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1、例例1已知高斯面上的场强处处为零，能否断定高斯面内已知高斯面上的场强处处为零，能否断定高斯面内无电荷？无电荷？解：不能断定。解：不能断定。由高斯定理：由高斯定理：即高斯面内可能有电荷，但其代数和为零。即高斯面内可能有电荷，但其代数和为零。静电场习题课静电场习题课例例2高斯面上高斯面上 处处不为零，能否断定高斯面内处处不为零，能否断定高斯面内有电荷？有电荷？答：高斯面上答：高斯面上 处处不为零，处处不为零，但可能有：但可能有：高斯面内高斯面内 可能无电荷，如图。可能无电荷，如图。例例3已知高斯面的电通量不为零，高斯面上的场强已知高斯面的电通量不为零，高斯面上的场强 是否一定处处不为零？是否一定处
2、处不为零？答：高斯面的电通量不为零，并不能保证每个微元的答：高斯面的电通量不为零，并不能保证每个微元的电通量不为零，所以不能保证高斯面上的场强处处为电通量不为零，所以不能保证高斯面上的场强处处为零。反例如图。零。反例如图。A点场强为零。点场强为零。例例4两个等量异号的点电荷两个等量异号的点电荷+q、-q 相距为相距为 d，求通过其中垂线上距求通过其中垂线上距中心中心 r 远处一点远处一点P 的场强。的场强。有人以两电荷的中点为圆心，有人以两电荷的中点为圆心，r 为半为半径作一高斯面，由：径作一高斯面，由：试指出其错误。试指出其错误。答：所选球面上场强的大小不处处相等，不能用：答：所选球面上场强
3、的大小不处处相等，不能用：例例5已知空间电场强度分布为已知空间电场强度分布为 求（求（1）通过图示立方体的电通量，）通过图示立方体的电通量，（2）该立方体内的总电荷是多少？）该立方体内的总电荷是多少？解：（解：（1）（2）例例6（题库）真空中有一半径为（题库）真空中有一半径为R的圆平面，在通过的圆平面，在通过圆心圆心O与平面垂直的轴线上一点与平面垂直的轴线上一点P处，有一电量为处，有一电量为 q 的的点电荷。点电荷。O、P间间距离为距离为h.试求通过该圆平面的电通量。试求通过该圆平面的电通量。解：以解：以P为球心，为球心，为半径作一球面，则通过半径为为半径作一球面，则通过半径为R的圆平面的电通
4、量与通过以它的圆平面的电通量与通过以它为周界的球冠的电通量相等。为周界的球冠的电通量相等。球冠的面积为球冠的面积为通过球冠的电通量为通过球冠的电通量为例例6真真空空中中有有高高2020，底底面面直直径径R R1010的的圆圆锥锥面面，在在OOOO的的中中点点置置一一点点电电荷荷，求求通通过过圆圆锥锥侧侧面面的的电电通通量。量。解：解：通过圆锥侧面的电通量通过圆锥侧面的电通量：其中其中1 1为通过圆锥底面的电通量为通过圆锥底面的电通量以所在点为球心，以以所在点为球心，以 为半径作一闭合球面包围。为半径作一闭合球面包围。OR通过该球面的电通量通过该球面的电通量：例例7某电场的电力线分布情况如图某电
5、场的电力线分布情况如图所示，一所示，一负电菏负电菏从从M点移到点移到 N点，下面点，下面那种说法是正确的？那种说法是正确的？（A）电场强度电场强度（B）电势电势（C）电势能电势能（D）电场力的功电场力的功例例8如图，一电荷线密度为如图，一电荷线密度为的无限长带电直线垂直的无限长带电直线垂直通过图面上的通过图面上的A点，一电量为点，一电量为Q的均匀带电球体，其球心的均匀带电球体，其球心处于处于O点，点，AOP是边长为的等边三角形。为了使场强是边长为的等边三角形。为了使场强方向垂直于方向垂直于OP，则，则和和Q Q的数量之间应满足何关系？的数量之间应满足何关系？解：解：由直角三角形关系可看出：由直
6、角三角形关系可看出：且且与与Q应为异号电荷应为异号电荷AE2EE1例例9一半径为一半径为R、长度为长度为L的均匀带电圆柱面，总电量的均匀带电圆柱面，总电量为为Q.试求端面处轴线上试求端面处轴线上P点的电场强度。点的电场强度。解：取坐标如图。解：取坐标如图。在坐标在坐标 x 处取宽为处取宽为 dx的的圆环，圆环，圆环上的电量为圆环上的电量为圆环在圆环在P处产生的场强为：处产生的场强为：总场强为总场强为方向沿方向沿X轴正向。轴正向。例例9（题库）一个细玻璃棒被弯成半径为（题库）一个细玻璃棒被弯成半径为R的半圆形，的半圆形，沿其上半部分均匀分布有电量沿其上半部分均匀分布有电量+Q,沿其下半部分均匀分
