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1、 1.1 1.1 你能证明它们吗（五）你能证明它们吗（五）定理定理:等腰三角形的两个底角相等等腰三角形的两个底角相等简称简称:等边对等角等边对等角推论推论:等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高线互相重合上的高线互相重合 (三线合一三线合一)结论结论1:等边三角形的三个角都相等等边三角形的三个角都相等,并且每个角都等于并且每个角都等于60结论结论2:等腰三角形等腰三角形腰上的高线与底边的夹角腰上的高线与底边的夹角等等于顶角的一半于顶角的一半.知识要点知识要点:结论结论4:等腰三角形两底角的平分线相等等腰三角形两底角的平分线相等.结论结论5:等
2、腰三角形两腰的高线、中线分别相等等腰三角形两腰的高线、中线分别相等.等腰三角形的性质等腰三角形的性质:结论结论3:3:等腰三角形等腰三角形底边上的任意一点底边上的任意一点到两腰的到两腰的距离之和距离之和等于一腰上的高等于一腰上的高等腰三角形判定定理等腰三角形判定定理:有两个角相等的三角形是等腰三角形有两个角相等的三角形是等腰三角形.简称简称:等角对等边等角对等边.等边三角形的判定定理：等边三角形的判定定理：w有一个角是有一个角是600的等腰三角形是等边三角形的等腰三角形是等边三角形.w有三条边相等的三角形是等边三角形有三条边相等的三角形是等边三角形.w三个角都相等的三角形是等边三角形三个角都相
3、等的三角形是等边三角形.特殊的直角三角形的性质特殊的直角三角形的性质:在直角三角形中在直角三角形中,如果有一个锐角等于如果有一个锐角等于30300 0,那么它所对的直角边等于斜边的一半。那么它所对的直角边等于斜边的一半。ACB 300300ABC300重要思想：如何证明重要思想：如何证明“线段的倍、分线段的倍、分”问题问题转转 化化“线段相等线段相等”问题问题习题1.3 独立作业独立作业1 1w1.1.已知已知:如图如图,ABCABC是等边三角是等边三角形形,DEBC,DEBC,分别交分别交AB,ACAB,AC于点于点D,E.D,E.求求证证:ADEADE是等边三角形是等边三角形.证明证明1:
4、1:ABCABC等边三角形等边三角形 A AB=AB=A60600 0()()又又 DEBC(DEBC(已知已知),),1=B=601=B=600 0,2=C=60,2=C=600 0(两直线平行两直线平行,同位角相等同位角相等).).A=1=2(A=1=2(等量代换等量代换).).ADE ADE是等边三角形是等边三角形 (三个角相等三个角相等的三角形是等边三角形的三角形是等边三角形).).BECDA12w2.2.已知已知:如图如图,ABCABC是等边三角形是等边三角形,过它的三个顶过它的三个顶点分别作对边的平行线点分别作对边的平行线,得到一个新的得到一个新的DEF,DEFDEF,DEF是等边
5、三角形吗是等边三角形吗?你还能找到其它的等边三角形吗你还能找到其它的等边三角形吗?请证明你的结论请证明你的结论.答答:(1)DEF:(1)DEF是等边三角形是等边三角形;(2)ABE,ACF,BCD (2)ABE,ACF,BCDBECDAF4213w3.3.房梁的一部分如图所示其中房梁的一部分如图所示其中BCAC,A=30BCAC,A=300 0,AB=7.4m,AB=7.4m 点点D D是是ABAB的中点的中点,DEAC,DEAC,垂足为垂足为E.E.w求求:B:BC,DEC,DE的长的长.解解:BCAC,A=30:BCAC,A=300 0(已知已知)BC=AB/2=3.7(BC=AB/2=
6、3.7(在直角三角形中在直角三角形中,如果有一个锐如果有一个锐角等于角等于30300 0,那么它那么它所对的直角边等于斜边的一半所对的直角边等于斜边的一半)又又 AD=AB/2=3.7(AD=AB/2=3.7(中点意义中点意义)DE=AD/2=1.85(DE=AD/2=1.85(在直角三角形中在直角三角形中,如果有一个锐如果有一个锐角等于角等于30300 0,那么它那么它所对的直角边等于斜边的一半所对的直角边等于斜边的一半)答答:BC=3.7m,DE=1.85m.:BC=3.7m,DE=1.85m.BECDA300等边三角形等边三角形,认识认识我吗我吗 隋堂练习隋堂练习4 44.4.已知已知:
