差函数，余误差函数第四节第四节频率与重现期频率与重现期n n频率曲线绘制后，就可在频率曲线上求出频率曲线绘制后，就可在频率曲线上求出指定频率指定频率p的设计值的设计值xp。由于。由于频率频率较为较为抽象，水文上常用抽
11、象，水文上常用重现期重现期来代替来代替频率频率。所谓重现期是指某随机变量的取值在长时所谓重现期是指某随机变量的取值在长时期内平均多少年出现一次，又称多少年一期内平均多少年出现一次，又称多少年一遇。遇。I)研究洪峰流量、洪水位、暴雨等最大值问题时研究洪峰流量、洪水位、暴雨等最大值问题时例如，某洪峰流量例如，某洪峰流量Qi的频率为的频率为P(QQi)=l,那么此那么此洪峰流量的重现期为洪峰流量的重现期为100年，则称为平均年，则称为平均100年出现一年出现一次大干或等于该洪峰流量次大干或等于该洪峰流量Qi的事件的事件.或称为百年一遇或称为百年一遇。思考题n n百年一遇洪水，是指百年一遇洪水，是指
12、_。a a、大于等于这样的洪水每隔、大于等于这样的洪水每隔100100年必然会出年必然会出现一次；现一次；b b、大于等于这样的洪水平均、大于等于这样的洪水平均100100年可能出年可能出现一次；现一次；c c、小于等于这样的洪水正好每隔、小于等于这样的洪水正好每隔100100年出现年出现一次；一次；d d、小于等于这样的洪水平均、小于等于这样的洪水平均100100年可能出年可能出现一次；现一次；n n2)研究枯水流量、枯水位等最小值问题时，研究枯水流量、枯水位等最小值问题时，为了保证灌溉、发电、给水等用水需要，为了保证灌溉、发电、给水等用水需要，一般设计频率一般设计频率P50例如，某枯水位例
13、如，某枯水位Hi的频率为的频率为P(HHi)=95那那么此枯水位的重现期么此枯水位的重现期T=20年，则称平均年，则称平均20年中有年中有一年的水位低于枯水位一年的水位低于枯水位Hi或称为或称为20年一遇。年一遇。例：某桥位处测得例：某桥位处测得例：某桥位处测得例：某桥位处测得4040年最高水位资料，如表，求水年最高水位资料，如表，求水年最高水位资料，如表，求水年最高水位资料，如表，求水位位位位H25mH25m的累积频率。（的累积频率。（的累积频率。（的累积频率。（按照频率分段的定义思想，按照频率分段的定义思想，按照频率分段的定义思想，按照频率分段的定义思想，见书见书见书见书4747）解：当水
14、位解：当水位解：当水位解：当水位H H25m25m时，时，时，时，W=25%W=25%P=25+5=30%P=25+5=30%表明：若水位为表明：若水位为表明：若水位为表明：若水位为25m25m时对桥梁会有威胁，则高于时对桥梁会有威胁，则高于时对桥梁会有威胁，则高于时对桥梁会有威胁，则高于25m25m的水的水的水的水位对桥梁都会有威胁，其发生的可能性应为位对桥梁都会有威胁，其发生的可能性应为位对桥梁都会有威胁，其发生的可能性应为位对桥梁都会有威胁，其发生的可能性应为P=30P=30。计算 H=25的频率？经验频率曲线经验频率曲线n n由实测资料绘制而成的,它是水文频率计算的基础,具有一定的实用
15、性步骤：步骤：具体实例在后边适线法再讲具体实例在后边适线法再讲（1）按从大到小的顺序排列）按从大到小的顺序排列（2）用经验频率公式计算系列中各项的频率）用经验频率公式计算系列中各项的频率（3）以水文变量）以水文变量x为纵坐标，以经验频率为纵坐标，以经验频率为横为横坐标，点绘经验频率点据，根据点群趋势绘出坐标，点绘经验频率点据，根据点群趋势绘出一条平滑的曲线，称为经验频率曲线一条平滑的曲线，称为经验频率曲线（4）在曲线上求得指定频率）在曲线上求得指定频率P的水文变量值的水文变量值xi经验频率曲线经验频率曲线n n海森概率格纸在概率格纸上绘制则有利于可适当外延在概率格纸上绘制则有利于可适当外延曲线
16、。曲线。第五节第五节理论频率曲线理论频率曲线n n 经验频率曲线计算经验频率曲线计算经验频率曲线计算经验频率曲线计算工作量小工作量小工作量小工作量小，绘制简单绘制简单绘制简单绘制简单，查用查用查用查用方便方便方便方便，但受实测资料所限，但受实测资料所限，但受实测资料所限，但受实测资料所限,往往往往往往往往难以满足难以满足难以满足难以满足设计设计设计设计上的需要。上的需要。上的需要。上的需要。徒手对曲线两端外延是一种方法，但徒手对曲线两端外延是一种方法，但徒手对曲线两端外延是一种方法，但徒手对曲线两端外延是一种方法，但随意性随意性随意性随意性很大很大很大很大 经验频率曲线存在的问题经验频率曲线存
