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1、第第8 8章章 电电 势势Electric Potential本章主要内容本章主要内容8-18-18-18-1 静静电场的保守性电场的保守性8-28-28-28-2 电势和电势电势和电势差差8-38-38-38-3 电势叠加原理电势叠加原理8-48-48-48-4 电势梯度电势梯度8-58-58-58-5 电荷在外电场中电荷在外电场中静电势能静电势能8-8-8-8-7 7 7 7 静电场的能量静电场的能量第第8 8章章 电电 势势电势是静电场中的重要物理量。通过研究静电场力对电荷电势是静电场中的重要物理量。通过研究静电场力对电荷做功，发现静电场力是保守力。做功，发现静电场力是保守力。由于静电场
2、力是保守力，可以引入电势和电势能。由于静电场力是保守力，可以引入电势和电势能。和电场强度一样，电势也是描述静电场分布规律的，它本和电场强度一样，电势也是描述静电场分布规律的，它本身也是空间分布函数。身也是空间分布函数。第三章 电势8-1 8-1 静电场的保守性静电场的保守性Conservative Property of Electrostatic Field 做功与路径无关（或沿闭合路径一周做功为零）的力，称为做功与路径无关（或沿闭合路径一周做功为零）的力，称为保守力保守力（如引力、弹性力）（如引力、弹性力）。静电场力是不是保守力？。静电场力是不是保守力？静电场力对检验电荷做功为静电场力对检
3、验电荷做功为考虑对单位正检验电荷做功：考虑对单位正检验电荷做功：场强对路径的线积分场强对路径的线积分场强对路径的线积分场强对路径的线积分 先考虑点电荷产生的场：先考虑点电荷产生的场：积分结果与路径无关！积分结果与路径无关！3-1 静电场的保守性 再考虑任意带电体（点电荷系）产生的场：再考虑任意带电体（点电荷系）产生的场：由场强叠加原理，有由场强叠加原理，有 求和中每一项代表对应点电荷单独存在时产生的场的从求和中每一项代表对应点电荷单独存在时产生的场的从 P1 到到 P2 的线积分的线积分与积分路径无关。因此总场的积分也与与积分路径无关。因此总场的积分也与路径无关。路径无关。结论结论结论结论：静
4、电场力对电荷所做的功静电场力对电荷所做的功 与路径无关。即静与路径无关。即静电场力是保守力，或称静电场为电场力是保守力，或称静电场为保守场保守场保守场保守场。conservation field 换言之：换言之：电荷沿任意闭合路径运动一周，静电场力所做电荷沿任意闭合路径运动一周，静电场力所做的功为零。的功为零。静电场环路定理静电场环路定理静电场环路定理静电场环路定理：静电场的静电场的场强沿任意闭合路径积分等于零。场强沿任意闭合路径积分等于零。或表示为：或表示为：静电场的电场线不可能闭合静电场的电场线不可能闭合3-1 静电场的保守性8-2 8-2 电势和电势差电势和电势差Electric Pot
5、ential and Potential Difference 因为电势是通过它的改变量来引入的，所以它具有零点的因为电势是通过它的改变量来引入的，所以它具有零点的相对性。通常需选定某参考点相对性。通常需选定某参考点 P0 为为电势零点电势零点电势零点电势零点，则任意，则任意点点 P 处的处的电势为电势为 由于由于 与积分路径无关（只决定于起点与积分路径无关（只决定于起点 P1 和终点和终点 P2 的位置），积分结果必定可以表示为某空间函数的位置），积分结果必定可以表示为某空间函数 j的改变量：的改变量：定义定义 j为为电势电势电势电势，即从，即从 P1 到到 P2 沿任意路径场强的线积分等于
