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1、1 陈信义编陈信义编 第第3章章 电势电势电磁学（第三册）电磁学（第三册）目目 录录2【演示实验演示实验】高压带电操作、电容器储能高压带电操作、电容器储能3.1 静电场的保守性静电场的保守性3.3 电势叠加原理电势叠加原理3.2 电势差和电势电势差和电势3.4 电势梯度电势梯度3.5 电荷在外场中的静电势能电荷在外场中的静电势能3.6 电荷系的静电能电荷系的静电能3.7 静电场的能量静电场的能量补充：补充：静电场环路定理的微分形式静电场环路定理的微分形式33.1 静电场的保守性静电场的保守性一、静电场是保守场一、静电场是保守场1、点电荷的静电场是保守场、点电荷的静电场是保守场 单位正电荷沿任意
2、路径由点单位正电荷沿任意路径由点ab b，电场，电场力作的功力作的功只与起、终点位置有关，与移只与起、终点位置有关，与移动的路径无关。动的路径无关。有心力场有心力场4L52、任意电荷体系的静电场是保守场、任意电荷体系的静电场是保守场电荷体系由点电荷组成电荷体系由点电荷组成场叠加原理场叠加原理路径无关路径无关路径无关路径无关 保守性的表述保守性的表述二、静电场的环路定理二、静电场的环路定理静电场强沿任意闭合路径的积分等于零静电场强沿任意闭合路径的积分等于零 L6二二、高斯定理与环路定理完备描述静电场高斯定理与环路定理完备描述静电场(对任意电场都成立对任意电场都成立)(只对静电场成立只对静电场成立
3、)【思思考考】匀匀速速运运动动电电荷荷的电场是静电场吗？的电场是静电场吗？v+Q所以不是静电场！所以不是静电场！环路积分不为零，环路积分不为零，73.2 电势差和电势电势差和电势静电场是保守场静电场是保守场定义电势差定义电势差一、电势差一、电势差电势的减少电场力作的功电势的减少电场力作的功单位正电荷的单位正电荷的电势能的差。电势能的差。把单位正电荷由点把单位正电荷由点ab电场力作的功。电场力作的功。8二、电势二、电势把把单单位位正正电电荷荷自自该该点点移移到到电电势势零零点点，电电场力作的功。场力作的功。把把单单位位正正电电荷荷自自电电势势零零点点移移到到该该点点外外力作的功。力作的功。选选
4、p0 点为电势零点：点为电势零点：，则，则 p点电势点电势9m电荷分布在有限范围电荷分布在有限范围选无穷远为电势零点选无穷远为电势零点通常选地球为无穷远电势零点。通常选地球为无穷远电势零点。m电荷分布到无限远时，电势零点不能选在无电荷分布到无限远时，电势零点不能选在无限远。限远。电势零点的选择：电势零点的选择：【演示实验演示实验】高压带电操作高压带电操作10三、三、几种带电体的电势分布几种带电体的电势分布1、静止点电荷的电势静止点电荷的电势选无穷远为电势零点选无穷远为电势零点112、均匀带电球面的电势均匀带电球面的电势 球球面面外外点点的的电电势势等等于于处处于于球球心心的的“点点电电荷荷”在
5、在该该点的电势。点的电势。球球面面内内等等电电势势,等等于于球球面上的电势。面上的电势。rq0URR123、均匀带电球体的电势均匀带电球体的电势Rqr球心：球心：0rURqR134、无限长圆柱面无限长圆柱面(线电荷密度线电荷密度)的电势的电势电势分布：电势分布：选选 点为电势零点点为电势零点电场分布：电场分布：RrpRrpp0r014电势零点不能选在无限远！电势零点不能选在无限远！rr0R0rp0153.3 电势叠加原理电势叠加原理注意：注意：各电荷的电势零点必须相同。各电荷的电势零点必须相同。应用电场叠加原理证明应用电场叠加原理证明：在在电电荷荷体体系系的的电电场场中中，某某点点电电势势等等
6、于于各各电电荷单独在该点产生的电势的代数和荷单独在该点产生的电势的代数和161、点电荷体系、点电荷体系2、连续分布的电荷体系、连续分布的电荷体系dqpriqiqjdqprqROx p【例例】均匀带电圆环轴线上的电势均匀带电圆环轴线上的电势rdq18【例例】两两同同心心带带电电球球面面，求求 A，B，C 点点的的电势。电势。q1q2R1R2ABCrArBrC单独在该点的电势的和单独在该点的电势的和!193.4 电势梯度电势梯度一、等势面一、等势面电势相等的点组成的曲面。电势相等的点组成的曲面。1、电场线与等势面处处正交，并指向电势电场线与等势面处处正交，并指向电势降低的方向。降低的方向。2、两两