17、在的问题：数理统计中，常选择比较符合水文现象频率分布数理统计中，常选择比较符合水文现象频率分布规律的密度函数规律的密度函数f(x)，借以求解累积频率曲线，借以求解累积频率曲线，称为称为理论频率曲线理论频率曲线皮尔逊皮尔逊III型曲线型曲线对数皮尔逊对数皮尔逊III型曲线型曲线耿贝尔型曲线耿贝尔型曲线克里茨基一闵凯里曲线克里茨基一闵凯里曲线水文频率分布线型水文频率分布线型皮尔逊皮尔逊型曲线型曲线n n是一条一端有限一端无限的不对称单峰、是一条一端有限一端无限的不对称单峰、正偏曲线（见图正偏曲线（见图4-4-3），数学上常称伽玛），数学上常称伽玛分布，其概率密度函数为分布，其概率密度函数为:皮尔逊
18、皮尔逊型曲线型曲线频率分布频率分布图中参数的含义是什么？图中参数的含义是什么？y0：众数对应的密度；：众数对应的密度；a0:系列起点到原点之距离；系列起点到原点之距离；a:系列起点到众数的距离；系列起点到众数的距离；d：均值到众数的距离；：均值到众数的距离；变量变量x的平均值的平均值变量变量x的众数的众数皮尔逊皮尔逊型曲线型曲线值为离均系数值为离均系数引入参数引入参数，PIII模型变为模型变为例例例例:设某水文站，设某水文站，设某水文站，设某水文站，求求求求此理论频率曲线及水文站附近某桥的设计洪峰流量此理论频率曲线及水文站附近某桥的设计洪峰流量此理论频率曲线及水文站附近某桥的设计洪峰流量此理论
19、频率曲线及水文站附近某桥的设计洪峰流量QQ1 1和和和和QQ5 5。解：按公式解：按公式解：按公式解：按公式3-313-31P=1，Cs1.5，查附录B：=3.33则Q p1000(1+0.5*3.33)=2665m3/sP=5，Cv0.5，Cs1.5 查表得 =1.95则Q p 1000(1+0.5*1.95)=1975m3/s P=5%P=5%时：时：第六节配线法（适线法）-参数估计n n1:矩法（采用公式算）：矩法（采用公式算）：CS误差较大误差较大n n2:经验法：经验法：CS-CV之间的经验关系之间的经验关系n n3：三点适线法三点适线法n n4：目估适线法目估适线法n n5：优化适
20、线法：优化适线法经验法经验法经验法经常与矩法相互结合使用经验法经常与矩法相互结合使用目估试线法（试错试线）：目估试线法（试错试线）：目估试线法（试错试线）：目估试线法（试错试线）：例题：某水文站有例题：某水文站有例题：某水文站有例题：某水文站有1945194519681968年共年共年共年共2424年实测最大流量资料，见表，年实测最大流量资料，见表，年实测最大流量资料，见表，年实测最大流量资料，见表，试用试错试线法求合适的理论频率曲线及设计流量试用试错试线法求合适的理论频率曲线及设计流量试用试错试线法求合适的理论频率曲线及设计流量试用试错试线法求合适的理论频率曲线及设计流量QQ1 1QQ2 2
21、 2 2、点绘经验频率曲线点绘经验频率曲线PiQi，或者Pi-Ki1 1、计算系列流量的经验频率计算系列流量的经验频率Pi采用假定的Cs值，适当调整均值和Cv值，使理论频率曲线与经验点据很好的符合3 3、求理论频率曲线的两个参数求理论频率曲线的两个参数均值均值1500m1500m3 3/s/s、CvCv=0.51=0.51，直接用公式算，直接用公式算 4 4、假定假定CsCs2Cv,2Cv,根据公式计算绘制根据公式计算绘制理论频率曲线理论频率曲线（红线）查表附录）查表附录B B5 5 5 5、反复调整、反复调整、反复调整、反复调整CsCsCsCs，CvCvCvCv，适线得出，适线得出，适线得出
22、，适线得出CvCvCvCv0.60.60.60.6，CsCsCsCs2.5Cv2.5Cv2.5Cv2.5Cv比比比比较适合，可以采用较适合，可以采用较适合，可以采用较适合，可以采用 6 6、计算设计流量：计算设计流量：三点适线法三点适线法三点适线法三点适线法若取三点在同一曲线上，则应符合联立方程：若取三点在同一曲线上，则应符合联立方程：若取三点在同一曲线上，则应符合联立方程：若取三点在同一曲线上，则应符合联立方程：解得：解得：通过目估法汇出与经验频率曲线点分布配合较好的理通过目估法汇出与经验频率曲线点分布配合较好的理论曲线，从曲线上选择三点，并据此以选定理论频率论曲线，从曲线上选择三点，并据此