6、沿任意路径场强的线积分等于电势的负增量电势的负增量。j1 -j2 U12 为为 P1 与与 P2 两点间的两点间的电势差电势差电势差电势差。电势和电势差电势和电势差原则上，电势零点可以任意选取，但应视问题的方便而定。原则上，电势零点可以任意选取，但应视问题的方便而定。3-2 电势和电势差 通常电荷在有限区域时，将通常电荷在有限区域时，将无限远点无限远点选为电势零点，此时任选为电势零点，此时任一点一点 P(x,y,z)的的电势为电势为说明说明：电势是空间坐标的函数：电势是空间坐标的函数：，如已知静电场，如已知静电场的场强分布，可以求出电势分布的场强分布，可以求出电势分布势函数。势函数。与场强不同
7、，电势是标量。与场强不同，电势是标量。矢量场和标量场矢量场和标量场 电势差与电场对检验电荷做功的关系：电势差与电场对检验电荷做功的关系：A12=q0U12=q0(j1-j2)点电荷的电势为点电荷的电势为 j()=0 3-2 电势和电势差8-3 8-3 电势叠加原理电势叠加原理Superposition Principle of Electric Potential每一每一 ji 必须有共同的电势零点必须有共同的电势零点 方法方法2 2 利利用电势叠加原理：把电荷系统分解为点电荷系，用电势叠加原理：把电荷系统分解为点电荷系，再把各点电荷的电势叠加，即对点电荷系和连续带电体分别有再把各点电荷的电势
8、叠加，即对点电荷系和连续带电体分别有利用场强叠加原理可以导出：利用场强叠加原理可以导出：电势叠加原理电势叠加原理电势叠加原理电势叠加原理：在由电荷系产生的电场中，任一点的电势在由电荷系产生的电场中，任一点的电势等于各个带电体单独存在时在该点所产生电势的代数和。等于各个带电体单独存在时在该点所产生电势的代数和。电势的计算电势的计算 电势叠加原理电势叠加原理 方法方法1 1 利用电势的定义式：利用电势的定义式：，已知场强分，已知场强分布，选方便的路径积分；布，选方便的路径积分；和和3-3 电势叠加原理和电势的计算 例例1 1 求（求（1 1）均匀带电球面；（）均匀带电球面；（2 2）均匀带电球体，
9、产生场的电势分布。）均匀带电球体，产生场的电势分布。设总电量均为设总电量均为 q，球的半径为球的半径为 R 。解：（解：（1 1）均匀带电球面，由）均匀带电球面，由Guass 定理求得：定理求得：（2 2）均匀带电球体，由）均匀带电球体，由Guass 定理求得：定理求得：查看查看讨论讨论：在在 r=R 处：对于带电球面，体电荷密度处：对于带电球面，体电荷密度无限大，无限大，E 不连续，不连续，j 连续但不光滑；对连续但不光滑；对于带电球体，体电荷密度有限，于带电球体，体电荷密度有限，E 连续，连续，j 连续且光滑。这一特性是普遍连续且光滑。这一特性是普遍的，因为的，因为 j 是是 E 的一次积
10、分。的一次积分。r R 处（球外区域）的场强处（球外区域）的场强和电势，都相当于电荷集中于中心的点和电势，都相当于电荷集中于中心的点电荷所产生的场和势。这是球对称电荷电荷所产生的场和势。这是球对称电荷的共性。的共性。（2 2）小题可以借助（）小题可以借助（1 1）小题的结果，利用电势叠加原理求解：带电）小题的结果，利用电势叠加原理求解：带电球体视为一系列大小依次变化的薄带电球壳组成，设体电荷密度为球体视为一系列大小依次变化的薄带电球壳组成，设体电荷密度为 r=3q/4pR3，r r+dr 球壳的电荷为球壳的电荷为 dq=r4pr2dr，对总的电势对总的电势贡献为贡献为 解解 令令无无限限长长直