7、如图如图,点点P,QP,Q在在BCBC上上,且且BP=AP=AQ=QC=BP=AP=AQ=QC=a,PAQa,PAQ=60=600 0,AHBC,AHBC,垂足为垂足为H.H.(1)(1)求证求证:AB=AC;:AB=AC;(2)(2)试在图中标出各个角的度数试在图中标出各个角的度数;(3)(3)求出图中各线段的长度求出图中各线段的长度,并说明理由并说明理由.胜利属于敢想敢干的人！胜利属于敢想敢干的人！你能与同学们交流探索证题的你能与同学们交流探索证题的全过程吗全过程吗?ABCPQH含含30300 0角的直角三角形角的直角三角形 隋堂练习隋堂练习 已知已知:如图如图,在在ABCABC中中,AC
8、B,ACB90900 0,A=30,A=300 0,CDAB,CDAB,垂足垂足为为D.D.探索探索：BDBD与与ABAB的关系？的关系？你能规范地写出证明过程吗？你能规范地写出证明过程吗？你的证题能力有所提高吗你的证题能力有所提高吗?ACBD3001 1.已知：如图，在已知：如图，在ABCABC中中,高线高线BDBD和和CECE相交于相交于H H，BHC=120BHC=120,HD=1,HE=3,HD=1,HE=3,求求BDBD和和CECE的长。的长。ACDEBH13?120CH=2CE=5BH=6BD=72 2.已知：如图，已知：如图，ABCABC是等边三角形是等边三角形,D.E,D.E分
9、别是分别是BC,ACBC,AC上的点上的点,且且AE=CDAE=CD,BE,BE和和ADAD相交于相交于P,BQAD,P,BQAD,垂足为垂足为Q,(1)Q,(1)求求BPDBPD的度数的度数 (2)(2)求证求证:BP=2PQ:BP=2PQACDBPEQ60 1.如图如图,ABCABC中中,D.E分别是分别是AC.AB上的点上的点,BD与与CE交于交于点点O,给出下列四个条件给出下列四个条件:EBEBO=DC=DCO BEBEO=CD=CDOBE=CD BE=CD OB=B=OC C(1)上述四个条件中上述四个条件中,哪两个条件可判定哪两个条件可判定ABCABC是等腰三角是等腰三角形形(用序
10、号写出所有情形用序号写出所有情形)(2)选择的选择的1小题的一种情形小题的一种情形,证明证明ABCABC是等腰三角形是等腰三角形.B BA AE ED DC CO;等腰三角形等腰三角形,我我认识认识吗吗2.现有等腰三角形纸片现有等腰三角形纸片,如果能从一个角的顶如果能从一个角的顶点出发点出发,将原纸片一次剪开成两块等腰三角形将原纸片一次剪开成两块等腰三角形纸片纸片,问此时的等腰三角形的顶角的度数问此时的等腰三角形的顶角的度数?36901083.将不全等的两个等边三角形将不全等的两个等边三角形ABCABC和等边三角形和等边三角形DEFDEF任意摆任意摆放放,请你画出请你画出不少于不少于5种种的摆
11、放示意图的摆放示意图,使得使得AE=CF,同时同时满足在满足在重合的一条直线上有且只有三个顶点重合的一条直线上有且只有三个顶点(重合的顶点算一个重合的顶点算一个),并说并说明理由明理由.ABCEFABECF反过来怎么样反过来怎么样逆向逆向思维思维w命题命题:在直角三角形中在直角三角形中,如果一条直角边等如果一条直角边等于斜边的一半于斜边的一半,那么它那么它所对的锐角等于所对的锐角等于30300 0.w是真命题吗是真命题吗?w如果是如果是,请你证明它请你证明它.心动 不如行动300ABC已知已知:如图如图,在在ABC,ACB=90ABC,ACB=900 0,BC=AB/2.,BC=AB/2.求证
12、求证:A=30:A=300 0.ACB=90ACB=900 0(已知已知),),AB=AD(AB=AD(线段垂直平分线上的点到线段两线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等端的距离相等).).又又BC=AB/2(BC=AB/2(已知已知),),BC=BD/2(BC=BD/2(作图作图),),AB=BD(AB=BD(等量代换等量代换).).AB=BD=AD(AB=BD=AD(等式性质）等式性质）.ABD ABD是等边三角形是等边三角形(等边三角形意义等边三角形意义)B=60 B=600 0(等边三角形意义等边三角形意义).).A=30 A=300 0(直角三角形两锐角互余直角三角形两锐角互余).
