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1、矩形 正方形矩形是平行四边形吗？矩形是平行四边形吗？怎样的平行四边形是矩形？怎样的平行四边形是矩形？定理矩形的四个角都是直角。定理矩形的四个角都是直角。定理矩形的对角线相等。定理矩形的对角线相等。ABCD已知：四边形已知：四边形ABCDABCD是矩形，是矩形，A A90900 0求证：求证：A=B=C=D=90A=B=C=D=900 0证明：证明：四边形四边形ABCDABCD是矩形是矩形ADBCADBC A+B=180 A+B=1800 0又又 A A90900 0 B B 90900 0又又 A=CA=C，B=DB=D（矩形的对角相等）（矩形的对角相等）A=B=C=D=90 A=B=C=D=
2、900 0即即矩形的矩形的 四个角都是直角。四个角都是直角。ABCD已知：四边形已知：四边形ABCDABCD是矩形是矩形 求证：求证：AC=BDAC=BDABCD证明：在矩形证明：在矩形ABCDABCD中中ABC=DCB=90ABC=DCB=90又又AB=DC AB=DC，BC=CBBC=CBABCDCBABCDCBAC=BDAC=BD例例1 1 在矩形在矩形ABCDABCD中，中，ACAC，BDBD相交相交于于O O，AB=OA=4cm.AB=OA=4cm.求：求：BDBD与与ADAD的长的长.在矩形在矩形ABCDABCD中，中，ACAC与与BDBD互相平分且相等互相平分且相等,BD=CA=
3、2AO=8cm.BD=CA=2AO=8cm.在在RtBADRtBAD中，中，解：解：ABDCoABCDE如图，设矩形的对角线如图，设矩形的对角线ACAC与与BDBD的交点为的交点为E,E,那么那么BEBE是是RtABCRtABC中中一条怎样的特殊线？它与一条怎样的特殊线？它与ACAC有有什么数量关系？为什么？什么数量关系？为什么？BEBE是是RtABCRtABC斜边斜边ACAC上的中线，上的中线，BE=ACBE=AC矩形矩形ABCDABCD中，中，BE=DE=BDBE=DE=BD（平行四边形的对角线互相平分）（平行四边形的对角线互相平分）AC=BDAC=BD（矩形的对角线相等）（矩形的对角线相
4、等）BE=ACBE=AC定理：直角三角形斜边上的中线等于定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半斜边的一半.BEBE是是RtABCRtABC的中线，的中线，BE=ACBE=ACABCE定理有三个角是直角的四边形是矩形。定理有三个角是直角的四边形是矩形。定理对角线相等的定理对角线相等的 是矩形。是矩形。ADBC证明：证明：A=B=C=90A=B=C=90 A+B=180,B+C=180 A+B=180,B+C=180 ADBC,ABCD ADBC,ABCD 四边形四边形ABCDABCD是平行四边形是平行四边形 四边形四边形ABCDABCD是矩形是矩形ABDC有三个角是直角的四边形是矩形。有三个
5、角是直角的四边形是矩形。已知：已知：A=B=C=90A=B=C=900 0求证：四边形求证：四边形ABCDABCD是矩形。是矩形。000证明：证明：在在 ABCDABCD中，中，AB=DC,AC=BD,BC=CBAB=DC,AC=BD,BC=CB ABCDCB ABCDCB ABC=DCB ABC=DCB 又又ABDCABDC ABC+DCB=180 ABC+DCB=180 ABC=DCB=90 ABC=DCB=90 ABCD ABCD是矩形是矩形.ABCD两条对角线相等的平行四边形是矩形两条对角线相等的平行四边形是矩形.已知：已知：ABCDABCD中，中，AC=BDAC=BD求证：求证：AB
6、CDABCD是矩形。是矩形。00定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。BE是是Rt ABC的中线，的中线，BE=ACABCE想一想：它的逆命题成立吗想一想：它的逆命题成立吗?如果一个三角形一边上的中线等于这边如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。的一半，那么这个三角形是直角三角形。如果一个三角形一边上的中线等于这边如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。的一半，那么这个三角形是直角三角形。已知：BE是AC上的中线，且BE=AC求证：求证：ABCABC是是RtRt。ABCE已知：已知：