11、直线线如如图图放放置置，其其上上电电荷荷线线密密度度为为。计计算算在在x轴轴上距直线为的任一点上距直线为的任一点P处的电势。处的电势。yrOPP1xr1 因为无限长带电直因为无限长带电直线的电荷分布延伸线的电荷分布延伸到无限远的，所以到无限远的，所以在这种情况下不能在这种情况下不能用连续分布电荷的用连续分布电荷的电势公式来计算电电势公式来计算电势势V，否则必得出否则必得出无限大的结果，显无限大的结果，显然是没有意义的。然是没有意义的。例例2 计算无限长均匀带电直线电场的电势分布。计算无限长均匀带电直线电场的电势分布。为了能求得为了能求得P点的电势，可先应用电势差和场强的关系式，点的电势，可先应
12、用电势差和场强的关系式，求出在轴上求出在轴上P点点P1和点的电势差。无限长均匀带电直线在和点的电势差。无限长均匀带电直线在x轴轴上的场强为上的场强为于是，过于是，过P点沿点沿x轴积分可算得轴积分可算得P点与参考点点与参考点P1的电势差的电势差 由由于于ln1=0，所所以以本本题题中中若若选选离离直直线线为为r1=1 m处处作作为为电电势势零零点，则很方便地可得点，则很方便地可得P点点的电势为的电势为 例例3 3 求电偶极子周围的电势分布。求电偶极子周围的电势分布。（p.69，例例3.33.3）解：正、负点电荷在解：正、负点电荷在 P 点单独产生的电势为点单独产生的电势为 例例4 4 求总电量为
13、求总电量为 q，半径为半径为 R，均匀带电的细均匀带电的细圆环，在其轴线上任一点的电势。圆环，在其轴线上任一点的电势。（p.70，例例3.43.4）解：用方法解：用方法1 1求解求解（方法（方法2 2解法见教材）解法见教材）。已知轴。已知轴线上场强为线上场强为选取积分路径为从选取积分路径为从 P 沿沿 x 轴到无限远轴到无限远例例5 均匀带电球体。求：均匀带电球体。求：1)球体外两点的电势差；球体外两点的电势差；2)球体内两点球体内两点的电势差；的电势差；3)球体外任意点的电势；球体外任意点的电势；4)球体内任意点的电势。球体内任意点的电势。解：解：1)2）3）4)球表面球表面，令，令球心处电
14、势：球心处电势：Gradient of Electric Potential8-4 8-4 电势梯度电势梯度 等势面等势面等势面等势面电势相等的点所组成的曲面。电势相等的点所组成的曲面。1.1.等势面等势面引入等势面也是为了形象地描述静电场的电势分布。引入等势面也是为了形象地描述静电场的电势分布。等势面与电场线的关系：等势面与电场线的关系：等势面与电场线处处正交；等势面与电场线处处正交；等势面密的地方，场强数值大；反之，场强小。等势面密的地方，场强数值大；反之，场强小。(a)孤立点电荷孤立点电荷 (b)一对等量异号点电荷一对等量异号点电荷 实例：实例：虚线虚线等势面等势面实线实线电场线电场线3
15、-4 电势梯度平行板电容器的电场线与等势面平行板电容器的电场线与等势面+2.2.电势梯度及其与场强的关系电势梯度及其与场强的关系取极限得取极限得方向导数方向导数：微分微分保守力保守力保守场保守场势势 能能势势积分积分结论结论结论结论：电场强：电场强度等于相联系的电度等于相联系的电势的梯度的负值：势的梯度的负值：3-4 电势梯度 例例1 1 利用均匀带电圆环轴线上的电势公式利用均匀带电圆环轴线上的电势公式求这个圆环轴线上的场强。求这个圆环轴线上的场强。（p.75，例例3.63.6）解：由对称性可以判断解：由对称性可以判断 P 点场强的沿点场强的沿 x 方向。方向。注注：用电势梯度求场强，必须已知