13、).300ABCD证明证明:延长延长BCBC至至D,D,使使CD=BC,CD=BC,连接连接AD.AD.几何的几何的三种语言三种语言 回顾反思回顾反思 这是一个通过线段之间的关系来判定一个这是一个通过线段之间的关系来判定一个角的具体度数角的具体度数(30300 0)的根据之一的根据之一.w定理定理:在直角三角形中在直角三角形中,如果一条直角边等于如果一条直角边等于斜边的一半斜边的一半,那么它那么它所对的锐角等于所对的锐角等于30300 0.在在ABCABC中中ACB=90ACB=900 0,BC=AB/2,BC=AB/2(已知已知),),A=30A=300 0(在直角三角形中在直角三角形中,如
14、果如果一条直角边等于斜边的一半一条直角边等于斜边的一半,那么那么它它所对的锐角等于所对的锐角等于30300 0).).ABC300成功者的摇篮 试一试试一试P141 11.如图如图(1):四边形四边形ABCD是一张是一张正方形正方形纸片纸片,E,F分分别是别是AB,CD的中点的中点,沿着过点沿着过点D的折痕将的折痕将A角翻折角翻折,使得使得A落在落在EF上上(如图如图(2),折痕交折痕交AE于点于点G,那么那么ADG等于多少度等于多少度?你能证明你的结论吗你能证明你的结论吗?DACBEFDACBEF(1)(2)GA成功者的摇篮 试一试试一试P141 1DACBEF(2)GA1答答:ADG:AD
15、G等于等于15150 0.证明证明:DF=DC/2(DF=DC/2(中点意义中点意义),),A A1D=AD=CDD=AD=CD(正方形各边都相等正方形各边都相等)DF=ADF=A1D/2(D/2(等量代换等量代换).).DADA1 1F=F=30300 0 (在直角三角形中在直角三角形中,如果一条直角边如果一条直角边等于斜边的一半等于斜边的一半,那么它那么它所对的锐角等于所对的锐角等于30300 0).).又又ADEFADEFAA1 1DADA=DADA1 1F=F=30300 0 (两直线平行两直线平行,内错角相等内错角相等).).ADG=AADG=A1 1DA/2=15DA/2=150
16、0(角平分线意义角平分线意义).).30300 0 矩形矩形ABCD中中,AB=6,BC=8,先把它对折先把它对折,折痕为折痕为EF展开后再折成如图所示展开后再折成如图所示,使点使点A落在落在EF上的点上的点A处处,求第二次折痕求第二次折痕BG的长的长.ABCEDGAF36 已知正方形已知正方形ABCD中中,M是是AB的中点的中点,E是是AB延长延长线上的一点线上的一点,MNDM,DM,且交且交CBECBE的平分线于的平分线于N,N,(1)(1)求证求证:MD=MN:MD=MN(2)若将上述条件中的若将上述条件中的“M是是AB的中点的中点”改为改为“M是是AB上的任意一点上的任意一点”，其它条
17、件不变，则，其它条件不变，则结论结论“MD=MNMD=MN”还还成立吗？成立吗？如果成立请证明；若不成立请说明理由如果成立请证明；若不成立请说明理由ADCNEBMADCNEBM.HH.回味无穷老师提醒老师提醒:反证法反证法还认识你吗还认识你吗?小结 拓展ACBD300n特殊的直角三角形的性质特殊的直角三角形的性质:n定理定理:在直角三角形中在直角三角形中,如果如果有一个锐角等于有一个锐角等于30300 0,那么那么它它所对的直角边等于斜边的一半所对的直角边等于斜边的一半.n定理定理:在直角三角形中在直角三角形中,如果如果一条直角边等于一条直角边等于斜边的一半斜边的一半,那么那么它它所对的锐角等于所对的锐角等于30300 0.