7、布沿其下半部分均匀分布有电量有电量-Q.试求圆心试求圆心O处的电场强度。处的电场强度。解：取如图所示的对称单元，解：取如图所示的对称单元，由对称性分析知，场强沿由对称性分析知，场强沿-Y方向。方向。方向沿方向沿Y轴负向。轴负向。解：解：取电荷元取电荷元例例9半径为半径为R的带电圆环，电荷线密度的带电圆环，电荷线密度求环中心的场强大小等于多少？求环中心的场强大小等于多少？由于左右半圆环电荷分布的对称性，合场强的分量抵消由于左右半圆环电荷分布的对称性，合场强的分量抵消OX其激发的元场强为：其激发的元场强为：例例10图示为两个同轴带电长金属圆筒，内、外筒半径图示为两个同轴带电长金属圆筒，内、外筒半径
8、分别为分别为R1和和R2，两筒间为空气，内、外电势分别为两筒间为空气，内、外电势分别为U12U0，U2U0，U0为一已知常量，求两金属圆筒之间的电为一已知常量，求两金属圆筒之间的电势分布。势分布。解：解：设金属圆筒内，相对的两面带有等量设金属圆筒内，相对的两面带有等量异号电荷，电荷线密度为异号电荷，电荷线密度为，R2R1 球内任一点与外筒壁间电势差为：球内任一点与外筒壁间电势差为：例例11一一“无限大无限大”平面，中部有一半径为平面，中部有一半径为R的园孔。的园孔。设平面上均匀带电，电荷面密度为设平面上均匀带电，电荷面密度为，求与平面垂直的求与平面垂直的轴上一点的场强；轴上一点的场强；若以若以
9、O点为零电势点为零电势，求点的电势。，求点的电势。解：用填补法解：用填补法点的场强可看成是点的场强可看成是“无限大无限大”均均匀带电（匀带电（）平面与均匀带电平面与均匀带电 （）圆盘产生的电场的迭加圆盘产生的电场的迭加XxOR注意符号变换注意符号变换！例例12如图所示，一根垂直纸面，带电线密度为如图所示，一根垂直纸面，带电线密度为的长的长直线，求直线，求ABAB两点间的电势差。两点间的电势差。解：解：B BA A60。例例1313中性金属球，半径为中性金属球，半径为R R，距球心为处放置一点距球心为处放置一点电荷，求金属球的电势。电荷，求金属球的电势。解：解：金属球表面上感应出等量异号电荷，金
10、属球的电金属球表面上感应出等量异号电荷，金属球的电势为球面上电荷与点电荷产生的电势的迭加，势为球面上电荷与点电荷产生的电势的迭加，导导体处于静电平衡时为一等势体，因而金属球球心体处于静电平衡时为一等势体，因而金属球球心的电势也就是金属球的电势的电势也就是金属球的电势。由于金属球表面的感应电荷在球心处的电势为零，由于金属球表面的感应电荷在球心处的电势为零，RO解：解：例例14正电荷均匀分布在半径为正电荷均匀分布在半径为R R的球形体积内，电荷体的球形体积内，电荷体密度为密度为,求球内点与球外点的电势差时，得出结果求球内点与球外点的电势差时，得出结果试分析这个结果正确与否，如果有错，予以改正。试分
11、析这个结果正确与否，如果有错，予以改正。OR（RRR）此题解法是错误的此题解法是错误的正确做法：正确做法：（B）（C）（D）解：取坐标如图，由对称性知：解：取坐标如图，由对称性知：例例15一厚度为一厚度为 d 的无限大均匀带电导体板，电荷的无限大均匀带电导体板，电荷面密度为面密度为 ，则板的两侧与板相距为，则板的两侧与板相距为 h 的两点的两点a、b之间的电势差为：之间的电势差为：（A）0例例16A、B两块面积各为两块面积各为 S 的很大的的很大的导体平板，它们平行放置，如图，导体平板，它们平行放置，如图，A板带板带电电 ，B板带电板带电 ，若将，若将B板接地，板接地，则则A、B两板间电场强度
12、的大小为：两板间电场强度的大小为：（A）（B）（C）（D）例例17在距一个接地无限大导体板在距一个接地无限大导体板 d 处有一点电荷处有一点电荷q，求导体板表面各点的感应电荷面密度。求导体板表面各点的感应电荷面密度。解：取面元解：取面元 及其内非常接近表面的及其内非常接近表面的一点一点A，由导体的静电平衡条件：由导体的静电平衡条件：由三部分电荷产生：由三部分电荷产生：（1）q产生：产生：（2）产生：产生：（3）以外的感生电荷产生：以外的感生电荷产生：例例18两个同心薄金属球壳，半径分别两个同心薄金属球壳，半径分别为为 且且 ，两壳间，两壳间充满两层介电常数分别为充满两层介电常数分别为 的的电介
