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1、 李师傅在一家木料厂上班，工李师傅在一家木料厂上班，工作之余想对厂里的三角形废料进行作之余想对厂里的三角形废料进行加工：裁下一块圆形用料，且使圆加工：裁下一块圆形用料，且使圆的面积最大。的面积最大。下图是他的几种设计，请同学们帮下图是他的几种设计，请同学们帮他确定一下。他确定一下。ABC作三角形内切圆的方法：作三角形内切圆的方法：ABC1、作、作B、C的平分线的平分线BM和和CN，交点为，交点为I。I2过点过点I作作IDBC，垂足为，垂足为D。3以以I为圆心，为圆心，ID为半径作为半径作 I.I就是所求的圆。就是所求的圆。DMN如图所示是一张三角形的铁皮，如何在它上如图所示是一张三角形的铁皮，
2、如何在它上面剪下一块圆形的用料，并且使圆的面积尽面剪下一块圆形的用料，并且使圆的面积尽可能大呢？可能大呢？ABCABCMDNI与三角形各边都相切的圆叫做与三角形各边都相切的圆叫做与三角形各边都相切的圆叫做与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内三角形的内三角形的内三角形的内切圆；切圆；切圆；切圆；三角形内切圆的圆心是三角形三条三角形内切圆的圆心是三角形三条三角形内切圆的圆心是三角形三条三角形内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点角平分线的交点角平分线的交点角平分线的交点,叫做叫做叫做叫做三角形的内心；三角形的内心；三角形的内心；三角形的内心；这个这个这个这个三角形叫做三角形叫做三角形叫做三角形叫做
3、圆的外切三角形。圆的外切三角形。圆的外切三角形。圆的外切三角形。1、定义：、定义：和三角形各边都相切的圆叫做三角形和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形。个三角形叫做圆的外切三角形。2、性质、性质:内心到三角形三边的距离相等；内心到三角形三边的距离相等；内心与顶点连线平分内角。内心与顶点连线平分内角。OAB C1.一个三角形有且只有一个内切圆；一个三角形有且只有一个内切圆；2.一个圆有无数个外切三角形；一个圆有无数个外切三角形；3.三角形的内心就是三角形三条内角平三角形的内心就是三角形三条内
4、角平 分线的交点；分线的交点；4.三角形的内心到三角形三边的距离相等。三角形的内心到三角形三边的距离相等。例例1 1：已知：在：已知：在ABCABC中，中，BC=9cmBC=9cm，AC=14cmAC=14cm，AB=13cmAB=13cm，它的内切圆分别和，它的内切圆分别和BCBC、ACAC、ABAB切于点切于点D D、E E、F F，求，求AFAF、BDBD和和CECE的长。的长。CBAEDFOr解：因为解：因为ABCABC的内切的内切圆分别和圆分别和BCBC、ACAC、ABAB切切于点于点D D、E E、F F，由切，由切线线长定理长定理知知AE=AF,CE=CD,BD=BFAE=AF,
5、CE=CD,BD=BFAF+BD+CE=(AB+AC+BC)AF+BD+CE=(AB+AC+BC)BD+CE=BD+CE=AF=18-9=9AF=18-9=9BD+CD=BD+CD=BC=9BC=9=18BD=AB-AF=13-9=4BD=AB-AF=13-9=4CE=BC-BD=9-4=5CE=BC-BD=9-4=5例例1 ABCABC的内切圆的内切圆的内切圆的内切圆 O O与与与与BCBC、CACA、ABAB分别相切于分别相切于分别相切于分别相切于 点点点点D D、E E、F F，且，且，且，且AB=9cmAB=9cm，BC=14cmBC=14cm，CA=13cmCA=13cm，求求求求A
6、FAF、BDBD、CECE的长的长的长的长.解解:设设设设AF=AF=x(cmx(cm),BD=),BD=y(cm),CEy(cm),CEz(cmz(cm)AF=4(cm),BD=5(cm),CE=9(cm).AF=4(cm),BD=5(cm),CE=9(cm).O O与与与与ABCABC的三边都相切的三边都相切的三边都相切的三边都相切AFAFAE,BDAE,BDBF,CEBF,CECDCD则有则有则有则有x xy y9 9y yz z1414x xz z1313解得解得解得解得x x4 4y y5 5z z9 9（1）点点O是是ABC的内心，的内心，BOC=180(1 3)=180(25 3