23、以选定理论频率曲线上三个参数曲线上三个参数S-CsS-Cs关系可查附表关系可查附表C C：杨维杨维 水文学与水文水文学与水文地质学地质学 P368P368S 偏度系数，与偏度系数，与Cs有关系有关系三点适线法的步骤：n n（1 1）同目估适线法）同目估适线法n n（2 2）过经验频率点群，目估一条最佳配合线，在线上）过经验频率点群，目估一条最佳配合线，在线上选三点选三点 P=5%P=5%，50%50%，95%95%，从线上查处对应的，从线上查处对应的Q5%Q5%，Q50%Q50%，Q95%Q95%n n（3 3）计算）计算S S值（见上一页公式）值（见上一页公式）n n(4)(4)查表附录查表
24、附录C C，求出，求出CsCs值值n n（5 5）再查附录）再查附录B B，求，求P=5%P=5%，50%50%，95%95%，对应的，对应的5%5%，50%50%9 95%5%n n（6 6）计算）计算值，值，CvCv值（见上一页公式）值（见上一页公式）n n（7 7）利用已经求得的）利用已经求得的CsCs，查表附录，查表附录B B，得到一系列的，得到一系列的值与频率值与频率P P值值,通过通过值和值和CvCv、Q Q的均值求出的均值求出 一系列一系列Q Qn n(8)(8)利用利用 Q Q和频率和频率P P值值 绘制曲线绘制曲线 ，并适当调整，并适当调整CsCs，CvCv值值 第七节相关分
25、析欲求函数误差误差平方和/离差平方和通过求离差平方和达到最小来求取参数通过求离差平方和达到最小来求取参数a、b回归方程的误差，用标准误差Sy（均方误）表示 n：自由度n n：说明了什么？：说明了什么？式中式中均方均方差：差：均方误Sy与随机变量的均方差的关系 Sy：据实测点据yi与回归线上值y之间离差平方和求得 统计参数，依据yi与yi系列均值的离差平方和求得 n n相关系数相关系数r:r:是定量表示两种变量之间的密切程是定量表示两种变量之间的密切程度度 r r2 2=1:=1:变量之间为函数关系变量之间为函数关系 r r2 2=0:=0:零相关零相关 1r1r2 200：相关相关r0r0r0
26、：正相关正相关 相关系数相关系数r多大才算合适？多大才算合适？相关系数的显著性检验相关系数的显著性检验n n相关系数相关系数相关系数相关系数r r多大才能满足要求，取决于样本容多大才能满足要求，取决于样本容多大才能满足要求，取决于样本容多大才能满足要求，取决于样本容量和精度要求。用相关系数临界值来衡量。量和精度要求。用相关系数临界值来衡量。量和精度要求。用相关系数临界值来衡量。量和精度要求。用相关系数临界值来衡量。a a：显著水平，认为方程有意义时，错误判断可能发显著水平，认为方程有意义时，错误判断可能发生的概率，生的概率，a a：越小，说明要求越高：越小，说明要求越高r ra a：临界相关系
27、数：临界相关系数n n：自由度：自由度练习查表p74相关分析注意点相关分析注意点n n1)1)防止伪相关。防止伪相关。防止伪相关。防止伪相关。n n2)2)同期观测资料不能太少，一般要求同期观测资料不能太少，一般要求同期观测资料不能太少，一般要求同期观测资料不能太少，一般要求n12n12，以减少，以减少，以减少，以减少抽样误差和提高结果的可信度。抽样误差和提高结果的可信度。抽样误差和提高结果的可信度。抽样误差和提高结果的可信度。n n3)3)一般要求相关系数一般要求相关系数一般要求相关系数一般要求相关系数0.80.8，且，且，且，且SySy(10(10-15-15)。n n4)4)对所建立的回
28、归方程作显著性检验，水文统计分对所建立的回归方程作显著性检验，水文统计分对所建立的回归方程作显著性检验，水文统计分对所建立的回归方程作显著性检验，水文统计分析中通常取显著性水平析中通常取显著性水平析中通常取显著性水平析中通常取显著性水平a a0.050.05或或或或0.01;0.01;n n5)5)回归分析中，短系列为倚变量（回归分析中，短系列为倚变量（回归分析中，短系列为倚变量（回归分析中，短系列为倚变量（Y Y），长系列为自），长系列为自），长系列为自），长系列为自变量；变量；变量；变量；n n6)6)外延回归线时，要注意考证。外延回归线时，要注意考证。外延回归线时，要注意考证。外延回归线时，要注意考证。