13、质，两层介质的分界面半径为电介质，两层介质的分界面半径为 R，内球壳带电内球壳带电Q，外球壳不带电，求：（外球壳不带电，求：（1）的分布；（的分布；（2）两球壳间的电）两球壳间的电势差；（势差；（3）贴近金属壳的电介质表面的束缚）贴近金属壳的电介质表面的束缚电荷面密度。电荷面密度。解：（解：（1）（2）（3）解：（解：（1）设极板间的电势差为）设极板间的电势差为 V，由介质中的高斯定理得：由介质中的高斯定理得：例例19平行板电容器极板面积为平行板电容器极板面积为 S，板间距为板间距为 d，相对介电常数为相对介电常数为 的两种电介质各充满板间的一半，如图，的两种电介质各充满板间的一半，如图，（1
14、）此电容器带电后，两介质所对应的）此电容器带电后，两介质所对应的极板上自由电荷面密度是否相等？极板上自由电荷面密度是否相等？（2）求其电容。）求其电容。（2）方法二：用电容器并联公式。方法二：用电容器并联公式。例例20电容器两极板都是边长电容器两极板都是边长为为 a 的正方形金属板，两板不严的正方形金属板，两板不严格平行，夹角为格平行，夹角为 ，证明它的电容为证明它的电容为证明：取图示坐标，考虑图中窄带电容：证明：取图示坐标，考虑图中窄带电容：例例21两共轴的导体圆筒组成的电容器，内外筒半径两共轴的导体圆筒组成的电容器，内外筒半径分别为分别为 ，其间有两层均匀介质，其间有两层均匀介质，分界面半
15、径为分界面半径为 R，内外层介质的相对介电常数分别为内外层介质的相对介电常数分别为 ，两层介质的击穿场强均为，两层介质的击穿场强均为 ，当电压升高时哪层介质先击穿？两筒间能加的，当电压升高时哪层介质先击穿？两筒间能加的最大电压是多少？最大电压是多少？解：（解：（1）设内外筒电荷线密度分别为）设内外筒电荷线密度分别为 由介质由介质中的高斯定理得：中的高斯定理得：外层先击穿外层先击穿（2）两筒间加最大电压时：）两筒间加最大电压时：例例22在静电场中一质子沿在静电场中一质子沿 1/4 圆弧圆弧轨道从轨道从A点到点到 B点，电场力作功点，电场力作功 则当质子沿则当质子沿 3/4圆弧轨道从圆弧轨道从 B
16、点回到点回到A点时，电场力作多少功？设点时，电场力作多少功？设A点的电势点的电势为零，则为零，则 B 点的电势为多少？点的电势为多少？解：（解：（1）静电力作功只决定于始末位置与路径无关，）静电力作功只决定于始末位置与路径无关，（2）例例23现现有有一一根根单单芯芯电电缆缆，电电缆缆芯芯的的半半径径为为1 11515，铅铅包包皮皮的的内内半半径径为为2 25050。求求当当电电缆缆芯芯与与铅铅包包皮皮间间的的电电压压为为U U1212600600时时，长长为为1 1的的电电缆缆中中储储存存的静电能是多少？（的静电能是多少？（0 08.85108.85101212C C2 2NN1 12 2）解
17、：解：方法一方法一方法方法 二二将其视为圆柱形同轴电容器将其视为圆柱形同轴电容器例例24圆柱形电容器由半径为圆柱形电容器由半径为 的导线和与它同轴的导体圆筒构成，的导线和与它同轴的导体圆筒构成，圆筒内半径为圆筒内半径为 ，其间充满相对，其间充满相对介电常数为介电常数为 的均匀介质，长为的均匀介质，长为 L，导线的电荷线密度为导线的电荷线密度为 圆筒圆筒带电为带电为 ，求电容器储存的能量。，求电容器储存的能量。解：方法一：先求电容再求能量解：方法一：先求电容再求能量方法二：方法二：解：（解：（1）例例25一金属球半径为一金属球半径为 R 带电为带电为 q，外包一层相对介电常数为外包一层相对介电常
18、数为 的电介质，的电介质，其内外半径分别为其内外半径分别为 R和和 a，（，（1）求求 的分布；（的分布；（2）求）求电场的能量；（电场的能量；（3）介质外罩一半径为）介质外罩一半径为 b 的不带电的金属球壳时，电场的能量为的不带电的金属球壳时，电场的能量为多少？若让球壳接地，电场能量为多少？多少？若让球壳接地，电场能量为多少？方向均沿半径向外方向均沿半径向外用场强分步积分法求电势：用场强分步积分法求电势：（2）（3）金属壳不接地时，内外表面分别带电）金属壳不接地时，内外表面分别带电-q和和+q忽略球壳厚度时，空间电场分布不变，故电场能量忽略球壳厚度时，空间电场分布不变，故电场能量不变。不变。金属球壳接地时，内表面带电金属球壳接地时，内表面带电-q，外表面不带电，球壳外表面不带电，球壳外场强为零。外场强为零。