16、势分布函数：用电势梯度求场强，必须已知势分布函数 j(x,y,z)，如果已知在某如果已知在某个方向上的分布函数个方向上的分布函数 j(x,y0,z0)，则可以求出该方向的场强分量。则可以求出该方向的场强分量。8-5 8-5 电荷在外电场中的电荷在外电场中的 静电势能静电势能Electrostatic Potential Energy1.1.点电荷在已知场中的静电势能点电荷在已知场中的静电势能 引入引入静电势能静电势能静电势能静电势能WW（简称简称电势能电势能电势能电势能）：）：即电势能为即电势能为 其中其中 P0 为为势能零点。势能零点。保守力的功等于保守力的功等于势能负增势能负增 量量 电势
17、是属于静电场电势是属于静电场 的，而电势能属于已知电场的，而电势能属于已知电场 和点电和点电荷荷 q0 所共有。电势所共有。电势的物理意义可以理解为：静电场中单位正电的物理意义可以理解为：静电场中单位正电荷所具有的电势能，即荷所具有的电势能，即 j=W/q0。与路径无关（保守场），静电场力对电荷与路径无关（保守场），静电场力对电荷 q0 所做所做的功的功也与路径无关（保守力）。也与路径无关（保守力）。3-5 静电势能解：由于解：由于+q 和和-q 分别位于分别位于 A、B 两等势两等势面上，则面上，则 例例 求电偶极子（求电偶极子（）在均匀电场在均匀电场 中的电势能。中的电势能。（p.77，例
18、例3.83.8）2.2.电荷系的静电能电荷系的静电能先移先移 q2 再移再移 q1 的结果是：的结果是：将各个电荷从无穷远移到彼此邻近的位置而形成电荷系，将各个电荷从无穷远移到彼此邻近的位置而形成电荷系，外力克服静电场力所做的功，称为这个电荷系的外力克服静电场力所做的功，称为这个电荷系的静电相互作静电相互作静电相互作静电相互作用能用能用能用能，简称，简称静电能静电能静电能静电能或或互能互能互能互能。考虑两个点电荷系统：考虑两个点电荷系统：q1 和和 q2。移动电荷移动电荷 q1 时，无静电力时，无静电力作用，但作用，但 q1 就位后，在把就位后，在把 q2 移到距移到距 q1 距离为距离为 r
19、 处的过程中，会处的过程中，会受到受到 q1 产生电场的作用，克服此作用力外力需做功：产生电场的作用，克服此作用力外力需做功：于是，相互作用能表示为于是，相互作用能表示为q1 在在 q2 处产处产生的电势生的电势3-5 静电势能 如果是三个点电荷系统：如果是三个点电荷系统：q1,q2 和和 q3。q1 就位后，把就位后，把 q2 移移到距到距 q1 距离为距离为 r12 处需做功处需做功 A2=W12，把把 q3 移到距移到距 q1 距离为距离为 r13、距距 q2 距离为距离为 r23 处的位置时，需要做功：处的位置时，需要做功：对任意个点电荷系统总静电能为对任意个点电荷系统总静电能为除除q
20、i 外其外其他所有电他所有电荷在荷在 qi 位位置上所产置上所产生的电势生的电势3-5 静电势能Q dq Q 对连续分布的带电体，分割它为诸多对连续分布的带电体，分割它为诸多 dq，对任意一个对任意一个 dq 而言，其他所有部分电荷在而言，其他所有部分电荷在 dq 处产生的电势为处产生的电势为 j，则，则静电能为静电能为 一个均匀带电球面一个均匀带电球面(半径为半径为 R，总电量为总电量为 Q)的静电能为的静电能为 一对相距一对相距 l 等量异号电荷对等量异号电荷对 q 的的静电能为静电能为3-5 静电势能8-7 8-7 静电场的能量静电场的能量Electrostatic Potential Energy1.两个物理量两个物理量2.两个基本性质方程两个基本性质方程3.两个计算思路两个计算思路真空中静电场小结（真空中静电场小结（两两歌两两歌）叠加叠加与与高斯高斯4.强调两句话强调两句话 注重典型场注重典型场 注重叠加原理注重叠加原理 无限长柱面？无限长柱面？第第1章结束章结束本章结束本章结束The End of This Chapter