7、5)例例2 如图，在如图，在ABC中，点中，点O是内心，是内心，若若ABC=50，ACB=70，求，求BOC的度数的度数ABCO=120)1(32)4(同理同理 3=4=ACB=70=35 1=2=ABC=50=25ABCO通过上题通过上题,如果点如果点O是内心是内心,则则 BOC=90 +A.证明证明:点点O是内心是内心 BO、CO是是ABC、ACB的平分线。的平分线。OBC=ABC，OCB=ACB BOC=180-OBC-OCB=180-ABC-ACB=180-（ABC+ACB）=180-（180-A）=180 -90+A=90 +A.如果做选择题或填空题可以直接代公式如果做选择题或填空题
8、可以直接代公式BDEFOCA如图，如图，ABC的内切圆的半径为的内切圆的半径为r,ABC的周长为的周长为l,求求ABC的面积的面积S.解：解：设设ABC的内切圆与三边相切于的内切圆与三边相切于D、E、F，连结连结OA、OB、OC、OD、OE、OF，则则ODAB，OEBC，OFAC.SABCSAOBSBOC SAOC ABOD BCOE ACOF lr设设ABC的三边为的三边为a、b、c，面积为，面积为S，则则ABC的内切圆的半径的内切圆的半径 r2Sabc任意三角形的内切圆的有关任意三角形的内切圆的有关计算计算ABCODFE如图，Rt ABC中，C=90，AB、BC、CA的长分别为的长分别为c
9、、a、b,求求 ABC的内切圆半径r.解：Rt ABC中，C=90，BC=a,CA=bs ABC=AB CB=ab s ABC=s AoC+s AoB+s BoC=AC r+AB r+BC r=br+cr+ar ab=br+cr+arr=ab/(a+b+c)方法一:如图，Rt ABC中，C=90，AB、BC、CA的长分别为的长分别为c、a、b,求求 ABC的内切圆半径r.ABCFDEO证明：连接连接OF、OD、OC O是是Rt ABC的内切圆的内切圆 AB、BC、AC切切 O于于F、D、E点点 AE=AF，BF=BD，CD=CEOE AC，OD BC OEC=90，ODC=90 C=90 EO
10、F=90 四边形四边形ECDO是矩形，是矩形，OE=OD 四边形四边形ECDO是正方形是正方形 r=（a+b-c）解：猜测r=-a+b-c2 求直角三角形内切圆半经求直角三角形内切圆半经r问题问题ABCEDFO方法二方法二:如图，如图，RtABC中，中，C90,BCa,ACb,ABc,O为为RtABC的内切圆的内切圆.求：求：RtABC的内切圆的半径的内切圆的半径 r.设设设设AD=AD=x x,BE=,BE=y y,CE,CE r r O O与与与与RtRtABCABC的三边都相切的三边都相切的三边都相切的三边都相切ADADAF,BEAF,BEBF,CEBF,CECDCD则有则有则有则有x
11、xr rb by yr ra ax xy yc c解：解：设设RtABC的内切圆与三边相切于的内切圆与三边相切于D、E、F，连结连结OD、OE、OF则则OAAC，OEBC，OFAB。解得解得解得解得 r rabc2设设RtABC的直角边为的直角边为a、b，斜边为，斜边为c，则，则RtABC的的内切圆的半径内切圆的半径 r 或或rabc2ababcACBDEFo如图，Rt ABC中，C=90，AB、BC、CA的长分别为的长分别为13、12、5,求求 ABC的内切圆半径r.解：解：连接连接OF、OD、OC O是是Rt ABC的内切圆的内切圆 AB、BC、AC切切 O于于F、D、E点点 AE=AF，
12、BF=BD，CD=CEOE AC，OD BC OEC=90，ODC=90 C=90 EOF=90 四边形四边形ECDO是矩形，是矩形，OE=OD 四边形四边形ECDO是正方形是正方形 r=（5+12-13）=2如图所示，在梯形如图所示，在梯形ABCD中，中，AB CD，O为内切圆，为内切圆，E为切点。（为切点。（1）求）求 AOD的度数（2）若AO=8cm,DO=6cm,求OE的长。（2）在在Rt AOD中，AO=8cm,DO=6cm 由勾股定理，得由勾股定理，得AO=BAEDCO解：（1）AB CD，BAD+ADC=180 O内切于梯形ABCD，AO、DO分别平分分别平分BAD、ADC，DA