7、等等势势面面相相距距较较近近处处的的场场强强大大，相相距距较远处场强较小。较远处场强较小。等势面特征：等势面特征：20等势面等势面电场线电场线点电荷的等势面点电荷的等势面21+等势面等势面电偶极子的等势面电偶极子的等势面电场线电场线22两相等点电荷的等势面两相等点电荷的等势面等势面等势面电场线电场线23等势面等势面电场线电场线24等势面等势面电场线电场线平行板电容器平行板电容器25人心脏的等电势人心脏的等电势线，类似于电偶线，类似于电偶极子。极子。26二、场强和电势的关系二、场强和电势的关系证明见力学证明见力学4.8由势能求保守力。由势能求保守力。电势梯度矢量：电势梯度矢量：静电场中某点的电场
8、强度，等于该点电静电场中某点的电场强度，等于该点电势的负梯度势的负梯度静电场强等于负电势梯度矢量。静电场强等于负电势梯度矢量。27 U 垂垂直直于于过过该该点点的的等等势势面，方向是电势升高最快的方向。面，方向是电势升高最快的方向。U 的基本特征：的基本特征：证明：证明：垂直于等势面，垂直于等势面，和和 与等势面相切与等势面相切以等势面以等势面U上上 p点为原点作直角坐标系点为原点作直角坐标系UU+D DUP28UU+D DUP 垂直于过该点的等势面。垂直于过该点的等势面。所以，所以，电电场场线线与与等等势势面面处处处处正正交交。两两等等势势面面相相距距较近处的场强大，相距较远处场强较小。较近
9、处的场强大，相距较远处场强较小。因此因此29所以，所以，的方向是电势升高最快的方向。的方向是电势升高最快的方向。UU+D DUP电场线指向电势降低最快的方向。电场线指向电势降低最快的方向。30【例例】均匀带电球面，由电势分布求场强分布。均匀带电球面，由电势分布求场强分布。场强沿径向场强沿径向 只要计算径向分量只要计算径向分量0rURq31电荷的电量电荷的电量该点的电势该点的电势“电荷与电场的相互作用能电荷与电场的相互作用能”3.5 电荷在外场中的静电势能电荷在外场中的静电势能【例例】氢原子中电子的静电势能氢原子中电子的静电势能“电子与电场（质子）的相互作用能电子与电场（质子）的相互作用能”原子
10、核（质子）的电势：原子核（质子）的电势：电子的静电势能：电子的静电势能：32【例例】电偶极子在均匀外电场中的电势能电偶极子在均匀外电场中的电势能（受力矩：（受力矩：）【思考思考】势能势能W随随p的取向如何变化？的取向如何变化？证明：证明：333.6 电荷体系的静电能电荷体系的静电能一、点电荷体系的相互作用能一、点电荷体系的相互作用能其其中中Ui 为为 qi 所所在在处处，由由 qi 以以外外的的其其它它电电荷荷所所产生的电势。产生的电势。把把 n 个个静静止止点点电电荷荷从从现现有有位位置置彼彼此此分分散散到到无无穷穷远远时时，它它们们间间的的静静电电力力所所作作的的功功，称称为为这这 n 个
11、点电荷间的相互作用能个点电荷间的相互作用能34证明：证明：1、n=2固定固定q1，把，把q2移到无限远电场力做的功移到无限远电场力做的功写成对称形式即写成对称形式即q2q1r352、n=3q3q2q1类推，得类推，得36式式中中U为为在在带带电电体体上上，所所有有电电荷荷在在电电荷荷元元dq 处的电势。处的电势。二、连续分布的电荷体系的静电能二、连续分布的电荷体系的静电能 各电荷元间的静电相互作用能各电荷元间的静电相互作用能【思考思考】为什么不包括电荷元为什么不包括电荷元dq 的自能？的自能？37Rq【例例】均匀带电球体的静电能均匀带电球体的静电能分割成同心薄球壳分割成同心薄球壳（dq）rdr
12、dq:点模型的发散困难点模型的发散困难:电荷元电荷元dq 的自能为零的自能为零所在处的电势为所在处的电势为,静电能为静电能为若若q不变不变,若若 不变不变,38【例例】电子的经典半径电子的经典半径另一种估算另一种估算:39体系静电能体系静电能=相互作用能相互作用能自能自能三、连续带电体体系的三、连续带电体体系的静电能静电能体系体系Q1Q2Q3403.7 静电场的能量静电场的能量均匀带电球面的静电能均匀带电球面的静电能:Rq静电能贮存在电场中静电能贮存在电场中Ein=0在区域在区域V 中电场的能量中电场的能量：在真空中电场能量密度在真空中电场能量密度：静电能贮存在哪儿？静电能贮存在哪儿？E=041用特例说明：用特例说明：电场的能量密度：电场的能量密度：设电斥力作用设电斥力作用 R R+dR球壳球壳(R,R+dR)内的静电能内的静电能 减少的静电能：减少的静电能：RqdR42Rq【例例】对对场场能能积积分分求求均均匀匀带带电电球球体的静电能。体的静电能。【例例】电容器储能电容器储能drr与与相同相同dV43 证明：证明：由斯托科斯公式由斯托科斯公式因域因域 S 任意，则任意，则附录附录：静电场环路定理的微分形式静电场环路定理的微分形式LdSESS 是以是以 L 为边界为边界的任意曲面的任意曲面静电场是有源、无旋场：静电场是有源、无旋场：