7、BEBE是是ACAC上的中线，且上的中线，且BE=ACBE=AC求证：求证：ABCABC是是RtRt。D证明：延长证明：延长BEBE到到D D，使，使ED=BEED=BE AE=EC AE=EC 四边形四边形ABCDABCD是平行四边形是平行四边形 BE=AC,BE=BDBE=AC,BE=BD AC=BD AC=BD 四边形四边形ABCDABCD是矩形是矩形 ABC=90ABC=90 ABC ABC是是RtRt。中线中线BE=ACBE=AC ABC ABC是是RtRt。0操操 作作怎样用一张矩形的纸片折出一个怎样用一张矩形的纸片折出一个正方形？正方形？怎样将一个菱形的木框变成一个怎样将一个菱形
8、的木框变成一个正方形的木框？正方形的木框？矩形矩形菱形菱形正方形正方形平行四边形平行四边形矩矩形形菱菱形形正正方方形形正方形的边、角、对角线各具有什么性质？正方形的边、角、对角线各具有什么性质？边：对边平行，四条边都相等边：对边平行，四条边都相等角：四个角都相等，都等于角：四个角都相等，都等于9090对角线：相等、垂直且互相平分，每一对角线：相等、垂直且互相平分，每一条对角线平分一组对角条对角线平分一组对角讨讨 论论讨讨 论论具备什么条件的平行四边形是正方形？具备什么条件的平行四边形是正方形？先说明它是矩形，再说明这个矩形有先说明它是矩形，再说明这个矩形有一组邻边相等一组邻边相等先说明它是菱形
9、，再说明这个菱形有先说明它是菱形，再说明这个菱形有一个角是直角一个角是直角求证：求证：ABOABO、BCOBCO、CDOCDO、DAODAO是全等的等腰直角三角形是全等的等腰直角三角形.DAODAO都是等腰直角三角形，并且都是等腰直角三角形，并且ABOBCOCDODAO.ABOBCOCDODAO.ABCDO例例2 2已知：如图，四边形已知：如图，四边形ABCDABCD是正方形，对角线是正方形，对角线ACAC、BDBD相交于点相交于点O O，证明：证明：四边形四边形ABCDABCD是正方形，是正方形，AC=BDAC=BD，ACBDACBD，AO=BO=CO=DO.AO=BO=CO=DO.ABOA
10、BO、BCOBCO、CDOCDO、一展身手一展身手1.1.在四边形在四边形ABCDABCD中，中，O O是对角线的交点，能是对角线的交点，能判定这个四边形是正方形的是（判定这个四边形是正方形的是（）A AAC=BDAC=BD，ABCDABCD，AB=CDAB=CDB BADBCADBC，A=CA=CC CAO=BO=CO=DOAO=BO=CO=DO，ACBDACBDD DAO=COAO=CO，BO=DOBO=DO，AB=BCAB=BC2.2.在正方形在正方形ABCDABCD中，对角线中，对角线ACAC、BDBD相交相交于点于点O O，点，点Q Q是是CDCD上任意一点，上任意一点，DPAQDP
11、AQ交交BCBC于点于点P P求证：求证：DQ=CPDQ=CP；OPOP与与OQOQ有何关系？有何关系？试证明你的结论试证明你的结论有一个角是直角的有一个角是直角的平行四边形平行四边形是矩形。是矩形。有三个角是直角的四边形是矩形。有三个角是直角的四边形是矩形。两条对角线相等的两条对角线相等的平行四边形平行四边形是矩形。是矩形。矩形的四个角都是直角。矩形的四个角都是直角。矩形的对角线相等。矩形的对角线相等。直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。如果一个三角形一边上的中线等于该边的一半，那么如果一个三角形一边上的中线等于该边的一半，那么这个三角形是直角三角形。这个三角形是直角三角形。我的收获我的收获 正方形有哪些性质？如何判别一正方形有哪些性质？如何判别一个平行四边形是正方形？个平行四边形是正方形？从角上来谈；从角上来谈；从边上来谈；从边上来谈；从对角线上来谈；从对角线上来谈；习题习题4.74.7 第第1 1和和3 3题题作作 业业