13、O=BAD，ADO=ADC DAO+ADO=（BAD+ADC）=90 AOD=180-（DAO+ADO）=90 AO=10cm E为切点为切点OE AD,有AEO=90 S AOD=AO DO=EO ADOE=AO OD/AD=4.8cmABCEDFO如图，如图，RtABC中，中，C90,BC3,AC4,O为为RtABC的内切圆的内切圆.（1）求）求RtABC的内切圆的半径的内切圆的半径.（2）若移动点）若移动点O的位置，使的位置，使 O保持与保持与ABC的边的边AC、BC都相切，求都相切，求 O的半径的半径r的取值范围。的取值范围。设设设设AD=AD=x x,BE=,BE=y y,CE,CE
14、 r r O O与与与与RtRtABCABC的三边都相切的三边都相切的三边都相切的三边都相切ADADAF,BEAF,BEBF,CEBF,CECDCD则有则有则有则有x xr r4 4y yr r3 3x xy y5 5解：解：（1）设）设RtABC的内切圆与三边相的内切圆与三边相切于切于D、E、F，连结，连结OD、OE、OF则则OAAC，OEBC，OFAB。解得解得解得解得 r r1 1在在在在RtRtABCABC中，中，中，中，BCBC3,AC3,AC4,4,ABAB5 5由已知可得四边形由已知可得四边形由已知可得四边形由已知可得四边形ODCEODCE为正方形，为正方形，为正方形，为正方形，
15、CDCDCECEODOD RtABC的内切圆的的内切圆的半径为半径为1。（2）如图所示，设与）如图所示，设与BC、AC相切的最大圆与相切的最大圆与BC、AC的切点分别为的切点分别为B、D,连结连结OB、OD,则四边形则四边形BODC为正方形。为正方形。ABODCOBBC3半径半径r的取值范围为的取值范围为0r3几何问题代数化是几何问题代数化是解决几何问题的一解决几何问题的一种重要方法。种重要方法。基础题：基础题：1.1.既有外接圆既有外接圆既有外接圆既有外接圆,又内切圆的平行四边形是又内切圆的平行四边形是又内切圆的平行四边形是又内切圆的平行四边形是_._.2.2.直角三角形的外接圆半径为直角三
16、角形的外接圆半径为直角三角形的外接圆半径为直角三角形的外接圆半径为5cm,5cm,内切圆半径为内切圆半径为内切圆半径为内切圆半径为1cm,1cm,则此三角形的周长是则此三角形的周长是则此三角形的周长是则此三角形的周长是_._.3.3.OO是边长为是边长为是边长为是边长为2cm2cm的正方形的正方形的正方形的正方形ABCDABCD的内切圆的内切圆的内切圆的内切圆,EF,EF切切切切 OO 于于于于P P点，交点，交点，交点，交ABAB、BCBC于于于于E E、F F，则，则，则，则BEFBEF的周长是的周长是的周长是的周长是_._.EF HG正方形正方形正方形正方形22cm22cm2cm2cm4
17、.4.小红家的锅盖坏了小红家的锅盖坏了小红家的锅盖坏了小红家的锅盖坏了,为了配一个锅盖为了配一个锅盖为了配一个锅盖为了配一个锅盖,需要测量锅盖的需要测量锅盖的需要测量锅盖的需要测量锅盖的直径直径直径直径(锅边所形成的圆的直径锅边所形成的圆的直径锅边所形成的圆的直径锅边所形成的圆的直径),),而小红家只有一把长而小红家只有一把长而小红家只有一把长而小红家只有一把长20cm20cm 的直尺的直尺的直尺的直尺,根本不够长根本不够长根本不够长根本不够长,怎么办呢怎么办呢怎么办呢怎么办呢?小红想了想小红想了想小红想了想小红想了想,采取以下方采取以下方采取以下方采取以下方法法法法:首先把锅平放到墙根首先把锅平放到墙根首先把锅平放到墙根首先把锅平放到墙根,锅边刚好靠到两墙锅边刚好靠到两墙锅边刚好靠到两墙锅边刚好靠到两墙,用直尺紧贴用直尺紧贴用直尺紧贴用直尺紧贴墙面量得墙面量得墙面量得墙面量得MAMA的长的长的长的长,即可求出锅盖的直径即可求出锅盖的直径即可求出锅盖的直径即可求出锅盖的直径,请你利用图乙请你利用图乙请你利用图乙请你利用图乙,说说说说明她这样做的道理明她这样做的道理明她这样做的道理明她这样做的道理.希望大家如这朝阳,越升越高!越开越艳!